Exercice 1 (5 pts)
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies par : \(f(x)=\sqrt{x^2+2x}\) et \(g(x)=\dfrac{1}{x^4-x^2}\).
1. Déterminer \(D_f\) et \(D_g\) les domaines de définition de \(f\) et \(g\) respectivement.
2. Déterminer \(D_{g\circ f}\) le domaine de définition de la fonction \(g\circ f\).
3. Donner l'expression de \(g\circ f(x)\), \(\forall x\in D_{g\circ f}\).
1. Déterminer \(D_f\) et \(D_g\) les domaines de définition de \(f\) et \(g\) respectivement.
2. Déterminer \(D_{g\circ f}\) le domaine de définition de la fonction \(g\circ f\).
3. Donner l'expression de \(g\circ f(x)\), \(\forall x\in D_{g\circ f}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. 💡 Méthode : \(\sqrt{A(x)}\) n’existe que si \(A(x)\geq0\) (on ne prend pas la racine d’un nombre négatif).
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2+2x\geq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_f\iff x^2+2x\geq0\)
\(\iff x(x+2)\geq0\)
Les racines sont \(0\) et \(-2\) ; tableau de signe :
[] \(D_f=]-\infty;-2]\cup[0;+\infty[\)
💡 Méthode : \(g(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^4-x^2\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff x^4-x^2\neq0\)
\(\iff x^2(x^2-1)\neq0\)
\(\iff x^2(x-1)(x+1)\neq0\)
\(\iff x\neq0\) et \(x\neq1\) et \(x\neq-1\)
[] \(D_g=\mathbb{R}-\{-1;0;1\}\)
2. 💡 Méthode : \(x\in D_{g\circ f}\iff x\in D_f\) et \(f(x)\in D_g\).
Comme \(f(x)=\sqrt{x^2+2x}\geq0\), on a toujours \(f(x)\neq-1\) ; il reste deux conditions : \(f(x)\neq0\) et \(f(x)\neq1\).
Valeurs où \(f(x)=0\) :
\(f(x)=0\iff x^2+2x=0\)
\(\iff x(x+2)=0\)
\(\iff x=0\) ou \(x=-2\)
Valeurs où \(f(x)=1\) :
\(f(x)=1\iff x^2+2x=1\)
\(\iff x^2+2x+1=2\)
\(\iff(x+1)^2=2\)
\(\iff x+1=\sqrt{2}\) ou \(x+1=-\sqrt{2}\)
\(\iff x=-1+\sqrt{2}\) ou \(x=-1-\sqrt{2}\)
Ces quatre valeurs sont dans \(D_f\) (\(-1-\sqrt{2}\approx-2{,}41\leq-2\) et \(-1+\sqrt{2}\approx0{,}41\geq0\)) : on les retire de \(D_f\).
[] \(D_{g\circ f}=\left]-\infty;-1-\sqrt{2}\right[\cup\left]-1-\sqrt{2};-2\right[\cup\left]0;-1+\sqrt{2}\right[\cup\left]-1+\sqrt{2};+\infty\right[\)
3. Pour \(x\in D_{g\circ f}\), on remplace dans \(g\) la variable par \(f(x)\), en utilisant \(f(x)^2=x^2+2x\) :
\(g\circ f(x)=g\left(f(x)\right)=\dfrac{1}{f(x)^4-f(x)^2}\)
\(=\dfrac{1}{(x^2+2x)^2-(x^2+2x)}\)
\(=\dfrac{1}{(x^2+2x)(x^2+2x-1)}\)
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2+2x\geq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_f\iff x^2+2x\geq0\)
\(\iff x(x+2)\geq0\)
Les racines sont \(0\) et \(-2\) ; tableau de signe :
[] \(D_f=]-\infty;-2]\cup[0;+\infty[\)
💡 Méthode : \(g(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^4-x^2\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff x^4-x^2\neq0\)
\(\iff x^2(x^2-1)\neq0\)
\(\iff x^2(x-1)(x+1)\neq0\)
\(\iff x\neq0\) et \(x\neq1\) et \(x\neq-1\)
[] \(D_g=\mathbb{R}-\{-1;0;1\}\)
2. 💡 Méthode : \(x\in D_{g\circ f}\iff x\in D_f\) et \(f(x)\in D_g\).
Comme \(f(x)=\sqrt{x^2+2x}\geq0\), on a toujours \(f(x)\neq-1\) ; il reste deux conditions : \(f(x)\neq0\) et \(f(x)\neq1\).
Valeurs où \(f(x)=0\) :
\(f(x)=0\iff x^2+2x=0\)
\(\iff x(x+2)=0\)
\(\iff x=0\) ou \(x=-2\)
Valeurs où \(f(x)=1\) :
\(f(x)=1\iff x^2+2x=1\)
\(\iff x^2+2x+1=2\)
\(\iff(x+1)^2=2\)
\(\iff x+1=\sqrt{2}\) ou \(x+1=-\sqrt{2}\)
\(\iff x=-1+\sqrt{2}\) ou \(x=-1-\sqrt{2}\)
Ces quatre valeurs sont dans \(D_f\) (\(-1-\sqrt{2}\approx-2{,}41\leq-2\) et \(-1+\sqrt{2}\approx0{,}41\geq0\)) : on les retire de \(D_f\).
[] \(D_{g\circ f}=\left]-\infty;-1-\sqrt{2}\right[\cup\left]-1-\sqrt{2};-2\right[\cup\left]0;-1+\sqrt{2}\right[\cup\left]-1+\sqrt{2};+\infty\right[\)
3. Pour \(x\in D_{g\circ f}\), on remplace dans \(g\) la variable par \(f(x)\), en utilisant \(f(x)^2=x^2+2x\) :
\(g\circ f(x)=g\left(f(x)\right)=\dfrac{1}{f(x)^4-f(x)^2}\)
\(=\dfrac{1}{(x^2+2x)^2-(x^2+2x)}\)
\(=\dfrac{1}{(x^2+2x)(x^2+2x-1)}\)
Exercice 2 (8 pts)
Soit \(h\) la fonction définie par sa courbe représentative \((C_h)\) ci-dessous :
1. Déterminer \(D_h\) le domaine de définition de la fonction \(h\).
2. Dresser le tableau de variations de la fonction \(h\).
3. Dresser le tableau de signe de la fonction \(h\).
4. En déduire l'ensemble de solutions de l'inéquation \(h(x)>0\).
5. Discuter suivant le paramètre \(m\) le nombre de solutions de l'équation \(h(x)=m\).
6. Déterminer les extremums de la fonction \(h\) sur \(D_h\).
1. Déterminer \(D_h\) le domaine de définition de la fonction \(h\).
2. Dresser le tableau de variations de la fonction \(h\).
3. Dresser le tableau de signe de la fonction \(h\).
4. En déduire l'ensemble de solutions de l'inéquation \(h(x)>0\).
5. Discuter suivant le paramètre \(m\) le nombre de solutions de l'équation \(h(x)=m\).
6. Déterminer les extremums de la fonction \(h\) sur \(D_h\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. La courbe est formée de deux morceaux : au-dessus de \([-4;0]\) et au-dessus de \([1;3]\) (extrémités pleines).
[] \(D_h=[-4;0]\cup[1;3]\)
2. Lecture : \(h(-4)=1\), \(h(-2)=5\), \(h(0)=-1\), \(h(1)=1\), \(h(2)=3\), \(h(3)=0\) (\(h\) n'est pas définie sur \(]0;1[\)).
3. On note \(\alpha\) l'abscisse du point où \((C_h)\) coupe l'axe des abscisses entre \(-1\) et \(0\) (\(\alpha\approx-0{,}2\)).
4. 💡 \(h(x)>0\) : abscisses des points de \((C_h)\) situés strictement au-dessus de l'axe des abscisses.
[] \(S=[-4;\alpha[\cup[1;3[\)
5. 💡 Le nombre de solutions de \(h(x)=m\) est le nombre de points d'intersection de \((C_h)\) avec la droite horizontale \(y=m\).
Si \(m<-1\) ou \(m>5\) : aucune solution. Si \(m=-1\) ou \(m=5\) : une solution (\(0\), resp. \(-2\)).
Si \(-1<m<0\) : une solution (sur \([-2;0]\)). Si \(0\leq m<1\) : deux solutions (une sur \([-2;0]\), une sur \([2;3]\)).
Si \(1\leq m<3\) : quatre solutions (une sur chacun des intervalles \([-4;-2]\), \([-2;0]\), \([1;2]\), \([2;3]\)).
Si \(m=3\) : trois solutions (sur \([-4;-2]\), sur \([-2;0]\), et \(x=2\)). Si \(3<m<5\) : deux solutions (sur \([-4;-2]\) et sur \([-2;0]\)).
6.
[] Valeur maximale de \(h\) : \(5=h(-2)\) ; valeur minimale de \(h\) : \(-1=h(0)\).
[!] De plus, \(h(2)=3\) est un maximum local (sur \([1;3]\)).
[] \(D_h=[-4;0]\cup[1;3]\)
2. Lecture : \(h(-4)=1\), \(h(-2)=5\), \(h(0)=-1\), \(h(1)=1\), \(h(2)=3\), \(h(3)=0\) (\(h\) n'est pas définie sur \(]0;1[\)).
3. On note \(\alpha\) l'abscisse du point où \((C_h)\) coupe l'axe des abscisses entre \(-1\) et \(0\) (\(\alpha\approx-0{,}2\)).
4. 💡 \(h(x)>0\) : abscisses des points de \((C_h)\) situés strictement au-dessus de l'axe des abscisses.
[] \(S=[-4;\alpha[\cup[1;3[\)
5. 💡 Le nombre de solutions de \(h(x)=m\) est le nombre de points d'intersection de \((C_h)\) avec la droite horizontale \(y=m\).
Si \(m<-1\) ou \(m>5\) : aucune solution. Si \(m=-1\) ou \(m=5\) : une solution (\(0\), resp. \(-2\)).
Si \(-1<m<0\) : une solution (sur \([-2;0]\)). Si \(0\leq m<1\) : deux solutions (une sur \([-2;0]\), une sur \([2;3]\)).
Si \(1\leq m<3\) : quatre solutions (une sur chacun des intervalles \([-4;-2]\), \([-2;0]\), \([1;2]\), \([2;3]\)).
Si \(m=3\) : trois solutions (sur \([-4;-2]\), sur \([-2;0]\), et \(x=2\)). Si \(3<m<5\) : deux solutions (sur \([-4;-2]\) et sur \([-2;0]\)).
6.
[] Valeur maximale de \(h\) : \(5=h(-2)\) ; valeur minimale de \(h\) : \(-1=h(0)\).
[!] De plus, \(h(2)=3\) est un maximum local (sur \([1;3]\)).
Exercice 3 (7 pts)
1. Donner les négations des propositions suivantes :
\((P)\) : \(\forall x\in\mathbb{R}\ ;\ \exists k\in\mathbb{Z}\ /\ k\leq x<k+1\).
\((Q)\) : \(\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\ ;\ (\alpha-\beta>1\Rightarrow\exists N\in\mathbb{Z}\ /\ \alpha<N<\beta)\).
2. Montrer par la contraposée que : \(\forall n\in\mathbb{N}\ :\ \dfrac{n^2}{3}\in\mathbb{N}\Rightarrow\dfrac{n}{3}\in\mathbb{N}\).
3. En déduire par l'absurde que \(\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}\).
4. Soit \(q\in\mathbb{R}^+-\{1\}\). Montrer par récurrence que : \(\forall n\in\mathbb{N}^*-\{1\}\ :\ q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{q^n-1}{q-1}\times q\).
\((P)\) : \(\forall x\in\mathbb{R}\ ;\ \exists k\in\mathbb{Z}\ /\ k\leq x<k+1\).
\((Q)\) : \(\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\ ;\ (\alpha-\beta>1\Rightarrow\exists N\in\mathbb{Z}\ /\ \alpha<N<\beta)\).
2. Montrer par la contraposée que : \(\forall n\in\mathbb{N}\ :\ \dfrac{n^2}{3}\in\mathbb{N}\Rightarrow\dfrac{n}{3}\in\mathbb{N}\).
3. En déduire par l'absurde que \(\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}\).
4. Soit \(q\in\mathbb{R}^+-\{1\}\). Montrer par récurrence que : \(\forall n\in\mathbb{N}^*-\{1\}\ :\ q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{q^n-1}{q-1}\times q\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. 💡 Négation : on échange \(\forall\) et \(\exists\), et on nie la propriété finale ; la négation de « \(A\Rightarrow B\) » est « \(A\) et \(\neg B\) ».
[] \((\neg P)\) : \(\exists x\in\mathbb{R}\ ;\ \forall k\in\mathbb{Z}\ :\ k>x\) ou \(x\geq k+1\).
[] \((\neg Q)\) : \(\exists(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\ ;\ \alpha-\beta>1\) et \(\forall N\in\mathbb{Z}\ :\ N\leq\alpha\) ou \(N\geq\beta\).
2. 💡 Contraposée : on montre \(\dfrac{n}{3}\notin\mathbb{N}\Rightarrow\dfrac{n^2}{3}\notin\mathbb{N}\), c'est-à-dire : si \(n\) n'est pas multiple de \(3\), alors \(n^2\) non plus.
Si \(n=3k+1\) : \(n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1\), qui n'est pas multiple de \(3\).
Si \(n=3k+2\) : \(n^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1\), qui n'est pas multiple de \(3\).
[] Par contraposée : \(\dfrac{n^2}{3}\in\mathbb{N}\Rightarrow\dfrac{n}{3}\in\mathbb{N}\).
3. Supposons \(\sqrt{3}\in\mathbb{Q}\) : \(\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}\) avec \(p,q\in\mathbb{N}^*\) et \(\dfrac{p}{q}\) irréductible. Alors \(p^2=3q^2\).
Donc \(\dfrac{p^2}{3}\in\mathbb{N}\), et d'après 2 : \(p=3p'\). Alors \(9p'^2=3q^2\), soit \(q^2=3p'^2\), donc (de même) \(q\) est multiple de \(3\).
[] \(p\) et \(q\) sont tous deux multiples de \(3\) : absurde (fraction irréductible). Donc \(\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}\).
4. Initialisation : pour \(n=2\) : \(q+q^2=q(1+q)\) et \(\dfrac{q^2-1}{q-1}\times q=(q+1)q\) : vrai.
Hérédité : supposons \(q+\cdots+q^n=\dfrac{q^n-1}{q-1}\times q\). Alors :
\(q+\cdots+q^n+q^{n+1}=\dfrac{q^{n+1}-q+q^{n+2}-q^{n+1}}{q-1}=\dfrac{q^{n+2}-q}{q-1}=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}\times q\)
[!] La formule est vraie pour tout \(n\geq2\).
[] \((\neg P)\) : \(\exists x\in\mathbb{R}\ ;\ \forall k\in\mathbb{Z}\ :\ k>x\) ou \(x\geq k+1\).
[] \((\neg Q)\) : \(\exists(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\ ;\ \alpha-\beta>1\) et \(\forall N\in\mathbb{Z}\ :\ N\leq\alpha\) ou \(N\geq\beta\).
2. 💡 Contraposée : on montre \(\dfrac{n}{3}\notin\mathbb{N}\Rightarrow\dfrac{n^2}{3}\notin\mathbb{N}\), c'est-à-dire : si \(n\) n'est pas multiple de \(3\), alors \(n^2\) non plus.
Si \(n=3k+1\) : \(n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1\), qui n'est pas multiple de \(3\).
Si \(n=3k+2\) : \(n^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1\), qui n'est pas multiple de \(3\).
[] Par contraposée : \(\dfrac{n^2}{3}\in\mathbb{N}\Rightarrow\dfrac{n}{3}\in\mathbb{N}\).
3. Supposons \(\sqrt{3}\in\mathbb{Q}\) : \(\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}\) avec \(p,q\in\mathbb{N}^*\) et \(\dfrac{p}{q}\) irréductible. Alors \(p^2=3q^2\).
Donc \(\dfrac{p^2}{3}\in\mathbb{N}\), et d'après 2 : \(p=3p'\). Alors \(9p'^2=3q^2\), soit \(q^2=3p'^2\), donc (de même) \(q\) est multiple de \(3\).
[] \(p\) et \(q\) sont tous deux multiples de \(3\) : absurde (fraction irréductible). Donc \(\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}\).
4. Initialisation : pour \(n=2\) : \(q+q^2=q(1+q)\) et \(\dfrac{q^2-1}{q-1}\times q=(q+1)q\) : vrai.
Hérédité : supposons \(q+\cdots+q^n=\dfrac{q^n-1}{q-1}\times q\). Alors :
\(q+\cdots+q^n+q^{n+1}=\dfrac{q^{n+1}-q+q^{n+2}-q^{n+1}}{q-1}=\dfrac{q^{n+2}-q}{q-1}=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}\times q\)
[!] La formule est vraie pour tout \(n\geq2\).