Exercice 1 (4.5 pts)
1. Donner la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes, en justifiant :
\(P\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2-2x+1\geq0\) ; \(Q\) : \((\exists n\in\mathbb{N})\ \dfrac{n+1}{2}\in\mathbb{N}\) ; \(R\) : \(\left(\sqrt{2}>\dfrac{3}{2}\right)\Rightarrow(\pi\in\mathbb{Z})\).
2. On considère la proposition \(S\) : \((\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\ :\ y^2=x\).
a) Donner la négation de \(S\).
b) La proposition \(S\) est-elle vraie ? Justifier.
3. En utilisant le raisonnement par contraposée, montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R})\ :\ x\neq1\Rightarrow\dfrac{2x}{x^2+1}\neq1\).
\(P\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2-2x+1\geq0\) ; \(Q\) : \((\exists n\in\mathbb{N})\ \dfrac{n+1}{2}\in\mathbb{N}\) ; \(R\) : \(\left(\sqrt{2}>\dfrac{3}{2}\right)\Rightarrow(\pi\in\mathbb{Z})\).
2. On considère la proposition \(S\) : \((\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\ :\ y^2=x\).
a) Donner la négation de \(S\).
b) La proposition \(S\) est-elle vraie ? Justifier.
3. En utilisant le raisonnement par contraposée, montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R})\ :\ x\neq1\Rightarrow\dfrac{2x}{x^2+1}\neq1\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. 💡 Une proposition « \(\forall\) » est vraie si elle est vraie pour tous les éléments ; une proposition « \(\exists\) » est vraie s'il existe au moins un élément qui convient.
\(P\) : pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(x^2-2x+1=(x-1)^2\geq0\) (un carré est positif).
[] \(P\) est vraie.
\(Q\) : pour \(n=1\), \(\dfrac{n+1}{2}=\dfrac{2}{2}=1\in\mathbb{N}\).
[] \(Q\) est vraie.
\(R\) : \(\sqrt{2}\approx1{,}41<1{,}5\), donc la prémisse \(\sqrt{2}>\dfrac{3}{2}\) est fausse.
💡 Une implication \(A\Rightarrow B\) est fausse uniquement quand \(A\) est vraie et \(B\) fausse. Si \(A\) est fausse, \(A\Rightarrow B\) est vraie.
[] \(R\) est vraie (même si \(\pi\notin\mathbb{Z}\)).
2. a) 💡 Pour nier : on échange \(\forall\) et \(\exists\), et on nie la propriété finale.
[] \(\neg S\) : \((\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\ :\ y^2\neq x\)
b) Pour \(x=-1\) : pour tout \(y\in\mathbb{R}\), \(y^2\geq0>-1\), donc \(y^2\neq-1\). Ainsi \(\neg S\) est vraie.
[!] \(S\) est fausse (\(x=-1\) est un contre-exemple).
3. 💡 La contraposée de « \(A\Rightarrow B\) » est « \(\neg B\Rightarrow\neg A\) » ; elles sont équivalentes.
On montre : \(\dfrac{2x}{x^2+1}=1\Rightarrow x=1\).
Si \(\dfrac{2x}{x^2+1}=1\), alors \(2x=x^2+1\) (car \(x^2+1\neq0\)), donc \(x^2-2x+1=0\), soit \((x-1)^2=0\), d'où \(x=1\).
[!] Par contraposée : \(x\neq1\Rightarrow\dfrac{2x}{x^2+1}\neq1\).
\(P\) : pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(x^2-2x+1=(x-1)^2\geq0\) (un carré est positif).
[] \(P\) est vraie.
\(Q\) : pour \(n=1\), \(\dfrac{n+1}{2}=\dfrac{2}{2}=1\in\mathbb{N}\).
[] \(Q\) est vraie.
\(R\) : \(\sqrt{2}\approx1{,}41<1{,}5\), donc la prémisse \(\sqrt{2}>\dfrac{3}{2}\) est fausse.
💡 Une implication \(A\Rightarrow B\) est fausse uniquement quand \(A\) est vraie et \(B\) fausse. Si \(A\) est fausse, \(A\Rightarrow B\) est vraie.
[] \(R\) est vraie (même si \(\pi\notin\mathbb{Z}\)).
2. a) 💡 Pour nier : on échange \(\forall\) et \(\exists\), et on nie la propriété finale.
[] \(\neg S\) : \((\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\ :\ y^2\neq x\)
b) Pour \(x=-1\) : pour tout \(y\in\mathbb{R}\), \(y^2\geq0>-1\), donc \(y^2\neq-1\). Ainsi \(\neg S\) est vraie.
[!] \(S\) est fausse (\(x=-1\) est un contre-exemple).
3. 💡 La contraposée de « \(A\Rightarrow B\) » est « \(\neg B\Rightarrow\neg A\) » ; elles sont équivalentes.
On montre : \(\dfrac{2x}{x^2+1}=1\Rightarrow x=1\).
Si \(\dfrac{2x}{x^2+1}=1\), alors \(2x=x^2+1\) (car \(x^2+1\neq0\)), donc \(x^2-2x+1=0\), soit \((x-1)^2=0\), d'où \(x=1\).
[!] Par contraposée : \(x\neq1\Rightarrow\dfrac{2x}{x^2+1}\neq1\).
Exercice 2 (5.5 pts)
1. En utilisant le raisonnement par équivalences successives, montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R}^+)\ :\ \dfrac{x+1}{2}\geq\sqrt{x}\).
2. En utilisant le raisonnement par l'absurde, montrer que : \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq\sqrt{5}\).
3. Montrer par récurrence que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ :\ 1+3+5+\cdots+(2n+1)=(n+1)^2\).
4. Montrer par récurrence que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le nombre \(4^n-1\) est divisible par \(3\).
2. En utilisant le raisonnement par l'absurde, montrer que : \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq\sqrt{5}\).
3. Montrer par récurrence que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ :\ 1+3+5+\cdots+(2n+1)=(n+1)^2\).
4. Montrer par récurrence que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le nombre \(4^n-1\) est divisible par \(3\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. 💡 On transforme l'inégalité par des équivalences jusqu'à obtenir une inégalité évidemment vraie.
Soit \(x\in\mathbb{R}^+\) (donc \(\sqrt{x}\) existe et \(x=(\sqrt{x})^2\)) :
\(\dfrac{x+1}{2}\geq\sqrt{x}\iff x+1\geq2\sqrt{x}\iff(\sqrt{x})^2-2\sqrt{x}+1\geq0\iff(\sqrt{x}-1)^2\geq0\)
[] La dernière inégalité est vraie, donc \((\forall x\in\mathbb{R}^+)\ \dfrac{x+1}{2}\geq\sqrt{x}\).
2. 💡 Par l'absurde : on suppose le contraire et on aboutit à une contradiction.
Supposons que \(\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}\). Les deux membres sont positifs, on peut élever au carré :
\(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=5\iff2+2\sqrt{6}+3=5\iff2\sqrt{6}=0\), ce qui est absurde car \(\sqrt{6}>0\).
[] Donc \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq\sqrt{5}\).
3. 💡 Récurrence : initialisation (vérifier pour le premier entier), puis hérédité (si c'est vrai pour \(n\), c'est vrai pour \(n+1\)).
Initialisation : pour \(n=0\), \(1=(0+1)^2\) : vrai.
Hérédité : supposons \(1+3+\cdots+(2n+1)=(n+1)^2\) pour un \(n\in\mathbb{N}\). Alors :
\(1+3+\cdots+(2n+1)+(2n+3)=(n+1)^2+2n+3=n^2+4n+4=(n+2)^2\)
[!] Donc \((\forall n\in\mathbb{N})\ 1+3+5+\cdots+(2n+1)=(n+1)^2\).
4. Initialisation : pour \(n=0\), \(4^0-1=0=3\times0\) : divisible par \(3\).
Hérédité : supposons \(4^n-1=3k\) avec \(k\in\mathbb{N}\), c'est-à-dire \(4^n=3k+1\). Alors :
\(4^{n+1}-1=4\times4^n-1=4(3k+1)-1=12k+3=3(4k+1)\)
[!] Donc pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(4^n-1\) est divisible par \(3\).
Soit \(x\in\mathbb{R}^+\) (donc \(\sqrt{x}\) existe et \(x=(\sqrt{x})^2\)) :
\(\dfrac{x+1}{2}\geq\sqrt{x}\iff x+1\geq2\sqrt{x}\iff(\sqrt{x})^2-2\sqrt{x}+1\geq0\iff(\sqrt{x}-1)^2\geq0\)
[] La dernière inégalité est vraie, donc \((\forall x\in\mathbb{R}^+)\ \dfrac{x+1}{2}\geq\sqrt{x}\).
2. 💡 Par l'absurde : on suppose le contraire et on aboutit à une contradiction.
Supposons que \(\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}\). Les deux membres sont positifs, on peut élever au carré :
\(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=5\iff2+2\sqrt{6}+3=5\iff2\sqrt{6}=0\), ce qui est absurde car \(\sqrt{6}>0\).
[] Donc \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq\sqrt{5}\).
3. 💡 Récurrence : initialisation (vérifier pour le premier entier), puis hérédité (si c'est vrai pour \(n\), c'est vrai pour \(n+1\)).
Initialisation : pour \(n=0\), \(1=(0+1)^2\) : vrai.
Hérédité : supposons \(1+3+\cdots+(2n+1)=(n+1)^2\) pour un \(n\in\mathbb{N}\). Alors :
\(1+3+\cdots+(2n+1)+(2n+3)=(n+1)^2+2n+3=n^2+4n+4=(n+2)^2\)
[!] Donc \((\forall n\in\mathbb{N})\ 1+3+5+\cdots+(2n+1)=(n+1)^2\).
4. Initialisation : pour \(n=0\), \(4^0-1=0=3\times0\) : divisible par \(3\).
Hérédité : supposons \(4^n-1=3k\) avec \(k\in\mathbb{N}\), c'est-à-dire \(4^n=3k+1\). Alors :
\(4^{n+1}-1=4\times4^n-1=4(3k+1)-1=12k+3=3(4k+1)\)
[!] Donc pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(4^n-1\) est divisible par \(3\).
Exercice 3 (6 pts)
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\).
1. Déterminer \(D_f\) et étudier la parité de \(f\).
2. Montrer que \(f\) est bornée : \((\forall x\in\mathbb{R})\ -1\leq f(x)\leq1\).
3. Montrer que \(1\) est la valeur maximale de \(f\) et que \(-1\) est sa valeur minimale.
4. a) Montrer que pour tous réels \(a\) et \(b\) distincts : \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{2(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\).
b) En déduire les variations de \(f\) sur \([0;1]\) puis sur \([1;+\infty[\).
c) En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et dresser son tableau de variations.
1. Déterminer \(D_f\) et étudier la parité de \(f\).
2. Montrer que \(f\) est bornée : \((\forall x\in\mathbb{R})\ -1\leq f(x)\leq1\).
3. Montrer que \(1\) est la valeur maximale de \(f\) et que \(-1\) est sa valeur minimale.
4. a) Montrer que pour tous réels \(a\) et \(b\) distincts : \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{2(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\).
b) En déduire les variations de \(f\) sur \([0;1]\) puis sur \([1;+\infty[\).
c) En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et dresser son tableau de variations.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. 💡 Méthode : \(f(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2+1\neq0\}\)
\(x\in D_f\iff x^2+1\neq0\)
Or pour tout réel \(x\) : \(x^2\geq0\), donc \(x^2+1\geq1>0\) : le dénominateur ne s’annule jamais, la condition est toujours vraie.
[] \(D_f=\mathbb{R}\)
💡 Méthode : pour étudier la parité de \(f\), on vérifie deux conditions :
(1) \(D_{f}\) est symétrique par rapport à \(0\) : pour tout \(x\in D_{f}\), on a aussi \(-x\in D_{f}\) ;
(2) pour tout \(x\in D_{f}\) : \(f(-x)=f(x)\) (\(f\) paire) ou \(f(-x)=-f(x)\) (\(f\) impaire).
Condition (1) : \(D_f=\mathbb{R}\) ; pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a \(-x\in\mathbb{R}\). ✔
Condition (2) : soit \(x\in D_{f}\) ; on remplace \(x\) par \(-x\) :
\(f(-x)=\dfrac{2(-x)}{(-x)^2+1}\)
\(=\dfrac{-2x}{x^2+1}\)
\(=-\dfrac{2x}{x^2+1}\)
\(=-f(x)\)
[] Les deux conditions sont vérifiées : \(f\) est impaire ; sa courbe est symétrique par rapport à l’origine \(O\).
2. 💡 Méthode : pour montrer que \(f(x)\leq M\) (ou \(f(x)\geq m\)), on étudie le signe de la différence \(M-f(x)\) (ou \(f(x)-m\)) en réduisant au même dénominateur.
Majoration : on calcule \(1-f(x)\) :
\(1-f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+1}-\dfrac{2x}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}\)
Le numérateur est un carré (\(\geq0\)) et le dénominateur est \(>0\) : \(1-f(x)\geq0\), c’est-à-dire \(f(x)\leq1\).
Minoration : on calcule \(f(x)-(-1)=f(x)+1\) :
\(f(x)+1=\dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{x^2+1}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}\)
De même \(f(x)+1\geq0\), c’est-à-dire \(f(x)\geq-1\).
[] \((\forall x\in\mathbb{R})\ -1\leq f(x)\leq1\) : \(f\) est bornée.
3. 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
On sait que \(f(x)\leq1\) ; et \(f(1)=\dfrac{2\times1}{1^2+1}=\dfrac{2}{2}=1\) : la valeur \(1\) est atteinte.
[] \(1=f(1)\) est la valeur maximale de \(f\).
De même \(f(x)\geq-1\) et \(f(-1)=\dfrac{-2}{2}=-1\).
[] \(-1=f(-1)\) est la valeur minimale de \(f\).
4. a) Soient \(a\neq b\) deux réels. On réduit au même dénominateur puis on factorise par \(a-b\) :
\(f(a)-f(b)=\dfrac{2a}{a^2+1}-\dfrac{2b}{b^2+1}\)
\(=\dfrac{2a(b^2+1)-2b(a^2+1)}{(a^2+1)(b^2+1)}\)
\(=\dfrac{2ab^2+2a-2a^2b-2b}{(a^2+1)(b^2+1)}\)
\(=\dfrac{2(a-b)-2ab(a-b)}{(a^2+1)(b^2+1)}\)
\(=\dfrac{2(a-b)(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\)
On divise par \(a-b\neq0\) :
[] \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{2(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\)
b) 💡 Méthode (taux de variation) : pour \(a\neq b\) dans un intervalle \(I\), on calcule \(T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}\) et on étudie son signe :
si \(T>0\) sur \(I\), \(f\) est croissante sur \(I\) ; si \(T<0\), elle est décroissante sur \(I\).
Ici le dénominateur \((a^2+1)(b^2+1)\) est toujours positif : le signe de \(T\) est celui de \(1-ab\).
Sur \([0;1]\) : si \(a\) et \(b\) sont dans \([0;1]\) (\(a\neq b\)), alors \(0\leq ab<1\), donc \(1-ab>0\) et \(T>0\).
[] \(f\) est croissante sur \([0;1]\).
Sur \([1;+\infty[\) : si \(a\) et \(b\) sont dans \([1;+\infty[\) (\(a\neq b\)), alors \(ab>1\), donc \(1-ab<0\) et \(T<0\).
[] \(f\) est décroissante sur \([1;+\infty[\).
c) 💡 Rappel : une fonction impaire a le même sens de variation sur deux intervalles symétriques par rapport à \(0\).
\([0;1]\) et \([-1;0]\) sont symétriques : \(f\) est croissante sur \([-1;0]\) ; \([1;+\infty[\) et \(]-\infty;-1]\) sont symétriques : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-1]\).
[!] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-1]\), croissante sur \([-1;1]\) et décroissante sur \([1;+\infty[\).
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2+1\neq0\}\)
\(x\in D_f\iff x^2+1\neq0\)
Or pour tout réel \(x\) : \(x^2\geq0\), donc \(x^2+1\geq1>0\) : le dénominateur ne s’annule jamais, la condition est toujours vraie.
[] \(D_f=\mathbb{R}\)
💡 Méthode : pour étudier la parité de \(f\), on vérifie deux conditions :
(1) \(D_{f}\) est symétrique par rapport à \(0\) : pour tout \(x\in D_{f}\), on a aussi \(-x\in D_{f}\) ;
(2) pour tout \(x\in D_{f}\) : \(f(-x)=f(x)\) (\(f\) paire) ou \(f(-x)=-f(x)\) (\(f\) impaire).
Condition (1) : \(D_f=\mathbb{R}\) ; pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a \(-x\in\mathbb{R}\). ✔
Condition (2) : soit \(x\in D_{f}\) ; on remplace \(x\) par \(-x\) :
\(f(-x)=\dfrac{2(-x)}{(-x)^2+1}\)
\(=\dfrac{-2x}{x^2+1}\)
\(=-\dfrac{2x}{x^2+1}\)
\(=-f(x)\)
[] Les deux conditions sont vérifiées : \(f\) est impaire ; sa courbe est symétrique par rapport à l’origine \(O\).
2. 💡 Méthode : pour montrer que \(f(x)\leq M\) (ou \(f(x)\geq m\)), on étudie le signe de la différence \(M-f(x)\) (ou \(f(x)-m\)) en réduisant au même dénominateur.
Majoration : on calcule \(1-f(x)\) :
\(1-f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+1}-\dfrac{2x}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}\)
Le numérateur est un carré (\(\geq0\)) et le dénominateur est \(>0\) : \(1-f(x)\geq0\), c’est-à-dire \(f(x)\leq1\).
Minoration : on calcule \(f(x)-(-1)=f(x)+1\) :
\(f(x)+1=\dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{x^2+1}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}\)
De même \(f(x)+1\geq0\), c’est-à-dire \(f(x)\geq-1\).
[] \((\forall x\in\mathbb{R})\ -1\leq f(x)\leq1\) : \(f\) est bornée.
3. 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
On sait que \(f(x)\leq1\) ; et \(f(1)=\dfrac{2\times1}{1^2+1}=\dfrac{2}{2}=1\) : la valeur \(1\) est atteinte.
[] \(1=f(1)\) est la valeur maximale de \(f\).
De même \(f(x)\geq-1\) et \(f(-1)=\dfrac{-2}{2}=-1\).
[] \(-1=f(-1)\) est la valeur minimale de \(f\).
4. a) Soient \(a\neq b\) deux réels. On réduit au même dénominateur puis on factorise par \(a-b\) :
\(f(a)-f(b)=\dfrac{2a}{a^2+1}-\dfrac{2b}{b^2+1}\)
\(=\dfrac{2a(b^2+1)-2b(a^2+1)}{(a^2+1)(b^2+1)}\)
\(=\dfrac{2ab^2+2a-2a^2b-2b}{(a^2+1)(b^2+1)}\)
\(=\dfrac{2(a-b)-2ab(a-b)}{(a^2+1)(b^2+1)}\)
\(=\dfrac{2(a-b)(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\)
On divise par \(a-b\neq0\) :
[] \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{2(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\)
b) 💡 Méthode (taux de variation) : pour \(a\neq b\) dans un intervalle \(I\), on calcule \(T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}\) et on étudie son signe :
si \(T>0\) sur \(I\), \(f\) est croissante sur \(I\) ; si \(T<0\), elle est décroissante sur \(I\).
Ici le dénominateur \((a^2+1)(b^2+1)\) est toujours positif : le signe de \(T\) est celui de \(1-ab\).
Sur \([0;1]\) : si \(a\) et \(b\) sont dans \([0;1]\) (\(a\neq b\)), alors \(0\leq ab<1\), donc \(1-ab>0\) et \(T>0\).
[] \(f\) est croissante sur \([0;1]\).
Sur \([1;+\infty[\) : si \(a\) et \(b\) sont dans \([1;+\infty[\) (\(a\neq b\)), alors \(ab>1\), donc \(1-ab<0\) et \(T<0\).
[] \(f\) est décroissante sur \([1;+\infty[\).
c) 💡 Rappel : une fonction impaire a le même sens de variation sur deux intervalles symétriques par rapport à \(0\).
\([0;1]\) et \([-1;0]\) sont symétriques : \(f\) est croissante sur \([-1;0]\) ; \([1;+\infty[\) et \(]-\infty;-1]\) sont symétriques : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-1]\).
[!] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-1]\), croissante sur \([-1;1]\) et décroissante sur \([1;+\infty[\).
Exercice 4 (4 pts)
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par : \(f(x)=x^2-4x+3\) et \(g(x)=\sqrt{x}\).
1. Vérifier que \(f(x)=(x-2)^2-1\), puis déterminer la nature de \((C_f)\) et ses éléments caractéristiques.
2. Déterminer les points d'intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère, puis tracer \((C_f)\).
3. On pose \(h=g\circ f\). Déterminer \(D_h\) et exprimer \(h(x)\) pour \(x\in D_h\).
4. Étudier les variations de \(h\) sur \(]-\infty;1]\) et sur \([3;+\infty[\).
1. Vérifier que \(f(x)=(x-2)^2-1\), puis déterminer la nature de \((C_f)\) et ses éléments caractéristiques.
2. Déterminer les points d'intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère, puis tracer \((C_f)\).
3. On pose \(h=g\circ f\). Déterminer \(D_h\) et exprimer \(h(x)\) pour \(x\in D_h\).
4. Étudier les variations de \(h\) sur \(]-\infty;1]\) et sur \([3;+\infty[\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. On développe le membre de droite :
\((x-2)^2-1=x^2-4x+4-1\)
\(=x^2-4x+3\)
\(=f(x)\)
💡 Rappel : la courbe de \(x\mapsto a(x-\alpha)^2+\beta\) est une parabole de sommet \(S(\alpha;\beta)\) et d’axe de symétrie la droite d’équation \(x=\alpha\) ; elle est tournée vers le haut si \(a>0\), vers le bas si \(a<0\).
Ici \(a=1>0\), \(\alpha=2\) et \(\beta=-1\).
[] \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(2;-1)\), d’axe de symétrie la droite \((\Delta)\) : \(x=2\), tournée vers le haut.
2. 💡 Méthode : intersection avec \((Ox)\) : on résout \(f(x)=0\) ; intersection avec \((Oy)\) : on calcule \(f(0)\).
Avec \((Ox)\) :
\(f(x)=0\iff(x-2)^2-1=0\)
\(\iff(x-2)^2=1\)
\(\iff x-2=1\) ou \(x-2=-1\)
\(\iff x=3\) ou \(x=1\)
Avec \((Oy)\) : \(f(0)=0^2-4\times0+3=3\).
[] \((C_f)\) coupe \((Ox)\) en \(A(1;0)\) et \(B(3;0)\), et \((Oy)\) en \(C(0;3)\).
💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
3. 💡 Méthode : \(x\in D_{g\circ f}\iff x\in D_f\) et \(f(x)\in D_g\).
Ici \(D_f=\mathbb{R}\) (fonction polynôme) et \(D_g=[0;+\infty[\) :
\(x\in D_h\iff f(x)\geq0\)
\(\iff(x-1)(x-3)\geq0\)
(on a factorisé grâce aux racines \(1\) et \(3\) trouvées à la question 2). Tableau de signe :
[] \(D_h=]-\infty;1]\cup[3;+\infty[\) et pour \(x\in D_h\) : \(h(x)=g\left(f(x)\right)=\sqrt{x^2-4x+3}\).
4. 💡 Méthode (fonction composée) : si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle \(J\) contenant \(u(I)\) :
même sens de variation ⇒ \(v\circ u\) est croissante sur \(I\) ; sens contraires ⇒ \(v\circ u\) est décroissante sur \(I\).
Sur \(]-\infty;1]\) : \(f\) est décroissante (on est à gauche du sommet \(\alpha=2\)) et \(f(x)\geq0\), donc \(f(x)\in[0;+\infty[\) où \(g\) est croissante.
[] Sens contraires : \(h\) est décroissante sur \(]-\infty;1]\).
Sur \([3;+\infty[\) : \(f\) est croissante (à droite du sommet) et \(f(x)\geq0\) ; \(g\) est croissante sur \([0;+\infty[\).
[!] Même sens : \(h\) est croissante sur \([3;+\infty[\).
\((x-2)^2-1=x^2-4x+4-1\)
\(=x^2-4x+3\)
\(=f(x)\)
💡 Rappel : la courbe de \(x\mapsto a(x-\alpha)^2+\beta\) est une parabole de sommet \(S(\alpha;\beta)\) et d’axe de symétrie la droite d’équation \(x=\alpha\) ; elle est tournée vers le haut si \(a>0\), vers le bas si \(a<0\).
Ici \(a=1>0\), \(\alpha=2\) et \(\beta=-1\).
[] \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(2;-1)\), d’axe de symétrie la droite \((\Delta)\) : \(x=2\), tournée vers le haut.
2. 💡 Méthode : intersection avec \((Ox)\) : on résout \(f(x)=0\) ; intersection avec \((Oy)\) : on calcule \(f(0)\).
Avec \((Ox)\) :
\(f(x)=0\iff(x-2)^2-1=0\)
\(\iff(x-2)^2=1\)
\(\iff x-2=1\) ou \(x-2=-1\)
\(\iff x=3\) ou \(x=1\)
Avec \((Oy)\) : \(f(0)=0^2-4\times0+3=3\).
[] \((C_f)\) coupe \((Ox)\) en \(A(1;0)\) et \(B(3;0)\), et \((Oy)\) en \(C(0;3)\).
💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
3. 💡 Méthode : \(x\in D_{g\circ f}\iff x\in D_f\) et \(f(x)\in D_g\).
Ici \(D_f=\mathbb{R}\) (fonction polynôme) et \(D_g=[0;+\infty[\) :
\(x\in D_h\iff f(x)\geq0\)
\(\iff(x-1)(x-3)\geq0\)
(on a factorisé grâce aux racines \(1\) et \(3\) trouvées à la question 2). Tableau de signe :
[] \(D_h=]-\infty;1]\cup[3;+\infty[\) et pour \(x\in D_h\) : \(h(x)=g\left(f(x)\right)=\sqrt{x^2-4x+3}\).
4. 💡 Méthode (fonction composée) : si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle \(J\) contenant \(u(I)\) :
même sens de variation ⇒ \(v\circ u\) est croissante sur \(I\) ; sens contraires ⇒ \(v\circ u\) est décroissante sur \(I\).
Sur \(]-\infty;1]\) : \(f\) est décroissante (on est à gauche du sommet \(\alpha=2\)) et \(f(x)\geq0\), donc \(f(x)\in[0;+\infty[\) où \(g\) est croissante.
[] Sens contraires : \(h\) est décroissante sur \(]-\infty;1]\).
Sur \([3;+\infty[\) : \(f\) est croissante (à droite du sommet) et \(f(x)\geq0\) ; \(g\) est croissante sur \([0;+\infty[\).
[!] Même sens : \(h\) est croissante sur \([3;+\infty[\).