Exercice 1 (8 pts)
Calculer les limites suivantes :
1. \(\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x^2-2x-3}\) ; 2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4x^3-x+1}{2x^3+5x^2}\) ; 3. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2+1}{3x-2}\) ; 4. \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\)
5. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)\) ; 6. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin4x}{3x}\) ; 7. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x\tan x}\) ; 8. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x+\sin x}{x}\)
1. \(\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x^2-2x-3}\) ; 2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4x^3-x+1}{2x^3+5x^2}\) ; 3. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2+1}{3x-2}\) ; 4. \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\)
5. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)\) ; 6. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin4x}{3x}\) ; 7. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x\tan x}\) ; 8. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x+\sin x}{x}\)
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
Comment lever une forme indéterminée ?
- « \(\dfrac{0}{0}\) » avec des polynômes : factoriser par \((x-a)\) et simplifier ;
- racine carrée dont les termes dominants s’éliminent : multiplier par l’expression conjuguée ;
- racine carrée devant un terme qui domine : factoriser par le terme dominant ;
- expression trigonométrique : faire apparaître les limites usuelles \(\dfrac{\sin X}{X}\), \(\dfrac{\tan X}{X}\), \(\dfrac{1-\cos X}{X^2}\).
1. Calcul direct : \(9-9=0\) et \(9-6-3=0\) : forme « \(\dfrac{0}{0}\) » ; on factorise par \((x-3)\) :
\(\dfrac{x^2-9}{x^2-2x-3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+1)}\)
\(=\dfrac{x+3}{x+1}\to\dfrac{6}{4}\)
[] \(\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x^2-2x-3}=\dfrac{3}{2}\)
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
[] 2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4x^3}{2x^3}=2\) ; 3. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2}{3x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x}{3}=-\infty\)
4. Calcul direct : « \(\dfrac{0}{0}\) » ; la racine s’annule : conjugué.
\(\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}\to\dfrac{1}{4}\)
5. Calcul direct : « \(+\infty-\infty\) » avec des termes dominants égaux (\(\sqrt{x^2}=x\)) : conjugué.
\(\sqrt{x^2+4x}-x=\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}\)
\(=\dfrac{4}{\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}+1}\to\dfrac{4}{2}=2\)
6. \(\dfrac{\sin4x}{3x}=\dfrac{4}{3}\times\dfrac{\sin4x}{4x}\to\dfrac{4}{3}\)
(limite usuelle avec \(X=4x\), puis produit)
7. \(\dfrac{1-\cos x}{x\tan x}=\dfrac{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}{\dfrac{\tan x}{x}}\to\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1}=\dfrac{1}{2}\)
8. \(\dfrac{2x+\sin x}{x}=2+\dfrac{\sin x}{x}\) et \(\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leq\dfrac{1}{x}\to0\) (encadrement).
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x+\sin x}{x}=2\)
- « \(\dfrac{0}{0}\) » avec des polynômes : factoriser par \((x-a)\) et simplifier ;
- racine carrée dont les termes dominants s’éliminent : multiplier par l’expression conjuguée ;
- racine carrée devant un terme qui domine : factoriser par le terme dominant ;
- expression trigonométrique : faire apparaître les limites usuelles \(\dfrac{\sin X}{X}\), \(\dfrac{\tan X}{X}\), \(\dfrac{1-\cos X}{X^2}\).
1. Calcul direct : \(9-9=0\) et \(9-6-3=0\) : forme « \(\dfrac{0}{0}\) » ; on factorise par \((x-3)\) :
\(\dfrac{x^2-9}{x^2-2x-3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+1)}\)
\(=\dfrac{x+3}{x+1}\to\dfrac{6}{4}\)
[] \(\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x^2-2x-3}=\dfrac{3}{2}\)
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
[] 2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4x^3}{2x^3}=2\) ; 3. \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2}{3x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x}{3}=-\infty\)
4. Calcul direct : « \(\dfrac{0}{0}\) » ; la racine s’annule : conjugué.
\(\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}\to\dfrac{1}{4}\)
5. Calcul direct : « \(+\infty-\infty\) » avec des termes dominants égaux (\(\sqrt{x^2}=x\)) : conjugué.
\(\sqrt{x^2+4x}-x=\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}\)
\(=\dfrac{4}{\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}+1}\to\dfrac{4}{2}=2\)
6. \(\dfrac{\sin4x}{3x}=\dfrac{4}{3}\times\dfrac{\sin4x}{4x}\to\dfrac{4}{3}\)
(limite usuelle avec \(X=4x\), puis produit)
7. \(\dfrac{1-\cos x}{x\tan x}=\dfrac{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}{\dfrac{\tan x}{x}}\to\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1}=\dfrac{1}{2}\)
8. \(\dfrac{2x+\sin x}{x}=2+\dfrac{\sin x}{x}\) et \(\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leq\dfrac{1}{x}\to0\) (encadrement).
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x+\sin x}{x}=2\)
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(m\) un réel et \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}\) si \(x>0\) et \(f(x)=x^2+m\) si \(x\leq0\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)\) et déterminer \(m\) pour que \(f\) admette une limite en \(0\).
3. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)\) et déterminer \(m\) pour que \(f\) admette une limite en \(0\).
3. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Calcul direct : « \(\dfrac{0}{0}\) » ; la racine s’annule : on multiplie par le conjugué \(\sqrt{x+1}+1\).
\(\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\dfrac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}\to\dfrac{1}{2}\)
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\dfrac{1}{2}\)
2. Calcul direct (polynôme) : \(\lim\limits_{x\to0^-}(x^2+m)=m\).
💡 Méthode : \(f\) admet une limite en \(0\) \(\iff\) les limites à droite et à gauche sont égales.
[] \(m=\dfrac{1}{2}\)
3. En \(+\infty\) : « \(\dfrac{+\infty}{+\infty}\) » ; avec la même transformation : \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}\) et le dénominateur tend vers \(+\infty\).
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}(x^2+m)=+\infty\)
\(\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\dfrac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}\to\dfrac{1}{2}\)
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\dfrac{1}{2}\)
2. Calcul direct (polynôme) : \(\lim\limits_{x\to0^-}(x^2+m)=m\).
💡 Méthode : \(f\) admet une limite en \(0\) \(\iff\) les limites à droite et à gauche sont égales.
[] \(m=\dfrac{1}{2}\)
3. En \(+\infty\) : « \(\dfrac{+\infty}{+\infty}\) » ; avec la même transformation : \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}\) et le dénominateur tend vers \(+\infty\).
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}(x^2+m)=+\infty\)
Exercice 3 (7 pts)
\(ABCD\) est un carré direct de centre \(O\) (c’est-à-dire \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\)). Soient \(E\in[BC]\) et \(F\in[CD]\) tels que \(BE=CF\). On considère la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
1. Déterminer \(R(A)\), \(R(B)\), \(R(C)\) et \(R(D)\).
2. Déterminer l’image du segment \([BC]\) par \(R\).
3. Montrer que \(R(E)=F\).
4. En déduire que \(AE=BF\) et que \((AE)\perp(BF)\).
1. Déterminer \(R(A)\), \(R(B)\), \(R(C)\) et \(R(D)\).
2. Déterminer l’image du segment \([BC]\) par \(R\).
3. Montrer que \(R(E)=F\).
4. En déduire que \(AE=BF\) et que \((AE)\perp(BF)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : \(M’=R(M)\iff\Omega M’=\Omega M\) et \(\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\) ; une rotation conserve les distances et les angles orientés : si \(A’=R(A)\) et \(B’=R(B)\) alors \(A’B’=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\).
1. Les diagonales d’un carré sont de même longueur, perpendiculaires et ont le même milieu \(O\) : \(OA=OB=OC=OD\) et \(\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) (carré direct).
[] \(R(A)=B\) ; \(R(B)=C\) ; \(R(C)=D\) ; \(R(D)=A\)
[] 2. L’image d’un segment est le segment des images : \(R([BC])=[CD]\)
3. \(E\in[BC]\) donc \(E’=R(E)\in[CD]\) ; et \(R\) conserve les distances : \(CE’=BE\) (car \(R(B)=C\)).
Or \(BE=CF\) avec \(F\in[CD]\) : \(E’\) et \(F\) sont deux points de \([CD]\) à la même distance de \(C\).
[] \(R(E)=F\)
4. \(R(A)=B\) et \(R(E)=F\) : par la propriété caractéristique, \(BF=AE\) et \(\left(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BF}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\).
[] \(AE=BF\) et \((AE)\perp(BF)\)
1. Les diagonales d’un carré sont de même longueur, perpendiculaires et ont le même milieu \(O\) : \(OA=OB=OC=OD\) et \(\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) (carré direct).
[] \(R(A)=B\) ; \(R(B)=C\) ; \(R(C)=D\) ; \(R(D)=A\)
[] 2. L’image d’un segment est le segment des images : \(R([BC])=[CD]\)
3. \(E\in[BC]\) donc \(E’=R(E)\in[CD]\) ; et \(R\) conserve les distances : \(CE’=BE\) (car \(R(B)=C\)).
Or \(BE=CF\) avec \(F\in[CD]\) : \(E’\) et \(F\) sont deux points de \([CD]\) à la même distance de \(C\).
[] \(R(E)=F\)
4. \(R(A)=B\) et \(R(E)=F\) : par la propriété caractéristique, \(BF=AE\) et \(\left(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BF}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\).
[] \(AE=BF\) et \((AE)\perp(BF)\)