Exercice 1 (4 pts)
1. En utilisant le raisonnement par contraposée, montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R}^+)(\forall y\in\mathbb{R}^+),\ \left[(x\neq y)\wedge(xy\neq1)\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\neq\dfrac{\sqrt{y}}{y+\sqrt{y}+1}\right]\).
2. Montrer par récurrence que : \(1(3\times1+1)+2(3\times2+1)+3(3\times3+1)+\cdots+n(3n+1)=n(n+1)^2,\ (\forall n\in\mathbb{N}^*)\).
2. Montrer par récurrence que : \(1(3\times1+1)+2(3\times2+1)+3(3\times3+1)+\cdots+n(3n+1)=n(n+1)^2,\ (\forall n\in\mathbb{N}^*)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. 💡 Contraposée : on montre que \(\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{y}}{y+\sqrt{y}+1}\Rightarrow(x=y\) ou \(xy=1)\).
On pose \(a=\sqrt{x}\) et \(b=\sqrt{y}\) (donc \(x=a^2\), \(y=b^2\)). L'égalité s'écrit \(\dfrac{a}{a^2+a+1}=\dfrac{b}{b^2+b+1}\).
Produit en croix : \(a(b^2+b+1)=b(a^2+a+1)\), soit \(ab^2+ab+a=a^2b+ab+b\).
Donc \(ab^2-a^2b+a-b=0\), soit \(ab(b-a)+(a-b)=0\), c'est-à-dire \((a-b)(1-ab)=0\).
D'où \(a=b\), soit \(x=y\) ; ou \(ab=1\), soit \(\sqrt{xy}=1\), c'est-à-dire \(xy=1\).
[!] Par contraposée, l'implication demandée est vraie.
2. Initialisation : pour \(n=1\) : \(1(3\times1+1)=4\) et \(1\times(1+1)^2=4\) : vrai.
Hérédité : supposons \(1(3\times1+1)+\cdots+n(3n+1)=n(n+1)^2\). En ajoutant le terme suivant \((n+1)(3n+4)\) :
\(n(n+1)^2+(n+1)(3n+4)=(n+1)\left[n(n+1)+3n+4\right]=(n+1)(n^2+4n+4)=(n+1)(n+2)^2\)
[!] C'est la formule au rang \(n+1\) : elle est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\).
On pose \(a=\sqrt{x}\) et \(b=\sqrt{y}\) (donc \(x=a^2\), \(y=b^2\)). L'égalité s'écrit \(\dfrac{a}{a^2+a+1}=\dfrac{b}{b^2+b+1}\).
Produit en croix : \(a(b^2+b+1)=b(a^2+a+1)\), soit \(ab^2+ab+a=a^2b+ab+b\).
Donc \(ab^2-a^2b+a-b=0\), soit \(ab(b-a)+(a-b)=0\), c'est-à-dire \((a-b)(1-ab)=0\).
D'où \(a=b\), soit \(x=y\) ; ou \(ab=1\), soit \(\sqrt{xy}=1\), c'est-à-dire \(xy=1\).
[!] Par contraposée, l'implication demandée est vraie.
2. Initialisation : pour \(n=1\) : \(1(3\times1+1)=4\) et \(1\times(1+1)^2=4\) : vrai.
Hérédité : supposons \(1(3\times1+1)+\cdots+n(3n+1)=n(n+1)^2\). En ajoutant le terme suivant \((n+1)(3n+4)\) :
\(n(n+1)^2+(n+1)(3n+4)=(n+1)\left[n(n+1)+3n+4\right]=(n+1)(n^2+4n+4)=(n+1)(n+2)^2\)
[!] C'est la formule au rang \(n+1\) : elle est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\).
Exercice 2 (4 pts)
1. Soient \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{R}^+\) tels que \(a+b=0\). Montrer par l'absurde que \(a=0\) et \(b=0\).
2. En déduire les solutions des deux équations suivantes :
a) \(x^2+y^2-2x+4y+5=0\)
b) \(\sqrt{x^2-4}+\sqrt{y^2+2}=0\)
2. En déduire les solutions des deux équations suivantes :
a) \(x^2+y^2-2x+4y+5=0\)
b) \(\sqrt{x^2-4}+\sqrt{y^2+2}=0\)
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. 💡 Par l'absurde : on suppose la conclusion fausse, c'est-à-dire \(a\neq0\) ou \(b\neq0\).
Supposons \(a\neq0\) : comme \(a\geq0\), on a \(a>0\), et comme \(b\geq0\) : \(a+b\geq a>0\), ce qui contredit \(a+b=0\).
De même, \(b\neq0\) conduit à une contradiction.
[] Donc \(a=0\) et \(b=0\).
2. a) 💡 On fait apparaître une somme de deux carrés (positifs), puis on applique la question 1.
\(x^2-2x+1+y^2+4y+4=0\iff(x-1)^2+(y+2)^2=0\) (car \(1+4=5\)).
Avec \(a=(x-1)^2\geq0\) et \(b=(y+2)^2\geq0\) : \((x-1)^2=0\) et \((y+2)^2=0\).
[] \(S=\{(1;-2)\}\)
b) \(\sqrt{x^2-4}\geq0\) et \(\sqrt{y^2+2}\geq0\), donc (question 1) : \(\sqrt{x^2-4}=0\) et \(\sqrt{y^2+2}=0\).
Or \(y^2+2\geq2>0\), donc \(\sqrt{y^2+2}\neq0\) : impossible.
[] \(S=\varnothing\)
Supposons \(a\neq0\) : comme \(a\geq0\), on a \(a>0\), et comme \(b\geq0\) : \(a+b\geq a>0\), ce qui contredit \(a+b=0\).
De même, \(b\neq0\) conduit à une contradiction.
[] Donc \(a=0\) et \(b=0\).
2. a) 💡 On fait apparaître une somme de deux carrés (positifs), puis on applique la question 1.
\(x^2-2x+1+y^2+4y+4=0\iff(x-1)^2+(y+2)^2=0\) (car \(1+4=5\)).
Avec \(a=(x-1)^2\geq0\) et \(b=(y+2)^2\geq0\) : \((x-1)^2=0\) et \((y+2)^2=0\).
[] \(S=\{(1;-2)\}\)
b) \(\sqrt{x^2-4}\geq0\) et \(\sqrt{y^2+2}\geq0\), donc (question 1) : \(\sqrt{x^2-4}=0\) et \(\sqrt{y^2+2}=0\).
Or \(y^2+2\geq2>0\), donc \(\sqrt{y^2+2}\neq0\) : impossible.
[] \(S=\varnothing\)
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(f\) la fonction numérique définie par \(f(x)=\dfrac{x^2-x}{x^2-x+2}\).
1. a) Déterminer l'ensemble de définition de \(f\).
b) Montrer que \(f\) est majorée par \(1\).
c) Montrer que \(f\) admet une valeur minimale en \(a=\dfrac{1}{2}\).
2. On considère la fonction numérique \(h\) définie par \(h(x)=\dfrac{x}{x+2}\).
a) Déterminer l'ensemble de définition de \(h\).
b) Étudier la variation de \(h\) sur \(D_h\).
c) En déduire la variation de \(f\) sur \(D_f\).
1. a) Déterminer l'ensemble de définition de \(f\).
b) Montrer que \(f\) est majorée par \(1\).
c) Montrer que \(f\) admet une valeur minimale en \(a=\dfrac{1}{2}\).
2. On considère la fonction numérique \(h\) définie par \(h(x)=\dfrac{x}{x+2}\).
a) Déterminer l'ensemble de définition de \(h\).
b) Étudier la variation de \(h\) sur \(D_h\).
c) En déduire la variation de \(f\) sur \(D_f\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) 💡 Méthode : \(f(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-x+2\neq0\}\)
\(x\in D_f\iff x^2-x+2\neq0\)
On étudie le dénominateur avec la forme canonique :
\(x^2-x+2=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+2\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\)
C’est la somme d’un carré (\(\geq0\)) et de \(\dfrac{7}{4}>0\) : il est strictement positif, donc jamais nul.
[] \(D_f=\mathbb{R}\)
b) 💡 Méthode : pour montrer que \(f(x)\leq M\) (ou \(f(x)\geq m\)), on étudie le signe de la différence \(M-f(x)\) (ou \(f(x)-m\)) en réduisant au même dénominateur.
\(1-f(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x^2-x+2}-\dfrac{x^2-x}{x^2-x+2}\)
\(=\dfrac{x^2-x+2-x^2+x}{x^2-x+2}\)
\(=\dfrac{2}{x^2-x+2}\)
Numérateur \(2>0\) et dénominateur \(>0\) (question a) : \(1-f(x)>0\), donc \(f(x)<1\).
[] \(f\) est majorée par \(1\).
c) 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
Étape 1 : on calcule \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\) :
\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2}\)
\(=\dfrac{-\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}\)
\(=-\dfrac{1}{7}\)
Étape 2 : on montre que \(f(x)\geq-\dfrac{1}{7}\) en étudiant le signe de \(f(x)+\dfrac{1}{7}\) :
\(f(x)+\dfrac{1}{7}=\dfrac{7(x^2-x)+(x^2-x+2)}{7(x^2-x+2)}\)
\(=\dfrac{8x^2-8x+2}{7(x^2-x+2)}\)
\(=\dfrac{2(4x^2-4x+1)}{7(x^2-x+2)}\)
\(=\dfrac{2(2x-1)^2}{7(x^2-x+2)}\geq0\)
[] \(f(x)\geq f\left(\dfrac{1}{2}\right)\) pour tout \(x\) : \(-\dfrac{1}{7}\) est la valeur minimale de \(f\), atteinte en \(a=\dfrac{1}{2}\).
2. a) 💡 Méthode : \(h(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_h=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+2\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_h\iff x+2\neq0\)
\(\iff x\neq-2\)
[] \(D_h=\mathbb{R}-\{-2\}\)
b) 💡 Méthode : une fonction homographique \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\neq0\)) est définie sur \(\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\) ; son sens de variation dépend du signe de \(ad-bc\) :
si \(ad-bc>0\) : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si \(ad-bc<0\) : elle est décroissante sur chacun d’eux.
Étape 1 : on identifie les coefficients : \(a=1\), \(b=0\), \(c=1\), \(d=2\).
Étape 2 : on calcule \(ad-bc\) :
\(ad-bc=1\times2-0\times1\)
\(=2\)
Étape 3 : \(ad-bc>0\), donc \(h\) est croissante sur \(]-\infty;-2[\) et sur \(]-2;+\infty[\).
c) 💡 Méthode (fonction composée) : si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle \(J\) contenant \(u(I)\) :
même sens de variation ⇒ \(v\circ u\) est croissante sur \(I\) ; sens contraires ⇒ \(v\circ u\) est décroissante sur \(I\).
Étape 1 : on écrit \(f\) comme une composée. Avec \(u(x)=x^2-x\) : \(f(x)=\dfrac{u(x)}{u(x)+2}=h\left(u(x)\right)\), donc \(f=h\circ u\).
Étape 2 : variations de \(u\) : \(u(x)=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\), avec \(a=1>0\) : \(u\) est décroissante sur \(\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\) et croissante sur \(\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[\).
Étape 3 : où se trouvent les valeurs de \(u\) ? \(u(x)\geq-\dfrac{1}{4}>-2\), donc \(u(x)\in]-2;+\infty[\), intervalle où \(h\) est croissante.
Étape 4 : sur \(\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\) : \(u\) décroissante et \(h\) croissante : sens contraires ⇒ \(f\) décroissante.
Sur \(\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[\) : \(u\) croissante et \(h\) croissante : même sens ⇒ \(f\) croissante.
[!] \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\) et croissante sur \(\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[\).
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-x+2\neq0\}\)
\(x\in D_f\iff x^2-x+2\neq0\)
On étudie le dénominateur avec la forme canonique :
\(x^2-x+2=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+2\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\)
C’est la somme d’un carré (\(\geq0\)) et de \(\dfrac{7}{4}>0\) : il est strictement positif, donc jamais nul.
[] \(D_f=\mathbb{R}\)
b) 💡 Méthode : pour montrer que \(f(x)\leq M\) (ou \(f(x)\geq m\)), on étudie le signe de la différence \(M-f(x)\) (ou \(f(x)-m\)) en réduisant au même dénominateur.
\(1-f(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x^2-x+2}-\dfrac{x^2-x}{x^2-x+2}\)
\(=\dfrac{x^2-x+2-x^2+x}{x^2-x+2}\)
\(=\dfrac{2}{x^2-x+2}\)
Numérateur \(2>0\) et dénominateur \(>0\) (question a) : \(1-f(x)>0\), donc \(f(x)<1\).
[] \(f\) est majorée par \(1\).
c) 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
Étape 1 : on calcule \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\) :
\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2}\)
\(=\dfrac{-\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}\)
\(=-\dfrac{1}{7}\)
Étape 2 : on montre que \(f(x)\geq-\dfrac{1}{7}\) en étudiant le signe de \(f(x)+\dfrac{1}{7}\) :
\(f(x)+\dfrac{1}{7}=\dfrac{7(x^2-x)+(x^2-x+2)}{7(x^2-x+2)}\)
\(=\dfrac{8x^2-8x+2}{7(x^2-x+2)}\)
\(=\dfrac{2(4x^2-4x+1)}{7(x^2-x+2)}\)
\(=\dfrac{2(2x-1)^2}{7(x^2-x+2)}\geq0\)
[] \(f(x)\geq f\left(\dfrac{1}{2}\right)\) pour tout \(x\) : \(-\dfrac{1}{7}\) est la valeur minimale de \(f\), atteinte en \(a=\dfrac{1}{2}\).
2. a) 💡 Méthode : \(h(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_h=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+2\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_h\iff x+2\neq0\)
\(\iff x\neq-2\)
[] \(D_h=\mathbb{R}-\{-2\}\)
b) 💡 Méthode : une fonction homographique \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\neq0\)) est définie sur \(\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\) ; son sens de variation dépend du signe de \(ad-bc\) :
si \(ad-bc>0\) : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si \(ad-bc<0\) : elle est décroissante sur chacun d’eux.
Étape 1 : on identifie les coefficients : \(a=1\), \(b=0\), \(c=1\), \(d=2\).
Étape 2 : on calcule \(ad-bc\) :
\(ad-bc=1\times2-0\times1\)
\(=2\)
Étape 3 : \(ad-bc>0\), donc \(h\) est croissante sur \(]-\infty;-2[\) et sur \(]-2;+\infty[\).
c) 💡 Méthode (fonction composée) : si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle \(J\) contenant \(u(I)\) :
même sens de variation ⇒ \(v\circ u\) est croissante sur \(I\) ; sens contraires ⇒ \(v\circ u\) est décroissante sur \(I\).
Étape 1 : on écrit \(f\) comme une composée. Avec \(u(x)=x^2-x\) : \(f(x)=\dfrac{u(x)}{u(x)+2}=h\left(u(x)\right)\), donc \(f=h\circ u\).
Étape 2 : variations de \(u\) : \(u(x)=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\), avec \(a=1>0\) : \(u\) est décroissante sur \(\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\) et croissante sur \(\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[\).
Étape 3 : où se trouvent les valeurs de \(u\) ? \(u(x)\geq-\dfrac{1}{4}>-2\), donc \(u(x)\in]-2;+\infty[\), intervalle où \(h\) est croissante.
Étape 4 : sur \(\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\) : \(u\) décroissante et \(h\) croissante : sens contraires ⇒ \(f\) décroissante.
Sur \(\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[\) : \(u\) croissante et \(h\) croissante : même sens ⇒ \(f\) croissante.
[!] \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\) et croissante sur \(\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[\).
Exercice 4 (6 pts)
On considère les deux fonctions numériques \(f\) et \(g\) définies par \(f(x)=\dfrac{2(x-1)}{2-x}\) et \(g(x)=\dfrac{2}{3}x^3\).
1. Dresser le tableau de variation de \(f\) et \(g\).
2. Résoudre dans \(]-\infty,2[\) l'équation \(f(x)=0\), en déduire une interprétation géométrique du résultat.
3. Tracer les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un même repère orthonormal \((O,\vec{i},\vec{j})\).
4. Déterminer graphiquement l'ensemble des solutions de l'inéquation \(\dfrac{3(x-1)}{x^2}\leq x(2-x)\) sur \(\mathbb{R}^*\setminus\{2\}\).
(On admet que \(\alpha\) et \(\beta\) avec \(\alpha<\beta\) sont les solutions de l'équation \(f(x)=g(x)\).)
1. Dresser le tableau de variation de \(f\) et \(g\).
2. Résoudre dans \(]-\infty,2[\) l'équation \(f(x)=0\), en déduire une interprétation géométrique du résultat.
3. Tracer les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un même repère orthonormal \((O,\vec{i},\vec{j})\).
4. Déterminer graphiquement l'ensemble des solutions de l'inéquation \(\dfrac{3(x-1)}{x^2}\leq x(2-x)\) sur \(\mathbb{R}^*\setminus\{2\}\).
(On admet que \(\alpha\) et \(\beta\) avec \(\alpha<\beta\) sont les solutions de l'équation \(f(x)=g(x)\).)
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. Variations de \(f\) :
💡 Méthode : \(f(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ 2-x\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_f\iff2-x\neq0\)
\(\iff x\neq2\)
[] \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\)
💡 Méthode : une fonction homographique \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\neq0\)) est définie sur \(\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\) ; son sens de variation dépend du signe de \(ad-bc\) :
si \(ad-bc>0\) : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si \(ad-bc<0\) : elle est décroissante sur chacun d’eux.
Étape 1 : on identifie les coefficients : \(a=2\), \(b=-2\), \(c=-1\), \(d=2\).
Étape 2 : on calcule \(ad-bc\) :
\(ad-bc=2\times2-(-2)\times(-1)\)
\(=4-2\)
\(=2\)
Étape 3 : \(ad-bc>0\), donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty;2[\) et sur \(]2;+\infty[\).
(On a écrit \(f(x)=\dfrac{2x-2}{-x+2}\) pour lire \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).)
Variations de \(g\) : la fonction cube \(x\mapsto x^3\) est croissante sur \(\mathbb{R}\), et multiplier par \(\dfrac{2}{3}>0\) conserve le sens de variation.
Si \(a<b\), alors \(a^3<b^3\), donc \(\dfrac{2}{3}a^3<\dfrac{2}{3}b^3\), c’est-à-dire \(g(a)<g(b)\).
[] \(g\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
2. 💡 Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul (et son dénominateur non nul). Pour \(x<2\) :
\(f(x)=0\iff2(x-1)=0\)
\(\iff x=1\)
[] \(S=\{1\}\) : \((C_f)\) coupe l’axe des abscisses au point \((1;0)\).
3. 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
Pour \((C_f)\) : \(f(x)=-2+\dfrac{2}{2-x}\) : hyperbole de centre \((2;-2)\), d’asymptotes \(x=2\) et \(y=-2\).
Pour \((C_g)\) : \(g\) est impaire (symétrie par rapport à \(O\)) ; \(g(1)=\dfrac{2}{3}\) et \(g(2)=\dfrac{16}{3}\).
4. 💡 Méthode : on transforme l’inéquation pour retrouver \(f(x)\leq g(x)\) ; quand on divise par \(2-x\), on fait attention à son signe.
Cas 1 : \(x<2\) et \(x\neq0\), donc \(2-x>0\) et \(\dfrac{2x^2}{3}>0\) (le sens ne change pas) :
\(\dfrac{3(x-1)}{x^2}\leq x(2-x)\iff\dfrac{3(x-1)}{x^2(2-x)}\leq x\)
\(\iff\dfrac{2(x-1)}{2-x}\leq\dfrac{2}{3}x^3\)
\(\iff f(x)\leq g(x)\)
Graphiquement, \((C_f)\) est en dessous de \((C_g)\) pour \(x\in[\alpha;\beta]\).
Cas 2 : \(x>2\) : diviser par \(2-x<0\) change le sens : l’inéquation équivaut à \(f(x)\geq g(x)\). Or sur \(]2;+\infty[\), \(f(x)<0<g(x)\) : pas de solution.
[!] \(S=[\alpha;0[\cup]0;\beta]\) (avec \(\alpha\approx-1{,}28\) et \(\beta\approx1{,}56\)).
💡 Méthode : \(f(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ 2-x\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_f\iff2-x\neq0\)
\(\iff x\neq2\)
[] \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\)
💡 Méthode : une fonction homographique \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\neq0\)) est définie sur \(\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\) ; son sens de variation dépend du signe de \(ad-bc\) :
si \(ad-bc>0\) : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si \(ad-bc<0\) : elle est décroissante sur chacun d’eux.
Étape 1 : on identifie les coefficients : \(a=2\), \(b=-2\), \(c=-1\), \(d=2\).
Étape 2 : on calcule \(ad-bc\) :
\(ad-bc=2\times2-(-2)\times(-1)\)
\(=4-2\)
\(=2\)
Étape 3 : \(ad-bc>0\), donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty;2[\) et sur \(]2;+\infty[\).
(On a écrit \(f(x)=\dfrac{2x-2}{-x+2}\) pour lire \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).)
Variations de \(g\) : la fonction cube \(x\mapsto x^3\) est croissante sur \(\mathbb{R}\), et multiplier par \(\dfrac{2}{3}>0\) conserve le sens de variation.
Si \(a<b\), alors \(a^3<b^3\), donc \(\dfrac{2}{3}a^3<\dfrac{2}{3}b^3\), c’est-à-dire \(g(a)<g(b)\).
[] \(g\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
2. 💡 Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul (et son dénominateur non nul). Pour \(x<2\) :
\(f(x)=0\iff2(x-1)=0\)
\(\iff x=1\)
[] \(S=\{1\}\) : \((C_f)\) coupe l’axe des abscisses au point \((1;0)\).
3. 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
Pour \((C_f)\) : \(f(x)=-2+\dfrac{2}{2-x}\) : hyperbole de centre \((2;-2)\), d’asymptotes \(x=2\) et \(y=-2\).
Pour \((C_g)\) : \(g\) est impaire (symétrie par rapport à \(O\)) ; \(g(1)=\dfrac{2}{3}\) et \(g(2)=\dfrac{16}{3}\).
4. 💡 Méthode : on transforme l’inéquation pour retrouver \(f(x)\leq g(x)\) ; quand on divise par \(2-x\), on fait attention à son signe.
Cas 1 : \(x<2\) et \(x\neq0\), donc \(2-x>0\) et \(\dfrac{2x^2}{3}>0\) (le sens ne change pas) :
\(\dfrac{3(x-1)}{x^2}\leq x(2-x)\iff\dfrac{3(x-1)}{x^2(2-x)}\leq x\)
\(\iff\dfrac{2(x-1)}{2-x}\leq\dfrac{2}{3}x^3\)
\(\iff f(x)\leq g(x)\)
Graphiquement, \((C_f)\) est en dessous de \((C_g)\) pour \(x\in[\alpha;\beta]\).
Cas 2 : \(x>2\) : diviser par \(2-x<0\) change le sens : l’inéquation équivaut à \(f(x)\geq g(x)\). Or sur \(]2;+\infty[\), \(f(x)<0<g(x)\) : pas de solution.
[!] \(S=[\alpha;0[\cup]0;\beta]\) (avec \(\alpha\approx-1{,}28\) et \(\beta\approx1{,}56\)).