Exercice 1 (6 pts)
Calculer les limites suivantes :
1. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin^2x}{1-\cos x}\) ; 2. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x+\sin x}{x-2\sin x}\) ; 3. \(\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x-\dfrac{\pi}{2}}\)
4. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{\sin x}\) ; 5. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+1}}\) ; 6. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+1}}\)
1. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin^2x}{1-\cos x}\) ; 2. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x+\sin x}{x-2\sin x}\) ; 3. \(\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x-\dfrac{\pi}{2}}\)
4. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{\sin x}\) ; 5. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+1}}\) ; 6. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+1}}\)
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
Comment lever une forme indéterminée ?
- « \(\dfrac{0}{0}\) » avec des polynômes : factoriser par \((x-a)\) et simplifier ;
- racine carrée dont les termes dominants s’éliminent : multiplier par l’expression conjuguée ;
- racine carrée devant un terme qui domine : factoriser par le terme dominant ;
- expression trigonométrique : faire apparaître les limites usuelles \(\dfrac{\sin X}{X}\), \(\dfrac{\tan X}{X}\), \(\dfrac{1-\cos X}{X^2}\).
1. \(\dfrac{\sin^2x}{1-\cos x}=\dfrac{\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2}{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}\)
\(\to\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2\)
2. \(\dfrac{x+\sin x}{x-2\sin x}=\dfrac{1+\dfrac{\sin x}{x}}{1-2\dfrac{\sin x}{x}}\)
\(\to\dfrac{2}{-1}=-2\)
3. On pose \(X=x-\dfrac{\pi}{2}\to0\) : \(\cos x=\cos\left(X+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin X\).
[] \(\lim\limits_{X\to0}\dfrac{-\sin X}{X}=-1\)
4. \(\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{\sin x}=\dfrac{x}{\sin x}\times\dfrac{1}{\sqrt{x+9}+3}\)
\(\to1\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}\)
5. et 6. « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) » ; \(\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\) :
\(x>0\ :\ \dfrac{x\left(1+\dfrac{2}{x}\right)}{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}\to1\)
\(x<0\ :\ \dfrac{x\left(1+\dfrac{2}{x}\right)}{-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}\to-1\)
[] 5. \(1\) ; 6. \(-1\)
- « \(\dfrac{0}{0}\) » avec des polynômes : factoriser par \((x-a)\) et simplifier ;
- racine carrée dont les termes dominants s’éliminent : multiplier par l’expression conjuguée ;
- racine carrée devant un terme qui domine : factoriser par le terme dominant ;
- expression trigonométrique : faire apparaître les limites usuelles \(\dfrac{\sin X}{X}\), \(\dfrac{\tan X}{X}\), \(\dfrac{1-\cos X}{X^2}\).
1. \(\dfrac{\sin^2x}{1-\cos x}=\dfrac{\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2}{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}\)
\(\to\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2\)
2. \(\dfrac{x+\sin x}{x-2\sin x}=\dfrac{1+\dfrac{\sin x}{x}}{1-2\dfrac{\sin x}{x}}\)
\(\to\dfrac{2}{-1}=-2\)
3. On pose \(X=x-\dfrac{\pi}{2}\to0\) : \(\cos x=\cos\left(X+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin X\).
[] \(\lim\limits_{X\to0}\dfrac{-\sin X}{X}=-1\)
4. \(\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{\sin x}=\dfrac{x}{\sin x}\times\dfrac{1}{\sqrt{x+9}+3}\)
\(\to1\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}\)
5. et 6. « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) » ; \(\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\) :
\(x>0\ :\ \dfrac{x\left(1+\dfrac{2}{x}\right)}{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}\to1\)
\(x<0\ :\ \dfrac{x\left(1+\dfrac{2}{x}\right)}{-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}\to-1\)
[] 5. \(1\) ; 6. \(-1\)
Exercice 2 (7 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\sqrt{x^2+2x+3}-x\).
1. Justifier que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et interpréter.
3. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
4. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}(f(x)+2x)\).
5. En déduire que la droite \((D)\ :\ y=-2x-1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
1. Justifier que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et interpréter.
3. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
4. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}(f(x)+2x)\).
5. En déduire que la droite \((D)\ :\ y=-2x-1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
[] 1. \(x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0\) pour tout réel \(x\)
2. « \(+\infty-\infty\) » avec termes dominants égaux : conjugué.
\(f(x)=\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+2x+3}+x}\)
\(=\dfrac{2+\dfrac{3}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}+1}\to1\)
[] La droite \(y=1\) est asymptote horizontale en \(+\infty\)
[] 3. \(\sqrt{x^2+2x+3}\to+\infty\) et \(-x\to+\infty\) (somme) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\)
4. \(x<0\ :\ \dfrac{f(x)}{x}=-\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}-1\)
\(\to-2\)
\(f(x)+2x=\sqrt{x^2+2x+3}+x\) : « \(+\infty-\infty\) », termes dominants égaux ; conjugué :
\(\sqrt{x^2+2x+3}+x=\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+2x+3}-x}\)
\(=\dfrac{2+\dfrac{3}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}-1}\to-1\)
[] 5. \(\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(-2x-1)]=-1+1=0\) : \((D)\ :\ y=-2x-1\) est asymptote oblique en \(-\infty\)
2. « \(+\infty-\infty\) » avec termes dominants égaux : conjugué.
\(f(x)=\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+2x+3}+x}\)
\(=\dfrac{2+\dfrac{3}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}+1}\to1\)
[] La droite \(y=1\) est asymptote horizontale en \(+\infty\)
[] 3. \(\sqrt{x^2+2x+3}\to+\infty\) et \(-x\to+\infty\) (somme) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\)
4. \(x<0\ :\ \dfrac{f(x)}{x}=-\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}-1\)
\(\to-2\)
\(f(x)+2x=\sqrt{x^2+2x+3}+x\) : « \(+\infty-\infty\) », termes dominants égaux ; conjugué :
\(\sqrt{x^2+2x+3}+x=\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+2x+3}-x}\)
\(=\dfrac{2+\dfrac{3}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}}-1}\to-1\)
[] 5. \(\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(-2x-1)]=-1+1=0\) : \((D)\ :\ y=-2x-1\) est asymptote oblique en \(-\infty\)
Exercice 3 (7 pts)
\(ABC\) est un triangle équilatéral direct de centre \(G\) ; \(I\), \(J\) et \(K\) sont les milieux respectifs de \([BC]\), \([CA]\) et \([AB]\). Soit \(R\) la rotation de centre \(G\) et d’angle \(\dfrac{2\pi}{3}\).
1. Justifier que \(GA=GB=GC\) et que \(\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)\equiv\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]\).
2. Montrer que \(R(A)=B\), \(R(B)=C\) et \(R(C)=A\).
3. Montrer que \(R(I)=J\) et \(R(J)=K\).
4. En déduire que le triangle \(IJK\) est équilatéral.
1. Justifier que \(GA=GB=GC\) et que \(\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)\equiv\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]\).
2. Montrer que \(R(A)=B\), \(R(B)=C\) et \(R(C)=A\).
3. Montrer que \(R(I)=J\) et \(R(J)=K\).
4. En déduire que le triangle \(IJK\) est équilatéral.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(G\) est le centre du cercle circonscrit : \(GA=GB=GC\) ; les trois angles \(\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)\), \(\left(\overrightarrow{GB},\overrightarrow{GC}\right)\), \(\left(\overrightarrow{GC},\overrightarrow{GA}\right)\) sont égaux et leur somme vaut \(2\pi\).
[] \(\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)\equiv\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]\) (triangle direct)
💡 Méthode : \(M’=R(M)\iff\Omega M’=\Omega M\) et \(\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\) ; une rotation conserve les distances et les angles orientés : si \(A’=R(A)\) et \(B’=R(B)\) alors \(A’B’=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\).
[] 2. Les deux conditions sont vérifiées pour chaque couple : \(R(A)=B\), \(R(B)=C\), \(R(C)=A\)
[] 3. Conservation du milieu : \(R(I)\) est le milieu de \([R(B)R(C)]=[CA]\) donc \(R(I)=J\) ; de même \(R(J)=K\)
4. \(R([IJ])=[JK]\) donc \(JK=IJ\) ; et \(R(K)=I\) (car \(R([AB])=[BC]\)) donc \(KI=JK\).
[] \(IJ=JK=KI\) : \(IJK\) est équilatéral (de centre \(G\))
[] \(\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)\equiv\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]\) (triangle direct)
💡 Méthode : \(M’=R(M)\iff\Omega M’=\Omega M\) et \(\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\) ; une rotation conserve les distances et les angles orientés : si \(A’=R(A)\) et \(B’=R(B)\) alors \(A’B’=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\).
[] 2. Les deux conditions sont vérifiées pour chaque couple : \(R(A)=B\), \(R(B)=C\), \(R(C)=A\)
[] 3. Conservation du milieu : \(R(I)\) est le milieu de \([R(B)R(C)]=[CA]\) donc \(R(I)=J\) ; de même \(R(J)=K\)
4. \(R([IJ])=[JK]\) donc \(JK=IJ\) ; et \(R(K)=I\) (car \(R([AB])=[BC]\)) donc \(KI=JK\).
[] \(IJ=JK=KI\) : \(IJK\) est équilatéral (de centre \(G\))