Exercice 1 (7 pts)
Calculer les limites suivantes :
1. \(\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^3-8}{x^2-4}\) ; 2. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2x^3-x}{x^2+1}\) ; 3. \(\lim\limits_{x\to4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}\) ; 4. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)\)
5. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\) ; 6. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos2x}{x^2}\) ; 7. \(\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac{1}{x}\)
1. \(\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^3-8}{x^2-4}\) ; 2. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2x^3-x}{x^2+1}\) ; 3. \(\lim\limits_{x\to4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}\) ; 4. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)\)
5. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\) ; 6. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos2x}{x^2}\) ; 7. \(\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac{1}{x}\)
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
Comment lever une forme indéterminée ?
- « \(\dfrac{0}{0}\) » avec des polynômes : factoriser par \((x-a)\) et simplifier ;
- racine carrée dont les termes dominants s’éliminent : multiplier par l’expression conjuguée ;
- racine carrée devant un terme qui domine : factoriser par le terme dominant ;
- expression trigonométrique : faire apparaître les limites usuelles \(\dfrac{\sin X}{X}\), \(\dfrac{\tan X}{X}\), \(\dfrac{1-\cos X}{X^2}\).
1. « \(\dfrac{0}{0}\) » ; \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\) et \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) :
\(\dfrac{x^2+2x+4}{x+2}\to\dfrac{12}{4}=3\)
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
2. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2x^3}{x^2}=\lim\limits_{x\to-\infty}2x\)
\(=-\infty\)
3. \(\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\to\dfrac{1}{4}\)
4. \(x-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x^2-(x^2+1)}{x+\sqrt{x^2+1}}\)
\(=\dfrac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}\to0\)
5. \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\to0\)
(4. et 5. : « \(+\infty-\infty\) » avec des termes dominants égaux : conjugué)
6. \(\dfrac{1-\cos2x}{x^2}=4\times\dfrac{1-\cos2x}{(2x)^2}\)
\(\to4\times\dfrac{1}{2}=2\)
7. \(\left|\sin\dfrac{1}{x}\right|\leq1\) donc \(\left|x\sin\dfrac{1}{x}\right|\leq|x|\) et \(\lim\limits_{x\to0}|x|=0\).
[] \(\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac{1}{x}=0\)
- « \(\dfrac{0}{0}\) » avec des polynômes : factoriser par \((x-a)\) et simplifier ;
- racine carrée dont les termes dominants s’éliminent : multiplier par l’expression conjuguée ;
- racine carrée devant un terme qui domine : factoriser par le terme dominant ;
- expression trigonométrique : faire apparaître les limites usuelles \(\dfrac{\sin X}{X}\), \(\dfrac{\tan X}{X}\), \(\dfrac{1-\cos X}{X^2}\).
1. « \(\dfrac{0}{0}\) » ; \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\) et \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) :
\(\dfrac{x^2+2x+4}{x+2}\to\dfrac{12}{4}=3\)
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
2. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2x^3}{x^2}=\lim\limits_{x\to-\infty}2x\)
\(=-\infty\)
3. \(\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\to\dfrac{1}{4}\)
4. \(x-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x^2-(x^2+1)}{x+\sqrt{x^2+1}}\)
\(=\dfrac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}\to0\)
5. \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\to0\)
(4. et 5. : « \(+\infty-\infty\) » avec des termes dominants égaux : conjugué)
6. \(\dfrac{1-\cos2x}{x^2}=4\times\dfrac{1-\cos2x}{(2x)^2}\)
\(\to4\times\dfrac{1}{2}=2\)
7. \(\left|\sin\dfrac{1}{x}\right|\leq1\) donc \(\left|x\sin\dfrac{1}{x}\right|\leq|x|\) et \(\lim\limits_{x\to0}|x|=0\).
[] \(\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac{1}{x}=0\)
Exercice 2 (6 pts)
Soit \(a\) un réel et \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\dfrac{x^3+1}{x+1}\) si \(x<-1\) et \(f(x)=ax+5\) si \(x\geq-1\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)\), puis déterminer \(a\) pour que \(f\) admette une limite en \(-1\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
3. On prend \(a=2\). Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-2x)\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)\), puis déterminer \(a\) pour que \(f\) admette une limite en \(-1\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
3. On prend \(a=2\). Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-2x)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. À gauche : « \(\dfrac{0}{0}\) » ; \(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\) donc \(f(x)=x^2-x+1\to3\).
À droite : calcul direct \(\lim\limits_{x\to-1^+}(ax+5)=5-a\).
\(5-a=3\)
\(\iff a=2\)
[] \(f\) admet une limite en \(-1\) si et seulement si \(a=2\)
[] 2. \(\lim\limits_{x\to-\infty}(x^2-x+1)=\lim\limits_{x\to-\infty}x^2=+\infty\)
[] 3. \(\lim\limits_{x\to+\infty}(2x+5)=+\infty\) ; \(\dfrac{2x+5}{x}\to2\) ; \(f(x)-2x=5\)
À droite : calcul direct \(\lim\limits_{x\to-1^+}(ax+5)=5-a\).
\(5-a=3\)
\(\iff a=2\)
[] \(f\) admet une limite en \(-1\) si et seulement si \(a=2\)
[] 2. \(\lim\limits_{x\to-\infty}(x^2-x+1)=\lim\limits_{x\to-\infty}x^2=+\infty\)
[] 3. \(\lim\limits_{x\to+\infty}(2x+5)=+\infty\) ; \(\dfrac{2x+5}{x}\to2\) ; \(f(x)-2x=5\)
Exercice 3 (7 pts)
Soit \((\mathcal{C})\) un cercle de centre \(O\) et \(A\) un point de \((\mathcal{C})\). Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{2\pi}{3}\) ; on pose \(B=R(A)\) et \(C=R(B)\).
1. Montrer que \(B\) et \(C\) appartiennent à \((\mathcal{C})\).
2. Montrer que \(R(C)=A\).
3. En déduire que le triangle \(ABC\) est équilatéral.
4. Déterminer une mesure de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)\).
5. Soit \((T)\) la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(A\). Déterminer l’image de \((T)\) par \(R\).
1. Montrer que \(B\) et \(C\) appartiennent à \((\mathcal{C})\).
2. Montrer que \(R(C)=A\).
3. En déduire que le triangle \(ABC\) est équilatéral.
4. Déterminer une mesure de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)\).
5. Soit \((T)\) la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(A\). Déterminer l’image de \((T)\) par \(R\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : \(M’=R(M)\iff\Omega M’=\Omega M\) et \(\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\) ; une rotation conserve les distances et les angles orientés : si \(A’=R(A)\) et \(B’=R(B)\) alors \(A’B’=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\).
[] 1. \(OB=OA\) et \(OC=OB\) : \(B\) et \(C\) sont sur le cercle \((\mathcal{C})\) de rayon \(OA\)
2. \(OA=OC\) et \(\left(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OA}\right)\equiv\left(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}\right)\equiv-\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}\equiv\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]\).
[] \(R(C)=A\)
3. \(R(A)=B\), \(R(B)=C\), \(R(C)=A\) : \(R([AB])=[BC]\) et \(R([BC])=[CA]\).
[] \(AB=BC=CA\) : \(ABC\) est équilatéral
[] 4. Propriété caractéristique : \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)\equiv\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]\)
5. \((T)\) passe par \(A\) et \((T)\perp(OA)\) ; son image passe par \(R(A)=B\) et est perpendiculaire à \(R((OA))=(OB)\) (la rotation conserve l’orthogonalité).
[] \(R((T))\) est la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(B\)
[] 1. \(OB=OA\) et \(OC=OB\) : \(B\) et \(C\) sont sur le cercle \((\mathcal{C})\) de rayon \(OA\)
2. \(OA=OC\) et \(\left(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OA}\right)\equiv\left(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}\right)\equiv-\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}\equiv\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]\).
[] \(R(C)=A\)
3. \(R(A)=B\), \(R(B)=C\), \(R(C)=A\) : \(R([AB])=[BC]\) et \(R([BC])=[CA]\).
[] \(AB=BC=CA\) : \(ABC\) est équilatéral
[] 4. Propriété caractéristique : \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)\equiv\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]\)
5. \((T)\) passe par \(A\) et \((T)\perp(OA)\) ; son image passe par \(R(A)=B\) et est perpendiculaire à \(R((OA))=(OB)\) (la rotation conserve l’orthogonalité).
[] \(R((T))\) est la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(B\)