Exercice 1 (8 pts)
1. Donner la valeur de vérité et la négation de chacune des propositions :
\(P\) : « \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2+1>0\) » ; \(Q\) : « \((\exists n\in\mathbb{N})\ n^2=2n\) » ; \(R\) : « \((\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\ x+y=0\) ».
2. Par contraposée, montrer que pour tous réels \(x\) et \(y\) : si \(x\neq1\) et \(y\neq1\), alors \(x+y-xy\neq1\).
3. Par récurrence, montrer que \((\forall n\in\mathbb{N}^*)\ 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\).
4. Par l’absurde, montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(\sqrt{n^2+1}\) n’est pas un entier.
\(P\) : « \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2+1>0\) » ; \(Q\) : « \((\exists n\in\mathbb{N})\ n^2=2n\) » ; \(R\) : « \((\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\ x+y=0\) ».
2. Par contraposée, montrer que pour tous réels \(x\) et \(y\) : si \(x\neq1\) et \(y\neq1\), alors \(x+y-xy\neq1\).
3. Par récurrence, montrer que \((\forall n\in\mathbb{N}^*)\ 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\).
4. Par l’absurde, montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(\sqrt{n^2+1}\) n’est pas un entier.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(P\) vraie ; \(\overline{P}\) : « \((\exists x\in\mathbb{R})\ x^2+1\leq0\) ».
\(Q\) vraie (\(n=0\) ou \(n=2\)) ; \(\overline{Q}\) : « \((\forall n\in\mathbb{N})\ n^2\neq2n\) ».
\(R\) vraie (\(y=-x\)) ; \(\overline{R}\) : « \((\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\ x+y\neq0\) ».
💡 Contraposée de \(A\Rightarrow B\) : \(\overline{B}\Rightarrow\overline{A}\) (négation notée \(\overline{P}\) ou \(\neg P\)).
2. Supposons \(x+y-xy=1\) :
\(x+y-xy-1=0\iff(x-1)(1-y)=0\)
[] donc \(x=1\) ou \(y=1\) : la contraposée est vraie, d’où l’implication
3. Pour \(n=1\) : \(1=1^2\) ✔. Si \(1+3+\cdots+(2n-1)=n^2\), alors \(1+3+\cdots+(2n-1)+(2n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2\) ✔.
4. Supposons \(\sqrt{n^2+1}=p\in\mathbb{N}\). Or \(n^2<n^2+1<n^2+2n+1\), donc \(n<p<n+1\) : impossible pour un entier.
[] \(\sqrt{n^2+1}\notin\mathbb{N}\)
\(Q\) vraie (\(n=0\) ou \(n=2\)) ; \(\overline{Q}\) : « \((\forall n\in\mathbb{N})\ n^2\neq2n\) ».
\(R\) vraie (\(y=-x\)) ; \(\overline{R}\) : « \((\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\ x+y\neq0\) ».
💡 Contraposée de \(A\Rightarrow B\) : \(\overline{B}\Rightarrow\overline{A}\) (négation notée \(\overline{P}\) ou \(\neg P\)).
2. Supposons \(x+y-xy=1\) :
\(x+y-xy-1=0\iff(x-1)(1-y)=0\)
[] donc \(x=1\) ou \(y=1\) : la contraposée est vraie, d’où l’implication
3. Pour \(n=1\) : \(1=1^2\) ✔. Si \(1+3+\cdots+(2n-1)=n^2\), alors \(1+3+\cdots+(2n-1)+(2n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2\) ✔.
4. Supposons \(\sqrt{n^2+1}=p\in\mathbb{N}\). Or \(n^2<n^2+1<n^2+2n+1\), donc \(n<p<n+1\) : impossible pour un entier.
[] \(\sqrt{n^2+1}\notin\mathbb{N}\)
Exercice 2 (12 pts)
1. Soit \(f(x)=x^2-4x+1\). Montrer que \(f(x)=(x-2)^2-3\), puis en déduire la valeur minimale de \(f\) et ses variations sur \(]-\infty;2]\) et sur \([2;+\infty[\).
2. Soit \(g(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\).
a) Déterminer \(D_g\) et vérifier que \((\forall x\in D_g)\ g(x)=1+\dfrac{2}{x-1}\).
b) Étudier les variations de \(g\) sur chacun des intervalles \(]-\infty;1[\) et \(]1;+\infty[\).
3. Soit \(k(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\).
a) Montrer que \(k\) est impaire.
b) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ |k(x)|\leq\dfrac{1}{2}\) (on remarquera que \(\left(|x|-1\right)^2\geq0\)).
4. Soit \(u(x)=\sqrt{x}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(g\circ u\) et calculer \((g\circ u)(x)\).
2. Soit \(g(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\).
a) Déterminer \(D_g\) et vérifier que \((\forall x\in D_g)\ g(x)=1+\dfrac{2}{x-1}\).
b) Étudier les variations de \(g\) sur chacun des intervalles \(]-\infty;1[\) et \(]1;+\infty[\).
3. Soit \(k(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\).
a) Montrer que \(k\) est impaire.
b) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ |k(x)|\leq\dfrac{1}{2}\) (on remarquera que \(\left(|x|-1\right)^2\geq0\)).
4. Soit \(u(x)=\sqrt{x}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(g\circ u\) et calculer \((g\circ u)(x)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((x-2)^2-3=x^2-4x+4-3=f(x)\) ✔ ; \((x-2)^2\geq0\), donc \(f(x)\geq-3=f(2)\) :
[] minimum \(-3\) atteint en \(2\)
Si \(a<b\leq2\) : \(a-2<b-2\leq0\), donc \((a-2)^2>(b-2)^2\) et \(f(a)>f(b)\) : \(f\) décroissante sur \(]-\infty;2]\) ; de même \(f\) croissante sur \([2;+\infty[\).
2. a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) ; \(1+\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{x-1+2}{x-1}=g(x)\) ✔.
b) Pour \(a\neq b\) dans le même intervalle :
\(\dfrac{g(a)-g(b)}{a-b}=\dfrac{-2}{(a-1)(b-1)}<0\)
[] (\((a-1)(b-1)>0\)) : \(g\) est décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\)
3. a) \(\mathbb{R}\) est symétrique et \(k(-x)=\dfrac{-x}{x^2+1}=-k(x)\) :
[] \(k\) est impaire
b) \(\left(|x|-1\right)^2\geq0\iff x^2+1\geq2|x|\), donc \(|k(x)|=\dfrac{|x|}{x^2+1}\leq\dfrac{1}{2}\) ✔.
4. \(x\in D_{g\circ u}\iff x\geq0\) et \(\sqrt{x}\neq1\) :
[] \(D_{g\circ u}=[0;1[\cup]1;+\infty[\) et \((g\circ u)(x)=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
[] minimum \(-3\) atteint en \(2\)
Si \(a<b\leq2\) : \(a-2<b-2\leq0\), donc \((a-2)^2>(b-2)^2\) et \(f(a)>f(b)\) : \(f\) décroissante sur \(]-\infty;2]\) ; de même \(f\) croissante sur \([2;+\infty[\).
2. a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) ; \(1+\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{x-1+2}{x-1}=g(x)\) ✔.
b) Pour \(a\neq b\) dans le même intervalle :
\(\dfrac{g(a)-g(b)}{a-b}=\dfrac{-2}{(a-1)(b-1)}<0\)
[] (\((a-1)(b-1)>0\)) : \(g\) est décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\)
3. a) \(\mathbb{R}\) est symétrique et \(k(-x)=\dfrac{-x}{x^2+1}=-k(x)\) :
[] \(k\) est impaire
b) \(\left(|x|-1\right)^2\geq0\iff x^2+1\geq2|x|\), donc \(|k(x)|=\dfrac{|x|}{x^2+1}\leq\dfrac{1}{2}\) ✔.
4. \(x\in D_{g\circ u}\iff x\geq0\) et \(\sqrt{x}\neq1\) :
[] \(D_{g\circ u}=[0;1[\cup]1;+\infty[\) et \((g\circ u)(x)=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)