Exercice 1 (13 pts)
1. Calculer les limites suivantes :
a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^3-x+1}{x^3+4}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\) ; d) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{2x}\) ; e) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\) ; f) \(\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{x+1}{x-1}\) et \(\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{x+1}{x-1}\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\).
3. Soit \(g(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\). Calculer les limites de \(g\) aux bornes de \(D_g\) et interpréter graphiquement.
a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^3-x+1}{x^3+4}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\) ; d) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{2x}\) ; e) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\) ; f) \(\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{x+1}{x-1}\) et \(\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{x+1}{x-1}\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\).
3. Soit \(g(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\). Calculer les limites de \(g\) aux bornes de \(D_g\) et interpréter graphiquement.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) Limite du rapport des termes de plus haut degré : \(\dfrac{2x^3}{x^3}\) :
[] \(2\)
b) \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{x+2}{x-1}\to\dfrac{4}{1}\) :
[] \(4\)
c) \(\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\to\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\dfrac{1}{2}\)
d) \(\dfrac{3}{2}\times\dfrac{\sin(3x)}{3x}\to\dfrac{3}{2}\) ; e) limite usuelle : \(\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\dfrac{3}{2}\) ; \(\dfrac{1}{2}\)
f) \(x+1\to2\) ; \(x-1\to0^+\) à droite et \(0^-\) à gauche :
[] \(+\infty\) et \(-\infty\)
2. \(\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{x+3-4}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}\to\dfrac{1}{4}\)
3. \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{3\}\) ; \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}g(x)=2\) : asymptote horizontale \(y=2\) ; \(\lim\limits_{x\to3^+}g(x)=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to3^-}g(x)=-\infty\) :
[] asymptote verticale \(x=3\)
[] \(2\)
b) \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{x+2}{x-1}\to\dfrac{4}{1}\) :
[] \(4\)
c) \(\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\to\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\dfrac{1}{2}\)
d) \(\dfrac{3}{2}\times\dfrac{\sin(3x)}{3x}\to\dfrac{3}{2}\) ; e) limite usuelle : \(\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\dfrac{3}{2}\) ; \(\dfrac{1}{2}\)
f) \(x+1\to2\) ; \(x-1\to0^+\) à droite et \(0^-\) à gauche :
[] \(+\infty\) et \(-\infty\)
2. \(\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{x+3-4}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}\to\dfrac{1}{4}\)
3. \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{3\}\) ; \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}g(x)=2\) : asymptote horizontale \(y=2\) ; \(\lim\limits_{x\to3^+}g(x)=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to3^-}g(x)=-\infty\) :
[] asymptote verticale \(x=3\)
Exercice 2 (7 pts)
\(ABCD\) est un carré direct de centre \(O\) (\(\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\)). \(I\), \(J\) et \(K\) sont les milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\) et \([CD]\). Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
1. Déterminer \(R(A)\), \(R(B)\) et \(R(C)\).
2. Montrer que \(R(I)=J\) et \(R(J)=K\).
3. En déduire que \(OI=OJ\) et que \((OI)\perp(OJ)\).
4. Montrer que \(AJ=BK\) et que \((AJ)\perp(BK)\).
1. Déterminer \(R(A)\), \(R(B)\) et \(R(C)\).
2. Montrer que \(R(I)=J\) et \(R(J)=K\).
3. En déduire que \(OI=OJ\) et que \((OI)\perp(OJ)\).
4. Montrer que \(AJ=BK\) et que \((AJ)\perp(BK)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(OA=OB=OC=OD\) et les angles consécutifs valent \(\dfrac{\pi}{2}\) :
[] \(R(A)=B\), \(R(B)=C\), \(R(C)=D\)
2. La rotation conserve les milieux : \(R(I)\) est le milieu de \([R(A)R(B)]=[BC]\), donc \(R(I)=J\) ; de même \(R(J)\) est le milieu de \([CD]\) :
[] \(R(I)=J\) et \(R(J)=K\)
3. \(R(I)=J\) : \(OI=OJ\) et \(\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OJ}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(OI=OJ\) et \((OI)\perp(OJ)\)
4. \(R(A)=B\) et \(R(J)=K\) : \(R\) transforme le segment \([AJ]\) en \([BK]\) ; la rotation conserve les distances et tourne les droites d’un angle \(\dfrac{\pi}{2}\) :
[] \(AJ=BK\) et \((AJ)\perp(BK)\)
[] \(R(A)=B\), \(R(B)=C\), \(R(C)=D\)
2. La rotation conserve les milieux : \(R(I)\) est le milieu de \([R(A)R(B)]=[BC]\), donc \(R(I)=J\) ; de même \(R(J)\) est le milieu de \([CD]\) :
[] \(R(I)=J\) et \(R(J)=K\)
3. \(R(I)=J\) : \(OI=OJ\) et \(\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OJ}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(OI=OJ\) et \((OI)\perp(OJ)\)
4. \(R(A)=B\) et \(R(J)=K\) : \(R\) transforme le segment \([AJ]\) en \([BK]\) ; la rotation conserve les distances et tourne les droites d’un angle \(\dfrac{\pi}{2}\) :
[] \(AJ=BK\) et \((AJ)\perp(BK)\)