Exercice 1 (7 pts)
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par : \(f(x)=x^2-2x-3\) et \(g(x)=\dfrac{x+1}{1-x}\).
1. Dresser le tableau de variation de \(f\) et \(g\).
2. a) Résoudre l'équation \(f(x)=0\).
b) Interpréter géométriquement le résultat précédent.
3. Quelle est la nature de \((C_f)\) et \((C_g)\) et leurs éléments caractéristiques ?
4. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R}-\{1\})\quad f(x)=g(x)\iff(x+1)(x-2)^2=0\).
b) En déduire que \((C_f)\) et \((C_g)\) se coupent en deux points à déterminer.
5. Tracer les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\).
1. Dresser le tableau de variation de \(f\) et \(g\).
2. a) Résoudre l'équation \(f(x)=0\).
b) Interpréter géométriquement le résultat précédent.
3. Quelle est la nature de \((C_f)\) et \((C_g)\) et leurs éléments caractéristiques ?
4. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R}-\{1\})\quad f(x)=g(x)\iff(x+1)(x-2)^2=0\).
b) En déduire que \((C_f)\) et \((C_g)\) se coupent en deux points à déterminer.
5. Tracer les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. Variations de \(f\) :
💡 Méthode : pour étudier les variations d’un trinôme \(ax^2+bx+c\), on l’écrit sous la forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) :
si \(a>0\) : la fonction est décroissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis croissante sur \([\alpha;+\infty[\) (minimum \(\beta\) en \(\alpha\)) ;
si \(a<0\) : elle est croissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis décroissante sur \([\alpha;+\infty[\) (maximum \(\beta\) en \(\alpha\)).
Étape 1 : on complète le carré pour obtenir la forme canonique :
\(f(x)=x^2-2x-3\)
\(=(x^2-2x+1)-1-3\)
\(=(x-1)^2-4\)
Étape 2 : on identifie \(a=1\), \(\alpha=1\) et \(\beta=-4\) ; comme \(a>0\) :
[] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;1]\) et croissante sur \([1;+\infty[\) ; sa valeur minimale est \(f(1)=-4\).
Variations de \(g\) : on commence par l’ensemble de définition.
💡 Méthode : \(g(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ 1-x\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff1-x\neq0\)
\(\iff x\neq1\)
[] \(D_g=\mathbb{R}-\{1\}=]-\infty;1[\cup]1;+\infty[\)
💡 Méthode : une fonction homographique \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\neq0\)) est définie sur \(\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\) ; son sens de variation dépend du signe de \(ad-bc\) :
si \(ad-bc>0\) : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si \(ad-bc<0\) : elle est décroissante sur chacun d’eux.
Étape 1 : on identifie les coefficients : \(a=1\), \(b=1\), \(c=-1\), \(d=1\).
Étape 2 : on calcule \(ad-bc\) :
\(ad-bc=1\times1-1\times(-1)\)
\(=1+1\)
\(=2\)
Étape 3 : \(ad-bc>0\), donc \(g\) est croissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
2. a) On utilise la forme canonique de la question 1 :
\(f(x)=0\iff(x-1)^2-4=0\)
\(\iff(x-1)^2=4\)
\(\iff x-1=2\) ou \(x-1=-2\)
\(\iff x=3\) ou \(x=-1\)
[] \(S=\{-1;3\}\)
b) 💡 Les solutions de \(f(x)=0\) sont les abscisses des points où \((C_f)\) coupe l’axe des abscisses.
[] \((C_f)\) coupe \((Ox)\) aux points \(A(-1;0)\) et \(E(3;0)\).
3. Nature de \((C_f)\) : d’après la forme canonique \((x-1)^2-4\), avec \(a=1>0\) :
[] \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(1;-4)\), d’axe de symétrie la droite \(x=1\), tournée vers le haut.
Nature de \((C_g)\) : on écrit \(g(x)\) sous la forme \(\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) ; la courbe est alors une hyperbole de centre \(\Omega(\alpha;\beta)\) et d’asymptotes les droites \(x=\alpha\) et \(y=\beta\).
On fait apparaître le dénominateur au numérateur : \(x+1=-(1-x)+2\).
\(g(x)=\dfrac{-(1-x)+2}{1-x}\)
\(=-1+\dfrac{2}{1-x}\)
\(=-1-\dfrac{2}{x-1}\)
[] \((C_g)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(1;-1)\), d’asymptotes les droites \(x=1\) et \(y=-1\).
4. a) Soit \(x\neq1\). On utilise \(x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\) (racines \(-1\) et \(3\)) et on multiplie par \(1-x\neq0\) :
\(f(x)=g(x)\iff(x+1)(x-3)(1-x)=x+1\)
\(\iff(x+1)(x-3)(1-x)-(x+1)=0\)
\(\iff(x+1)\left[(x-3)(1-x)-1\right]=0\)
On développe le crochet :
\((x-3)(1-x)-1=x-x^2-3+3x-1\)
\(=-x^2+4x-4\)
\(=-(x-2)^2\)
Donc :
\(f(x)=g(x)\iff-(x+1)(x-2)^2=0\)
\(\iff(x+1)(x-2)^2=0\)
b) 💡 Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
\(x+1=0\) ou \((x-2)^2=0\), donc \(x=-1\) ou \(x=2\) (tous deux différents de \(1\)).
Les ordonnées : \(f(-1)=1+2-3=0\) et \(f(2)=4-4-3=-3\).
[] \((C_f)\) et \((C_g)\) se coupent en \(A(-1;0)\) et \(B(2;-3)\).
5. 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
Tableau de valeurs :
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(f(x)\) | \(5\) | \(0\) | \(-3\) | \(-3\) | \(0\) | \(5\) |
| \(g(x)\) | \(-\dfrac{1}{3}\) | \(0\) | \(1\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-\dfrac{5}{3}\) |
💡 Méthode : pour étudier les variations d’un trinôme \(ax^2+bx+c\), on l’écrit sous la forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) :
si \(a>0\) : la fonction est décroissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis croissante sur \([\alpha;+\infty[\) (minimum \(\beta\) en \(\alpha\)) ;
si \(a<0\) : elle est croissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis décroissante sur \([\alpha;+\infty[\) (maximum \(\beta\) en \(\alpha\)).
Étape 1 : on complète le carré pour obtenir la forme canonique :
\(f(x)=x^2-2x-3\)
\(=(x^2-2x+1)-1-3\)
\(=(x-1)^2-4\)
Étape 2 : on identifie \(a=1\), \(\alpha=1\) et \(\beta=-4\) ; comme \(a>0\) :
[] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;1]\) et croissante sur \([1;+\infty[\) ; sa valeur minimale est \(f(1)=-4\).
Variations de \(g\) : on commence par l’ensemble de définition.
💡 Méthode : \(g(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ 1-x\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff1-x\neq0\)
\(\iff x\neq1\)
[] \(D_g=\mathbb{R}-\{1\}=]-\infty;1[\cup]1;+\infty[\)
💡 Méthode : une fonction homographique \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\neq0\)) est définie sur \(\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\) ; son sens de variation dépend du signe de \(ad-bc\) :
si \(ad-bc>0\) : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si \(ad-bc<0\) : elle est décroissante sur chacun d’eux.
Étape 1 : on identifie les coefficients : \(a=1\), \(b=1\), \(c=-1\), \(d=1\).
Étape 2 : on calcule \(ad-bc\) :
\(ad-bc=1\times1-1\times(-1)\)
\(=1+1\)
\(=2\)
Étape 3 : \(ad-bc>0\), donc \(g\) est croissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).
2. a) On utilise la forme canonique de la question 1 :
\(f(x)=0\iff(x-1)^2-4=0\)
\(\iff(x-1)^2=4\)
\(\iff x-1=2\) ou \(x-1=-2\)
\(\iff x=3\) ou \(x=-1\)
[] \(S=\{-1;3\}\)
b) 💡 Les solutions de \(f(x)=0\) sont les abscisses des points où \((C_f)\) coupe l’axe des abscisses.
[] \((C_f)\) coupe \((Ox)\) aux points \(A(-1;0)\) et \(E(3;0)\).
3. Nature de \((C_f)\) : d’après la forme canonique \((x-1)^2-4\), avec \(a=1>0\) :
[] \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(1;-4)\), d’axe de symétrie la droite \(x=1\), tournée vers le haut.
Nature de \((C_g)\) : on écrit \(g(x)\) sous la forme \(\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) ; la courbe est alors une hyperbole de centre \(\Omega(\alpha;\beta)\) et d’asymptotes les droites \(x=\alpha\) et \(y=\beta\).
On fait apparaître le dénominateur au numérateur : \(x+1=-(1-x)+2\).
\(g(x)=\dfrac{-(1-x)+2}{1-x}\)
\(=-1+\dfrac{2}{1-x}\)
\(=-1-\dfrac{2}{x-1}\)
[] \((C_g)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(1;-1)\), d’asymptotes les droites \(x=1\) et \(y=-1\).
4. a) Soit \(x\neq1\). On utilise \(x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\) (racines \(-1\) et \(3\)) et on multiplie par \(1-x\neq0\) :
\(f(x)=g(x)\iff(x+1)(x-3)(1-x)=x+1\)
\(\iff(x+1)(x-3)(1-x)-(x+1)=0\)
\(\iff(x+1)\left[(x-3)(1-x)-1\right]=0\)
On développe le crochet :
\((x-3)(1-x)-1=x-x^2-3+3x-1\)
\(=-x^2+4x-4\)
\(=-(x-2)^2\)
Donc :
\(f(x)=g(x)\iff-(x+1)(x-2)^2=0\)
\(\iff(x+1)(x-2)^2=0\)
b) 💡 Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
\(x+1=0\) ou \((x-2)^2=0\), donc \(x=-1\) ou \(x=2\) (tous deux différents de \(1\)).
Les ordonnées : \(f(-1)=1+2-3=0\) et \(f(2)=4-4-3=-3\).
[] \((C_f)\) et \((C_g)\) se coupent en \(A(-1;0)\) et \(B(2;-3)\).
5. 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
Tableau de valeurs :
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(f(x)\) | \(5\) | \(0\) | \(-3\) | \(-3\) | \(0\) | \(5\) |
| \(g(x)\) | \(-\dfrac{1}{3}\) | \(0\) | \(1\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-\dfrac{5}{3}\) |
Exercice 2 (7 pts)
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par : \(f(x)=x^2-3x+2\) et \(g(x)=\sqrt{x+1}\).
1. Dresser le tableau de variation de \(f\) et \(g\).
2. Déterminer les points d'intersection de la courbe \((C_f)\) avec les axes du repère.
3. Tracer les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) (on donne \(f(3)=g(3)=2\)).
4. Soit \(H\) la fonction définie par \(H(x)=x^2-3|x|+2\).
a) Montrer que \(-\dfrac{1}{4}\) est la valeur minimale de la fonction \(H\) (on rappelle que \(x^2=|x|^2\)).
b) Montrer que \(H\) est paire.
c) Montrer que \((\forall x\in[0,+\infty[)\quad H(x)=f(x)\).
d) Tracer la courbe de \(H\).
1. Dresser le tableau de variation de \(f\) et \(g\).
2. Déterminer les points d'intersection de la courbe \((C_f)\) avec les axes du repère.
3. Tracer les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) (on donne \(f(3)=g(3)=2\)).
4. Soit \(H\) la fonction définie par \(H(x)=x^2-3|x|+2\).
a) Montrer que \(-\dfrac{1}{4}\) est la valeur minimale de la fonction \(H\) (on rappelle que \(x^2=|x|^2\)).
b) Montrer que \(H\) est paire.
c) Montrer que \((\forall x\in[0,+\infty[)\quad H(x)=f(x)\).
d) Tracer la courbe de \(H\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Variations de \(f\) :
💡 Méthode : pour étudier les variations d’un trinôme \(ax^2+bx+c\), on l’écrit sous la forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) :
si \(a>0\) : la fonction est décroissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis croissante sur \([\alpha;+\infty[\) (minimum \(\beta\) en \(\alpha\)) ;
si \(a<0\) : elle est croissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis décroissante sur \([\alpha;+\infty[\) (maximum \(\beta\) en \(\alpha\)).
Étape 1 : on complète le carré pour obtenir la forme canonique :
\(f(x)=x^2-3x+2\)
\(=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}+2\)
\(=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)
Étape 2 : on identifie \(a=1\), \(\alpha=\dfrac{3}{2}\) et \(\beta=-\dfrac{1}{4}\) ; comme \(a>0\) :
[] \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]\) et croissante sur \(\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[\).
Variations de \(g\) :
💡 Méthode : \(\sqrt{A(x)}\) n’existe que si \(A(x)\geq0\) (on ne prend pas la racine d’un nombre négatif).
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+1\geq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff x+1\geq0\)
\(\iff x\geq-1\)
[] \(D_g=[-1;+\infty[\)
💡 Méthode : si \(u\) est croissante sur \(I\) et \(u(x)\geq0\), alors \(x\mapsto\sqrt{u(x)}\) est croissante sur \(I\) (car si \(0\leq A<B\), alors \(\sqrt{A}<\sqrt{B}\)).
Ici \(u(x)=x+1\) est croissante (fonction affine de coefficient \(1>0\)) et \(u(x)\geq0\) sur \(D_g\).
[] \(g\) est croissante sur \([-1;+\infty[\).
2. 💡 Méthode : avec \((Ox)\) on résout \(f(x)=0\) ; avec \((Oy)\) on calcule \(f(0)\).
\(1\) est une racine évidente (\(1-3+2=0\)), d’où la factorisation \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) :
\(f(x)=0\iff(x-1)(x-2)=0\)
\(\iff x=1\) ou \(x=2\)
Et \(f(0)=2\).
[] \((C_f)\) coupe \((Ox)\) en \((1;0)\) et \((2;0)\), et \((Oy)\) en \((0;2)\).
3. 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(\dfrac{3}{2}\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(f(x)\) | \(6\) | \(2\) | \(0\) | \(-\dfrac{1}{4}\) | \(0\) | \(2\) | \(6\) |
| \(g(x)\) | \(0\) | \(1\) | \(\sqrt{2}\) | \(\sqrt{\dfrac{5}{2}}\) | \(\sqrt{3}\) | \(2\) | \(\sqrt{5}\) |
4. a) 💡 Idée : comme \(x^2=|x|^2\), on écrit \(H(x)\) comme un trinôme en \(|x|\) et on le met sous forme canonique.
\(H(x)=|x|^2-3|x|+2\)
\(=\left(|x|-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}+2\)
\(=\left(|x|-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)
Un carré est positif, donc \(H(x)\geq-\dfrac{1}{4}\) ; et \(H\left(\dfrac{3}{2}\right)=0-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}\) : la valeur est atteinte.
[] \(-\dfrac{1}{4}\) est la valeur minimale de \(H\) (atteinte en \(-\dfrac{3}{2}\) et en \(\dfrac{3}{2}\)).
b) 💡 Méthode : pour étudier la parité de \(H\), on vérifie deux conditions :
(1) \(D_{H}\) est symétrique par rapport à \(0\) : pour tout \(x\in D_{H}\), on a aussi \(-x\in D_{H}\) ;
(2) pour tout \(x\in D_{H}\) : \(H(-x)=H(x)\) (\(H\) paire) ou \(H(-x)=-H(x)\) (\(H\) impaire).
Condition (1) : \(D_H=\mathbb{R}\) ; pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(-x\in\mathbb{R}\). ✔
Condition (2) : soit \(x\in D_{H}\) ; on remplace \(x\) par \(-x\) :
\(H(-x)=(-x)^2-3|-x|+2\)
\(=x^2-3|x|+2\)
\(=H(x)\)
[] Les deux conditions sont vérifiées : \(H\) est paire ; sa courbe est symétrique par rapport à l’axe \((Oy)\).
c) Pour \(x\geq0\), on a \(|x|=x\) ; donc :
\(H(x)=x^2-3x+2\)
\(=f(x)\)
d) 💡 Méthode : sur \([0;+\infty[\), \((C_H)\) coïncide avec \((C_f)\) (question c) ; comme \(H\) est paire, on complète par symétrie par rapport à l’axe \((Oy)\).
💡 Méthode : pour étudier les variations d’un trinôme \(ax^2+bx+c\), on l’écrit sous la forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) :
si \(a>0\) : la fonction est décroissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis croissante sur \([\alpha;+\infty[\) (minimum \(\beta\) en \(\alpha\)) ;
si \(a<0\) : elle est croissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis décroissante sur \([\alpha;+\infty[\) (maximum \(\beta\) en \(\alpha\)).
Étape 1 : on complète le carré pour obtenir la forme canonique :
\(f(x)=x^2-3x+2\)
\(=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}+2\)
\(=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)
Étape 2 : on identifie \(a=1\), \(\alpha=\dfrac{3}{2}\) et \(\beta=-\dfrac{1}{4}\) ; comme \(a>0\) :
[] \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]\) et croissante sur \(\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[\).
Variations de \(g\) :
💡 Méthode : \(\sqrt{A(x)}\) n’existe que si \(A(x)\geq0\) (on ne prend pas la racine d’un nombre négatif).
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+1\geq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff x+1\geq0\)
\(\iff x\geq-1\)
[] \(D_g=[-1;+\infty[\)
💡 Méthode : si \(u\) est croissante sur \(I\) et \(u(x)\geq0\), alors \(x\mapsto\sqrt{u(x)}\) est croissante sur \(I\) (car si \(0\leq A<B\), alors \(\sqrt{A}<\sqrt{B}\)).
Ici \(u(x)=x+1\) est croissante (fonction affine de coefficient \(1>0\)) et \(u(x)\geq0\) sur \(D_g\).
[] \(g\) est croissante sur \([-1;+\infty[\).
2. 💡 Méthode : avec \((Ox)\) on résout \(f(x)=0\) ; avec \((Oy)\) on calcule \(f(0)\).
\(1\) est une racine évidente (\(1-3+2=0\)), d’où la factorisation \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) :
\(f(x)=0\iff(x-1)(x-2)=0\)
\(\iff x=1\) ou \(x=2\)
Et \(f(0)=2\).
[] \((C_f)\) coupe \((Ox)\) en \((1;0)\) et \((2;0)\), et \((Oy)\) en \((0;2)\).
3. 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(\dfrac{3}{2}\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(f(x)\) | \(6\) | \(2\) | \(0\) | \(-\dfrac{1}{4}\) | \(0\) | \(2\) | \(6\) |
| \(g(x)\) | \(0\) | \(1\) | \(\sqrt{2}\) | \(\sqrt{\dfrac{5}{2}}\) | \(\sqrt{3}\) | \(2\) | \(\sqrt{5}\) |
4. a) 💡 Idée : comme \(x^2=|x|^2\), on écrit \(H(x)\) comme un trinôme en \(|x|\) et on le met sous forme canonique.
\(H(x)=|x|^2-3|x|+2\)
\(=\left(|x|-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}+2\)
\(=\left(|x|-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)
Un carré est positif, donc \(H(x)\geq-\dfrac{1}{4}\) ; et \(H\left(\dfrac{3}{2}\right)=0-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}\) : la valeur est atteinte.
[] \(-\dfrac{1}{4}\) est la valeur minimale de \(H\) (atteinte en \(-\dfrac{3}{2}\) et en \(\dfrac{3}{2}\)).
b) 💡 Méthode : pour étudier la parité de \(H\), on vérifie deux conditions :
(1) \(D_{H}\) est symétrique par rapport à \(0\) : pour tout \(x\in D_{H}\), on a aussi \(-x\in D_{H}\) ;
(2) pour tout \(x\in D_{H}\) : \(H(-x)=H(x)\) (\(H\) paire) ou \(H(-x)=-H(x)\) (\(H\) impaire).
Condition (1) : \(D_H=\mathbb{R}\) ; pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(-x\in\mathbb{R}\). ✔
Condition (2) : soit \(x\in D_{H}\) ; on remplace \(x\) par \(-x\) :
\(H(-x)=(-x)^2-3|-x|+2\)
\(=x^2-3|x|+2\)
\(=H(x)\)
[] Les deux conditions sont vérifiées : \(H\) est paire ; sa courbe est symétrique par rapport à l’axe \((Oy)\).
c) Pour \(x\geq0\), on a \(|x|=x\) ; donc :
\(H(x)=x^2-3x+2\)
\(=f(x)\)
d) 💡 Méthode : sur \([0;+\infty[\), \((C_H)\) coïncide avec \((C_f)\) (question c) ; comme \(H\) est paire, on complète par symétrie par rapport à l’axe \((Oy)\).
Exercice 3 (6 pts)
On reprend les fonctions \(f(x)=x^2-2x-3\) et \(g(x)=\dfrac{x+1}{1-x}\) de l'exercice 1.
1. On considère la proposition \(P\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)\geq-4\). Donner la négation de \(P\), puis montrer que \(P\) est vraie.
2. Déterminer la valeur de vérité de la proposition \(Q\) : \((\exists x\in\mathbb{R}-\{1\})\ g(x)=-1\).
3. En utilisant le raisonnement par contraposée, montrer que : \((\forall(a,b)\in[1;+\infty[^2)\ :\ a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\).
4. Montrer par récurrence que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ :\ 2^n\geq n+1\).
1. On considère la proposition \(P\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)\geq-4\). Donner la négation de \(P\), puis montrer que \(P\) est vraie.
2. Déterminer la valeur de vérité de la proposition \(Q\) : \((\exists x\in\mathbb{R}-\{1\})\ g(x)=-1\).
3. En utilisant le raisonnement par contraposée, montrer que : \((\forall(a,b)\in[1;+\infty[^2)\ :\ a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\).
4. Montrer par récurrence que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ :\ 2^n\geq n+1\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. 💡 Négation : \(\forall\) devient \(\exists\) et « \(\geq\) » devient « \(<\) ».
[] \(\neg P\) : \((\exists x\in\mathbb{R})\ f(x)<-4\)
Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f(x)+4=x^2-2x+1=(x-1)^2\geq0\), donc \(f(x)\geq-4\).
[] \(P\) est vraie (c'est le minimum \(-4\) de la question 1 de l'exercice 1).
2. Pour \(x\neq1\) : \(g(x)=-1\iff x+1=-(1-x)\iff x+1=x-1\iff1=-1\) : impossible.
[] \(Q\) est fausse : la valeur \(-1\) n'est jamais atteinte (c'est l'asymptote horizontale \(y=-1\)).
3. 💡 La contraposée de « \(a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\) » est « \(f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\) ».
Soient \(a,b\in[1;+\infty[\) tels que \(f(a)=f(b)\) : \(a^2-2a-3=b^2-2b-3\), donc \((a^2-b^2)-2(a-b)=0\).
Donc \((a-b)(a+b-2)=0\), soit \(a=b\) ou \(a+b=2\).
Comme \(a\geq1\) et \(b\geq1\), \(a+b=2\) impose \(a=b=1\). Dans les deux cas, \(a=b\).
[!] Par contraposée : \(a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\) sur \([1;+\infty[\).
4. Initialisation : pour \(n=0\), \(2^0=1\geq0+1\) : vrai.
Hérédité : supposons \(2^n\geq n+1\). Alors \(2^{n+1}=2\times2^n\geq2(n+1)=2n+2\geq n+2\) (car \(n\geq0\)).
[!] Donc \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2^n\geq n+1\).
[] \(\neg P\) : \((\exists x\in\mathbb{R})\ f(x)<-4\)
Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f(x)+4=x^2-2x+1=(x-1)^2\geq0\), donc \(f(x)\geq-4\).
[] \(P\) est vraie (c'est le minimum \(-4\) de la question 1 de l'exercice 1).
2. Pour \(x\neq1\) : \(g(x)=-1\iff x+1=-(1-x)\iff x+1=x-1\iff1=-1\) : impossible.
[] \(Q\) est fausse : la valeur \(-1\) n'est jamais atteinte (c'est l'asymptote horizontale \(y=-1\)).
3. 💡 La contraposée de « \(a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\) » est « \(f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\) ».
Soient \(a,b\in[1;+\infty[\) tels que \(f(a)=f(b)\) : \(a^2-2a-3=b^2-2b-3\), donc \((a^2-b^2)-2(a-b)=0\).
Donc \((a-b)(a+b-2)=0\), soit \(a=b\) ou \(a+b=2\).
Comme \(a\geq1\) et \(b\geq1\), \(a+b=2\) impose \(a=b=1\). Dans les deux cas, \(a=b\).
[!] Par contraposée : \(a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\) sur \([1;+\infty[\).
4. Initialisation : pour \(n=0\), \(2^0=1\geq0+1\) : vrai.
Hérédité : supposons \(2^n\geq n+1\). Alors \(2^{n+1}=2\times2^n\geq2(n+1)=2n+2\geq n+2\) (car \(n\geq0\)).
[!] Donc \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2^n\geq n+1\).