الفرض 1 — الدورة الثانية — الأولى باك علوم تجريبية (Évaluation n°1 — semestre 2 — النموذج 3)

Comment lever une forme indéterminée ?
- « \(\dfrac{0}{0}\) » avec des polynômes : factoriser par \((x-a)\) et simplifier ;
- racine carrée dont les termes dominants s’éliminent : multiplier par l’expression conjuguée ;
- racine carrée devant un terme qui domine : factoriser par le terme dominant ;
- expression trigonométrique : faire apparaître les limites usuelles \(\dfrac{\sin X}{X}\), \(\dfrac{\tan X}{X}\), \(\dfrac{1-\cos X}{X^2}\).
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
1. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2x^2}{x^3}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2}{x}\)
\(=0\)
2. Calcul direct : \(3+1-4=0\) et \(\sqrt{4}-2=0\) : « \(\dfrac{0}{0}\) » ; \(3x^2-x-4=(x+1)(3x-4)\) et on multiplie par le conjugué \(\sqrt{x+5}-2x\) :
\((\sqrt{x+5}+2x)(\sqrt{x+5}-2x)=x+5-4x^2\)
\(=-(x+1)(4x-5)\)
\(\dfrac{3x^2-x-4}{\sqrt{x+5}+2x}=\dfrac{(3x-4)(\sqrt{x+5}-2x)}{-(4x-5)}\)
\(\to\dfrac{(-7)\times4}{9}=-\dfrac{28}{9}\)
3. Calcul direct : « \(\dfrac{-5}{0}\) » et \(x^2-6x+9=(x-3)^2>0\) pour \(x\neq3\) :
[] \(\lim\limits_{x\to3}\dfrac{10-5x}{x^2-6x+9}=-\infty\)
4. « \(\dfrac{+\infty}{+\infty}\) » ; on factorise par \(x\sqrt{x}\) au numérateur et par \(x\) au dénominateur :
\(\dfrac{x\sqrt{x}\sqrt{5+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}}}{x\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}\sqrt{5+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}}}{2+\dfrac{1}{x}}\to+\infty\)
5. Calcul direct : \(\sqrt{x^4-2x^3+1}\to+\infty\) et \(-x\to+\infty\) : somme, pas de forme indéterminée.
[] \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^4-2x^3+1}-x\right)=+\infty\)
6. « \(+\infty-\infty\) » ; termes dominants \(\sqrt{2}|x|\) et \(3|x|\) différents : on factorise par \(|x|=-x\).
\(\sqrt{2x^2-x+1}+3x=x\left(3-\sqrt{2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}\right)\)
\(\to-\infty\times(3-\sqrt{2})=-\infty\)
7. « \(+\infty-\infty\) » ; termes dominants égaux (\(2x\)) : conjugué.
\(\sqrt{4x^2-x+2}-2x=\dfrac{-x+2}{\sqrt{4x^2-x+2}+2x}\)
\(=\dfrac{-1+\dfrac{2}{x}}{\sqrt{4-\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+2}\to-\dfrac{1}{4}\)
8. \(\dfrac{1-\cos5x}{x\sin3x}=\dfrac{25\times\dfrac{1-\cos5x}{(5x)^2}}{3\times\dfrac{\sin3x}{3x}}\)
\(\to\dfrac{25\times\dfrac{1}{2}}{3}=\dfrac{25}{6}\)
9. \(\dfrac{\tan(x-2)}{x^2-4}=\dfrac{\tan(x-2)}{x-2}\times\dfrac{1}{x+2}\)
\(\to1\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\)
(limite usuelle avec \(X=x-2\to0\))

[] 1. \(x^2-1\neq0\iff x\neq1\) et \(x\neq-1\) : \(D_f=\mathbb{R}-\{-1;1\}\)
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
2. \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}\)
\(=2\)
[] La droite \(y=2\) est asymptote horizontale à \((C_f)\) en \(\pm\infty\)
3. Calcul direct : « \(\dfrac{0}{0}\) » ; on factorise par \((x-1)\) :
\(\dfrac{(x-1)(2x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2x-1}{x+1}\to\dfrac{1}{2}\)
4. Calcul direct : « \(\dfrac{6}{0}\) » ; signe de \(x^2-1\) : négatif si \(-1<x<1\), positif si \(x<-1\).
[] \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=-1\) est asymptote verticale

💡 Méthode : \(M’=R(M)\iff\Omega M’=\Omega M\) et \(\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\) ; une rotation conserve les distances et les angles orientés : si \(A’=R(A)\) et \(B’=R(B)\) alors \(A’B’=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\).
1. \(ABC\) équilatéral : \(AC=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]\) : les deux conditions sont vérifiées ✔.
[] \(R(B)=C\) et, de même avec \(ADE\), \(R(D)=E\)

[] 2. \(R([BD])=[CE]\) et \(R\) conserve les distances : \(CE=BD\)
[] 3. Propriété caractéristique : \(\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CE}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]\)
4. L’image d’un cercle est le cercle de centre l’image du centre et de même rayon : \(R(B)=C\).
[] L’image est le cercle de centre \(C\) et de rayon \(BD\) (il passe par \(E\))