Exercice 1 (10 pts)
1. Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes :
\(P\) : \(\left(\dfrac{25}{9}=\dfrac{5}{3}\right)\) ou « \(3\) divise \(213\) » ; \(Q\) : \(\left(-\dfrac{5}{2}<-\dfrac{1}{2}\right)\) et \(\left(|-4|=-4\right)\) ;
\(R\) : \((\exists n\in\mathbb{Z})\ n^2-1=0\) ; \(S\) : \((\forall n\in\mathbb{N})\ \dfrac{n+3}{5}\in\mathbb{N}\).
2. On considère la proposition suivante : \(T\) : « \((\forall x\in\mathbb{R})\ 3x^2-4x+2\leq0\) ».
a) Donner la négation de \(T\).
b) Déterminer la valeur de vérité de la proposition \(T\).
3. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\sqrt{x^2+3}-2\), et la proposition \(P\) : « \(\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2\ \ f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\) ».
a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(f(x)=0\).
b) Donner la négation de \(P\).
c) En déduire que \(P\) est fausse.
4. En utilisant le raisonnement par la contraposée, montrer que : \(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ (x\neq y\ \wedge\ xy\neq1)\Rightarrow\dfrac{x}{x^2+x+1}\neq\dfrac{y}{y^2+y+1}\).
5. En utilisant le raisonnement par équivalences successives, montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R}^+)\ :\ \dfrac{x+\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\leq\sqrt{x}+3\).
6. En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que : \((\forall n\in\mathbb{N})\quad1+7^1+7^2+\cdots+7^n=\dfrac{7^{n+1}-1}{6}\).
\(P\) : \(\left(\dfrac{25}{9}=\dfrac{5}{3}\right)\) ou « \(3\) divise \(213\) » ; \(Q\) : \(\left(-\dfrac{5}{2}<-\dfrac{1}{2}\right)\) et \(\left(|-4|=-4\right)\) ;
\(R\) : \((\exists n\in\mathbb{Z})\ n^2-1=0\) ; \(S\) : \((\forall n\in\mathbb{N})\ \dfrac{n+3}{5}\in\mathbb{N}\).
2. On considère la proposition suivante : \(T\) : « \((\forall x\in\mathbb{R})\ 3x^2-4x+2\leq0\) ».
a) Donner la négation de \(T\).
b) Déterminer la valeur de vérité de la proposition \(T\).
3. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\sqrt{x^2+3}-2\), et la proposition \(P\) : « \(\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2\ \ f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\) ».
a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(f(x)=0\).
b) Donner la négation de \(P\).
c) En déduire que \(P\) est fausse.
4. En utilisant le raisonnement par la contraposée, montrer que : \(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ (x\neq y\ \wedge\ xy\neq1)\Rightarrow\dfrac{x}{x^2+x+1}\neq\dfrac{y}{y^2+y+1}\).
5. En utilisant le raisonnement par équivalences successives, montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R}^+)\ :\ \dfrac{x+\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\leq\sqrt{x}+3\).
6. En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que : \((\forall n\in\mathbb{N})\quad1+7^1+7^2+\cdots+7^n=\dfrac{7^{n+1}-1}{6}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 « \(A\) ou \(B\) » est vraie dès qu'une des deux est vraie ; « \(A\) et \(B\) » est vraie seulement si les deux sont vraies.
1. \(\dfrac{25}{9}\neq\dfrac{5}{3}\) (car \(\dfrac{5}{3}=\dfrac{15}{9}\)), mais \(213=3\times71\) :
[] \(P\) est vraie.
\(-\dfrac{5}{2}<-\dfrac{1}{2}\) est vraie, mais \(|-4|=4\neq-4\) :
[] \(Q\) est fausse.
Pour \(n=1\in\mathbb{Z}\) : \(1^2-1=0\) :
[] \(R\) est vraie. Pour \(n=0\) : \(\dfrac{3}{5}\notin\mathbb{N}\) :
[] \(S\) est fausse.
2. a)
[] \(\neg T\) : \((\exists x\in\mathbb{R})\ 3x^2-4x+2>0\)
b) Pour \(x=0\) : \(3\times0-0+2=2>0\), donc \(\neg T\) est vraie et
[] \(T\) est fausse.
3. a) \(f(x)=0\iff\sqrt{x^2+3}=2\iff x^2+3=4\iff x^2=1\iff x=1\) ou \(x=-1\).
[] \(S=\{-1;1\}\)
b)
[] \(\neg P\) : \(\exists(a,b)\in\mathbb{R}^2\ \ f(a)=f(b)\ \wedge\ a\neq b\)
c) Pour \(a=1\) et \(b=-1\) : \(f(1)=f(-1)=0\) et \(1\neq-1\) : \(\neg P\) est vraie, donc
[] \(P\) est fausse.
4. Contraposée : \(\dfrac{x}{x^2+x+1}=\dfrac{y}{y^2+y+1}\Rightarrow(x=y\) ou \(xy=1)\) (dénominateurs \(>0\)).
\(x(y^2+y+1)=y(x^2+x+1)\iff xy^2-x^2y+x-y=0\iff xy(y-x)+(x-y)=0\iff(x-y)(1-xy)=0\).
[] Donc \(x=y\) ou \(xy=1\) : l'implication est démontrée.
5. Pour \(x\geq0\), \(\sqrt{x}+1>0\) : \(\dfrac{x+\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\leq\sqrt{x}+3\iff x+\sqrt{x}+3\leq(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}+1)\)
\(\iff x+\sqrt{x}+3\leq x+4\sqrt{x}+3\iff0\leq3\sqrt{x}\), qui est vraie.
[] L'inégalité est vraie pour tout \(x\in\mathbb{R}^+\).
6. Initialisation : \(n=0\) : \(1=\dfrac{7-1}{6}\). Hérédité : si \(1+\cdots+7^n=\dfrac{7^{n+1}-1}{6}\), alors :
\(1+\cdots+7^n+7^{n+1}=\dfrac{7^{n+1}-1+6\times7^{n+1}}{6}=\dfrac{7^{n+2}-1}{6}\)
[!] La formule est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. \(\dfrac{25}{9}\neq\dfrac{5}{3}\) (car \(\dfrac{5}{3}=\dfrac{15}{9}\)), mais \(213=3\times71\) :
[] \(P\) est vraie.
\(-\dfrac{5}{2}<-\dfrac{1}{2}\) est vraie, mais \(|-4|=4\neq-4\) :
[] \(Q\) est fausse.
Pour \(n=1\in\mathbb{Z}\) : \(1^2-1=0\) :
[] \(R\) est vraie. Pour \(n=0\) : \(\dfrac{3}{5}\notin\mathbb{N}\) :
[] \(S\) est fausse.
2. a)
[] \(\neg T\) : \((\exists x\in\mathbb{R})\ 3x^2-4x+2>0\)
b) Pour \(x=0\) : \(3\times0-0+2=2>0\), donc \(\neg T\) est vraie et
[] \(T\) est fausse.
3. a) \(f(x)=0\iff\sqrt{x^2+3}=2\iff x^2+3=4\iff x^2=1\iff x=1\) ou \(x=-1\).
[] \(S=\{-1;1\}\)
b)
[] \(\neg P\) : \(\exists(a,b)\in\mathbb{R}^2\ \ f(a)=f(b)\ \wedge\ a\neq b\)
c) Pour \(a=1\) et \(b=-1\) : \(f(1)=f(-1)=0\) et \(1\neq-1\) : \(\neg P\) est vraie, donc
[] \(P\) est fausse.
4. Contraposée : \(\dfrac{x}{x^2+x+1}=\dfrac{y}{y^2+y+1}\Rightarrow(x=y\) ou \(xy=1)\) (dénominateurs \(>0\)).
\(x(y^2+y+1)=y(x^2+x+1)\iff xy^2-x^2y+x-y=0\iff xy(y-x)+(x-y)=0\iff(x-y)(1-xy)=0\).
[] Donc \(x=y\) ou \(xy=1\) : l'implication est démontrée.
5. Pour \(x\geq0\), \(\sqrt{x}+1>0\) : \(\dfrac{x+\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\leq\sqrt{x}+3\iff x+\sqrt{x}+3\leq(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}+1)\)
\(\iff x+\sqrt{x}+3\leq x+4\sqrt{x}+3\iff0\leq3\sqrt{x}\), qui est vraie.
[] L'inégalité est vraie pour tout \(x\in\mathbb{R}^+\).
6. Initialisation : \(n=0\) : \(1=\dfrac{7-1}{6}\). Hérédité : si \(1+\cdots+7^n=\dfrac{7^{n+1}-1}{6}\), alors :
\(1+\cdots+7^n+7^{n+1}=\dfrac{7^{n+1}-1+6\times7^{n+1}}{6}=\dfrac{7^{n+2}-1}{6}\)
[!] La formule est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Exercice 2 (4 pts)
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{x^2-4x+6}{x^2-4x+8}\).
1. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2-4x+8>0\), et en déduire \(D_f\) le domaine de définition de \(f\).
2. Montrer que \(f(2)=\dfrac{1}{2}\) est une valeur minimale de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)\leq1\).
b) Est-ce que \(1\) est une valeur maximale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ?
1. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2-4x+8>0\), et en déduire \(D_f\) le domaine de définition de \(f\).
2. Montrer que \(f(2)=\dfrac{1}{2}\) est une valeur minimale de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)\leq1\).
b) Est-ce que \(1\) est une valeur maximale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ?
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. 💡 Méthode : forme canonique du dénominateur.
\(x^2-4x+8=(x-2)^2-4+8\)
\(=(x-2)^2+4\geq4>0\)
Il ne s’annule jamais, donc \(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-4x+8\neq0\}=\mathbb{R}\).
[] \(D_f=\mathbb{R}\)
2. 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
\(f(2)=\dfrac{4-8+6}{4-8+8}\)
\(=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)
On étudie le signe de \(f(x)-\dfrac{1}{2}\) :
\(f(x)-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2(x^2-4x+6)-(x^2-4x+8)}{2(x^2-4x+8)}\)
\(=\dfrac{x^2-4x+4}{2(x^2-4x+8)}\)
\(=\dfrac{(x-2)^2}{2(x^2-4x+8)}\geq0\)
[] \(f(x)\geq f(2)\) pour tout \(x\) : \(\dfrac{1}{2}\) est la valeur minimale de \(f\).
3. a) 💡 Méthode : pour montrer que \(f(x)\leq M\) (ou \(f(x)\geq m\)), on étudie le signe de la différence \(M-f(x)\) (ou \(f(x)-m\)) en réduisant au même dénominateur.
\(1-f(x)=\dfrac{(x^2-4x+8)-(x^2-4x+6)}{x^2-4x+8}\)
\(=\dfrac{2}{x^2-4x+8}>0\)
[] \(f(x)<1\), donc \(f(x)\leq1\).
b)
[!] Non : l’inégalité \(f(x)<1\) est stricte, la valeur \(1\) n’est jamais atteinte.
\(x^2-4x+8=(x-2)^2-4+8\)
\(=(x-2)^2+4\geq4>0\)
Il ne s’annule jamais, donc \(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-4x+8\neq0\}=\mathbb{R}\).
[] \(D_f=\mathbb{R}\)
2. 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
\(f(2)=\dfrac{4-8+6}{4-8+8}\)
\(=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)
On étudie le signe de \(f(x)-\dfrac{1}{2}\) :
\(f(x)-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2(x^2-4x+6)-(x^2-4x+8)}{2(x^2-4x+8)}\)
\(=\dfrac{x^2-4x+4}{2(x^2-4x+8)}\)
\(=\dfrac{(x-2)^2}{2(x^2-4x+8)}\geq0\)
[] \(f(x)\geq f(2)\) pour tout \(x\) : \(\dfrac{1}{2}\) est la valeur minimale de \(f\).
3. a) 💡 Méthode : pour montrer que \(f(x)\leq M\) (ou \(f(x)\geq m\)), on étudie le signe de la différence \(M-f(x)\) (ou \(f(x)-m\)) en réduisant au même dénominateur.
\(1-f(x)=\dfrac{(x^2-4x+8)-(x^2-4x+6)}{x^2-4x+8}\)
\(=\dfrac{2}{x^2-4x+8}>0\)
[] \(f(x)<1\), donc \(f(x)\leq1\).
b)
[!] Non : l’inégalité \(f(x)<1\) est stricte, la valeur \(1\) n’est jamais atteinte.
Exercice 3 (6 pts)
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-2x^3+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}\), dont la courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) est la suivante :
1. Donner le tableau de variations de \(f\).
2. Déterminer graphiquement le signe de \(f(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Résoudre graphiquement dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(-2x^3+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}=0\).
4. Montrer graphiquement que : \(\left(\forall x\in\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\right)\ :\ f(x)\geq-1\).
5. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation \(-2x^3+\dfrac{3}{2}x-1=0\).
6. Résoudre graphiquement dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(f(x)\leq-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\).
1. Donner le tableau de variations de \(f\).
2. Déterminer graphiquement le signe de \(f(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Résoudre graphiquement dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(-2x^3+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}=0\).
4. Montrer graphiquement que : \(\left(\forall x\in\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\right)\ :\ f(x)\geq-1\).
5. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation \(-2x^3+\dfrac{3}{2}x-1=0\).
6. Résoudre graphiquement dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(f(x)\leq-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. Lecture : \(f\) admet un minimum local \(f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1\) et un maximum local \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0\).
2. 💡 Signe de \(f(x)\) : \(f(x)>0\) là où \(C_f\) est au-dessus de \((Ox)\), \(f(x)<0\) là où elle est en dessous.
[] \(f(x)>0\) sur \(]-\infty;-1[\) ; \(f(x)=0\) pour \(x\in\left\{-1;\dfrac{1}{2}\right\}\) ; \(f(x)<0\) sur \(\left]-1;\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[\).
3. Les solutions de \(f(x)=0\) sont les abscisses des points de \(C_f\) sur l'axe \((Ox)\) (\(C_f\) est tangente à l'axe en \(\dfrac{1}{2}\)).
[] \(S=\left\{-1;\dfrac{1}{2}\right\}\) (vérification : \(f(x)=-\dfrac{1}{2}(x+1)(2x-1)^2\)).
4. Sur \(\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\), le point le plus bas de \(C_f\) est \(\left(-\dfrac{1}{2};-1\right)\) : la courbe est au-dessus de la droite \(y=-1\).
[] \(\left(\forall x\in\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\right)\ f(x)\geq-1\)
5. \(-2x^3+\dfrac{3}{2}x-1=0\iff f(x)-\dfrac{1}{2}=0\iff f(x)=\dfrac{1}{2}\) : on compte les intersections de \(C_f\) avec la droite \(y=\dfrac{1}{2}\).
[] Le maximum local est \(0<\dfrac{1}{2}\) : la droite ne coupe \(C_f\) qu'une fois (pour \(x<-1\)) : une seule solution.
6. On trace la droite \((D)\) : \(y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\) ; elle passe par \((-1;0)\), \(\left(0;-\dfrac{1}{2}\right)\) et \((1;-1)\), qui sont sur \(C_f\).
\(C_f\) est sous \((D)\) (ou la coupe) pour \(-1\leq x\leq0\) et pour \(x\geq1\). (Calcul : \(f(x)-\left(-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\right)=-2x^3+2x=2x(1-x)(1+x)\).)
[!] \(S=[-1;0]\cup[1;+\infty[\)
2. 💡 Signe de \(f(x)\) : \(f(x)>0\) là où \(C_f\) est au-dessus de \((Ox)\), \(f(x)<0\) là où elle est en dessous.
[] \(f(x)>0\) sur \(]-\infty;-1[\) ; \(f(x)=0\) pour \(x\in\left\{-1;\dfrac{1}{2}\right\}\) ; \(f(x)<0\) sur \(\left]-1;\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[\).
3. Les solutions de \(f(x)=0\) sont les abscisses des points de \(C_f\) sur l'axe \((Ox)\) (\(C_f\) est tangente à l'axe en \(\dfrac{1}{2}\)).
[] \(S=\left\{-1;\dfrac{1}{2}\right\}\) (vérification : \(f(x)=-\dfrac{1}{2}(x+1)(2x-1)^2\)).
4. Sur \(\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\), le point le plus bas de \(C_f\) est \(\left(-\dfrac{1}{2};-1\right)\) : la courbe est au-dessus de la droite \(y=-1\).
[] \(\left(\forall x\in\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\right)\ f(x)\geq-1\)
5. \(-2x^3+\dfrac{3}{2}x-1=0\iff f(x)-\dfrac{1}{2}=0\iff f(x)=\dfrac{1}{2}\) : on compte les intersections de \(C_f\) avec la droite \(y=\dfrac{1}{2}\).
[] Le maximum local est \(0<\dfrac{1}{2}\) : la droite ne coupe \(C_f\) qu'une fois (pour \(x<-1\)) : une seule solution.
6. On trace la droite \((D)\) : \(y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\) ; elle passe par \((-1;0)\), \(\left(0;-\dfrac{1}{2}\right)\) et \((1;-1)\), qui sont sur \(C_f\).
\(C_f\) est sous \((D)\) (ou la coupe) pour \(-1\leq x\leq0\) et pour \(x\geq1\). (Calcul : \(f(x)-\left(-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\right)=-2x^3+2x=2x(1-x)(1+x)\).)
[!] \(S=[-1;0]\cup[1;+\infty[\)