Exercice 1 (8 pts)
Calculer les limites suivantes :
1. \(\lim\limits_{x\to-2}\dfrac{x^2+5x+6}{x^2-4}\) ; 2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-2x+1}{1-x^2}\) ; 3. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}\) ; 4. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)\)
5. \(\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{x+2}{1-x}\) ; 6. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan2x}{\sin3x}\) ; 7. \(\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\sin x}{x-\pi}\) ; 8. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+\cos x}{x^2+1}\)
1. \(\lim\limits_{x\to-2}\dfrac{x^2+5x+6}{x^2-4}\) ; 2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-2x+1}{1-x^2}\) ; 3. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}\) ; 4. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)\)
5. \(\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{x+2}{1-x}\) ; 6. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan2x}{\sin3x}\) ; 7. \(\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\sin x}{x-\pi}\) ; 8. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+\cos x}{x^2+1}\)
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
Comment lever une forme indéterminée ?
- « \(\dfrac{0}{0}\) » avec des polynômes : factoriser par \((x-a)\) et simplifier ;
- racine carrée dont les termes dominants s’éliminent : multiplier par l’expression conjuguée ;
- racine carrée devant un terme qui domine : factoriser par le terme dominant ;
- expression trigonométrique : faire apparaître les limites usuelles \(\dfrac{\sin X}{X}\), \(\dfrac{\tan X}{X}\), \(\dfrac{1-\cos X}{X^2}\).
1. Calcul direct : \(4-10+6=0\) et \(4-4=0\) : « \(\dfrac{0}{0}\) » ; on factorise par \((x+2)\) :
\(\dfrac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x+3}{x-2}\to-\dfrac{1}{4}\)
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2}{-x^2}\)
\(=-3\)
3. \(\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x}+1}\to\dfrac{1}{2}\)
(« \(\dfrac{0}{0}\) », la racine s’annule : conjugué)
4. « \(+\infty-\infty\) » avec des termes dominants égaux (\(\sqrt{x^2}=-x\) pour \(x<0\)) : conjugué.
\(\sqrt{x^2+x}+x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}-x}\)
\(=\dfrac{x}{-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-x}\)
\(=\dfrac{-1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1}\to-\dfrac{1}{2}\)
[] 5. « \(\dfrac{3}{0}\) » et \(1-x<0\) pour \(x>1\) : \(\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{x+2}{1-x}=-\infty\)
6. \(\dfrac{\tan2x}{\sin3x}=\dfrac{2\times\dfrac{\tan2x}{2x}}{3\times\dfrac{\sin3x}{3x}}\)
\(\to\dfrac{2}{3}\)
7. On pose \(X=x-\pi\to0\) : \(\sin x=\sin(\pi+X)=-\sin X\).
[] \(\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\sin x}{x-\pi}=\lim\limits_{X\to0}\dfrac{-\sin X}{X}=-1\)
8. \(-1\leq\cos x\leq1\) donc \(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\leq\dfrac{x^2+\cos x}{x^2+1}\leq1\) et \(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\to1\) (encadrement).
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+\cos x}{x^2+1}=1\)
- « \(\dfrac{0}{0}\) » avec des polynômes : factoriser par \((x-a)\) et simplifier ;
- racine carrée dont les termes dominants s’éliminent : multiplier par l’expression conjuguée ;
- racine carrée devant un terme qui domine : factoriser par le terme dominant ;
- expression trigonométrique : faire apparaître les limites usuelles \(\dfrac{\sin X}{X}\), \(\dfrac{\tan X}{X}\), \(\dfrac{1-\cos X}{X^2}\).
1. Calcul direct : \(4-10+6=0\) et \(4-4=0\) : « \(\dfrac{0}{0}\) » ; on factorise par \((x+2)\) :
\(\dfrac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x+3}{x-2}\to-\dfrac{1}{4}\)
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2}{-x^2}\)
\(=-3\)
3. \(\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x}+1}\to\dfrac{1}{2}\)
(« \(\dfrac{0}{0}\) », la racine s’annule : conjugué)
4. « \(+\infty-\infty\) » avec des termes dominants égaux (\(\sqrt{x^2}=-x\) pour \(x<0\)) : conjugué.
\(\sqrt{x^2+x}+x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}-x}\)
\(=\dfrac{x}{-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-x}\)
\(=\dfrac{-1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1}\to-\dfrac{1}{2}\)
[] 5. « \(\dfrac{3}{0}\) » et \(1-x<0\) pour \(x>1\) : \(\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{x+2}{1-x}=-\infty\)
6. \(\dfrac{\tan2x}{\sin3x}=\dfrac{2\times\dfrac{\tan2x}{2x}}{3\times\dfrac{\sin3x}{3x}}\)
\(\to\dfrac{2}{3}\)
7. On pose \(X=x-\pi\to0\) : \(\sin x=\sin(\pi+X)=-\sin X\).
[] \(\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\sin x}{x-\pi}=\lim\limits_{X\to0}\dfrac{-\sin X}{X}=-1\)
8. \(-1\leq\cos x\leq1\) donc \(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\leq\dfrac{x^2+\cos x}{x^2+1}\leq1\) et \(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\to1\) (encadrement).
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+\cos x}{x^2+1}=1\)
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}-\{1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{|x-1|}\).
1. Écrire \(f(x)\) sans valeur absolue sur \(]1;+\infty[\) et sur \(]-\infty;1[\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)\). La fonction \(f\) admet-elle une limite en \(1\) ?
3. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\).
1. Écrire \(f(x)\) sans valeur absolue sur \(]1;+\infty[\) et sur \(]-\infty;1[\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)\). La fonction \(f\) admet-elle une limite en \(1\) ?
3. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 Méthode : \(|x-1|=x-1\) si \(x>1\) et \(|x-1|=-(x-1)\) si \(x<1\) ; et \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\).
[] 1. Sur \(]1;+\infty[\) : \(f(x)=x-2\) ; sur \(]-\infty;1[\) : \(f(x)=-(x-2)=2-x\)
2. \(\lim\limits_{x\to1^+}(x-2)=-1\) et \(\lim\limits_{x\to1^-}(2-x)=1\).
[!] Les limites à droite et à gauche sont différentes : \(f\) n’admet pas de limite en \(1\)
[] 3. \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x-2)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}(2-x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x-2}{x}=1\)
[] 1. Sur \(]1;+\infty[\) : \(f(x)=x-2\) ; sur \(]-\infty;1[\) : \(f(x)=-(x-2)=2-x\)
2. \(\lim\limits_{x\to1^+}(x-2)=-1\) et \(\lim\limits_{x\to1^-}(2-x)=1\).
[!] Les limites à droite et à gauche sont différentes : \(f\) n’admet pas de limite en \(1\)
[] 3. \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x-2)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to-\infty}(2-x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x-2}{x}=1\)
Exercice 3 (7 pts)
Soit \(ABC\) un triangle. On construit à l’extérieur de ce triangle les carrés \(ABDE\) et \(ACFG\) tels que \(\left(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) et \(\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AG}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\). Soit \(R\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
1. Montrer que \(R(E)=B\) et \(R(C)=G\).
2. Déterminer l’image du segment \([EC]\) par \(R\).
3. En déduire que \(BG=EC\).
4. Montrer que \((EC)\perp(BG)\).
5. Soient \(I\) et \(J\) les milieux de \([EC]\) et \([BG]\). Montrer que \(R(I)=J\) et en déduire la nature du triangle \(AIJ\).
1. Montrer que \(R(E)=B\) et \(R(C)=G\).
2. Déterminer l’image du segment \([EC]\) par \(R\).
3. En déduire que \(BG=EC\).
4. Montrer que \((EC)\perp(BG)\).
5. Soient \(I\) et \(J\) les milieux de \([EC]\) et \([BG]\). Montrer que \(R(I)=J\) et en déduire la nature du triangle \(AIJ\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : \(M’=R(M)\iff\Omega M’=\Omega M\) et \(\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\) ; une rotation conserve les distances et les angles orientés : si \(A’=R(A)\) et \(B’=R(B)\) alors \(A’B’=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\).
1. \(ABDE\) carré : \(AB=AE\) et \(\left(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\) : \(R(E)=B\) ; \(ACFG\) carré : \(AG=AC\) et \(\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AG}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\) : \(R(C)=G\).
[] 2. \(R([EC])=[BG]\)
[] 3. La rotation conserve les distances : \(BG=EC\)
[] 4. \(\left(\overrightarrow{EC},\overrightarrow{BG}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) (propriété caractéristique) : \((EC)\perp(BG)\)
5. La rotation conserve le milieu : \(R(I)\) est le milieu de \([R(E)R(C)]=[BG]\), donc \(R(I)=J\) ; ainsi \(AJ=AI\) et \(\left(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\).
[] \(AIJ\) est un triangle rectangle isocèle en \(A\)
1. \(ABDE\) carré : \(AB=AE\) et \(\left(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\) : \(R(E)=B\) ; \(ACFG\) carré : \(AG=AC\) et \(\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AG}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\) : \(R(C)=G\).
[] 2. \(R([EC])=[BG]\)
[] 3. La rotation conserve les distances : \(BG=EC\)
[] 4. \(\left(\overrightarrow{EC},\overrightarrow{BG}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) (propriété caractéristique) : \((EC)\perp(BG)\)
5. La rotation conserve le milieu : \(R(I)\) est le milieu de \([R(E)R(C)]=[BG]\), donc \(R(I)=J\) ; ainsi \(AJ=AI\) et \(\left(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\).
[] \(AIJ\) est un triangle rectangle isocèle en \(A\)