الفرض 1 — الدورة الثانية — الأولى باك علوم تجريبية (Évaluation n°1 — semestre 2 — النموذج 4)

💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
1. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{3x^2}=\dfrac{1}{3}\)
\(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-3x}{x^2}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-3}{x}=0\)
2. À droite : calcul direct « \(\dfrac{0}{0}\) » (\(4-4=0\) ; \(12-14+2=0\)) ; on factorise par \((x-2)\) :
\(\dfrac{x(x-2)}{(x-2)(3x-1)}=\dfrac{x}{3x-1}\to\dfrac{2}{5}\)
À gauche : calcul direct « \(\dfrac{-5}{0}\) » avec \((x-2)^2>0\).
[] \(\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=\dfrac{2}{5}\) et \(\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=-\infty\)

Comment lever une forme indéterminée ?
- « \(\dfrac{0}{0}\) » avec des polynômes : factoriser par \((x-a)\) et simplifier ;
- racine carrée dont les termes dominants s’éliminent : multiplier par l’expression conjuguée ;
- racine carrée devant un terme qui domine : factoriser par le terme dominant ;
- expression trigonométrique : faire apparaître les limites usuelles \(\dfrac{\sin X}{X}\), \(\dfrac{\tan X}{X}\), \(\dfrac{1-\cos X}{X^2}\).
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
1. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-5x^3}{2x}=\lim\limits_{x\to-\infty}-\dfrac{5}{2}x^2\)
\(=-\infty\)
2. « \(\dfrac{+\infty}{-\infty}\) » ; pour \(x<0\), \(\sqrt{4x^2+3x+7}=-x\sqrt{4+\dfrac{3}{x}+\dfrac{7}{x^2}}\) :
\(\dfrac{-x\sqrt{4+\dfrac{3}{x}+\dfrac{7}{x^2}}}{5x}=-\dfrac{\sqrt{4+\dfrac{3}{x}+\dfrac{7}{x^2}}}{5}\)
\(\to-\dfrac{2}{5}\)
3. « \(\dfrac{0}{0}\) » ; conjugué :
\(\dfrac{\sqrt{x+5}-2}{x+1}=\dfrac{1}{\sqrt{x+5}+2}\to\dfrac{1}{4}\)
4. « \(-\infty+\infty\) » ; termes dominants \(3|x|\) et \(|x|\) différents : on factorise par \(|x|=-x\) :
\(3x+\sqrt{x^2+7}=x\left(3-\sqrt{1+\dfrac{7}{x^2}}\right)\)
\(\to-\infty\times2=-\infty\)
5. « \(+\infty-\infty\) » ; termes dominants égaux (\(3x\)) : conjugué.
\(\sqrt{9x^2+5}-3x=\dfrac{5}{\sqrt{9x^2+5}+3x}\to0\)
6. \(\dfrac{1-\cos3x}{x\tan x}=\dfrac{9\times\dfrac{1-\cos3x}{(3x)^2}}{\dfrac{\tan x}{x}}\)
\(\to\dfrac{9}{2}\)
7. \(\dfrac{\sin x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}=\dfrac{\sin x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}{2x}\)
\(\to1\times\dfrac{2}{2}=1\)
8. Calcul direct « \(\dfrac{0}{0}\) » ; on sépare : pour \(x>2\), \(\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{\sqrt{x(x-2)}}{x-2}=1+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-2}}\) :
[] « \(1+\dfrac{\sqrt{2}}{0^+}\) » : \(\lim\limits_{x\to2^+}\dfrac{x+\sqrt{x^2-2x}-2}{x-2}=+\infty\)

1. « \(+\infty-\infty\) » ; on factorise par \(\sqrt{x}\) : \(\sqrt{x}-2x=\sqrt{x}(1-2\sqrt{x})\) : produit « \(+\infty\times(-\infty)\) ».
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x}-2x\right)=-\infty\)
2.a) \(\sin x\geq-1\) donc \(3+\sin x\geq2\) ; avec \(x\geq0\) : \(-x(3+\sin x)\leq-2x\).
[] \((\forall x\geq0)\ f(x)\leq\sqrt{x}-2x\)
💡 Méthode : si \(f\leq g\) et \(\lim g=-\infty\), alors \(\lim f=-\infty\).
[] b) \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\)

💡 Méthode : \(M’=R(M)\iff\Omega M’=\Omega M\) et \(\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\) ; une rotation conserve les distances et les angles orientés : si \(A’=R(A)\) et \(B’=R(B)\) alors \(A’B’=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\).
[] 1. \(AC=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) : \(R\left(A,\dfrac{\pi}{2}\right)(B)=C\)
2. \(I\) est le milieu de \([BC]\) et de \([AD]\) : \(ABDC\) est un parallélogramme ; il a un angle droit en \(A\) et deux côtés consécutifs égaux (\(AB=AC\)).
[] \(ABDC\) est un carré de centre \(I\)
3. Diagonales du carré : \(IA=IB=ID=IC\), perpendiculaires ; le carré \(ABDC\) est direct, donc \(\left(\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB}\right)\equiv\left(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{ID}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\).

[] \(R’(A)=B\) et \(R’(B)=D\)
4. \((\Gamma)\) a pour centre le milieu \(K\) de \([AB]\) et pour rayon \(\dfrac{AB}{2}\) ; \(R’(K)\) est le milieu de \([BD]\) (conservation du milieu).
[] \(R’((\Gamma))\) est le cercle de diamètre \([BD]\)