Exercice 1 (5 pts)
Soit \(f\) la fonction définie par sa courbe représentative \((C_f)\) suivante (les droites en pointillés ne coupent pas \((C_f)\)) :
1. Déterminer \(D_f\) l'ensemble de définition de \(f\).
2. Déterminer graphiquement \(f(0)\) et \(f(1)\).
3. Déterminer graphiquement les intervalles sur lesquels \(f\) est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante.
4. On admet que \(f(x)=x^2-1\) pour tout \(x>0\). Calculer \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\), puis montrer que \(f\) n'est pas croissante sur \(]-1;+\infty[\).
5. Montrer graphiquement que \(f\) est majorée par \(1\) sur \(]-\infty;-1[\).
6. Donner le signe de \(f(x)\) sur \([0;+\infty[\).
1. Déterminer \(D_f\) l'ensemble de définition de \(f\).
2. Déterminer graphiquement \(f(0)\) et \(f(1)\).
3. Déterminer graphiquement les intervalles sur lesquels \(f\) est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante.
4. On admet que \(f(x)=x^2-1\) pour tout \(x>0\). Calculer \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\), puis montrer que \(f\) n'est pas croissante sur \(]-1;+\infty[\).
5. Montrer graphiquement que \(f\) est majorée par \(1\) sur \(]-\infty;-1[\).
6. Donner le signe de \(f(x)\) sur \([0;+\infty[\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. 💡 Graphiquement, \(D_f\) est l'ensemble des abscisses des points de \((C_f)\).
La courbe existe pour toute abscisse sauf \(-1\) (droite verticale en pointillés qu'elle ne coupe pas).
[] \(D_f=\mathbb{R}-\{-1\}=]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[\)
2. Le point plein \((0;0)\) appartient à \((C_f)\) ; le point creux \((0;-1)\) n'y appartient pas. Et \((C_f)\) passe par \((1;0)\).
[] \(f(0)=0\) et \(f(1)=0\)
3. 💡 Croissante : la courbe « monte » de gauche à droite ; décroissante : elle « descend ».
[] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-1[\), croissante sur \(]-1;0]\) et croissante sur \(]0;+\infty[\).
4. \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}-1=-\dfrac{3}{4}\).
💡 Pour montrer qu'une propriété « pour tous \(a<b\) … » est fausse, un contre-exemple suffit.
On a \(0<\dfrac{1}{2}\) et \(f(0)=0>f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{4}\) : l'ordre n'est pas conservé.
[] \(f\) n'est pas croissante sur \(]-1;+\infty[\) (bien qu'elle soit croissante sur \(]-1;0]\) et sur \(]0;+\infty[\)).
5. Sur \(]-\infty;-1[\), la courbe reste strictement en dessous de la droite horizontale \(y=1\).
[] \((\forall x\in]-\infty;-1[)\ f(x)<1\) : \(f\) est majorée par \(1\) sur cet intervalle.
6. \(f(0)=0\) ; sur \(]0;1[\) la courbe est sous l'axe des abscisses ; \(f(1)=0\) ; pour \(x>1\) elle est au-dessus.
[!] \(f(x)\leq0\) sur \([0;1]\) (avec \(f(0)=f(1)=0\)) et \(f(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\).
La courbe existe pour toute abscisse sauf \(-1\) (droite verticale en pointillés qu'elle ne coupe pas).
[] \(D_f=\mathbb{R}-\{-1\}=]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[\)
2. Le point plein \((0;0)\) appartient à \((C_f)\) ; le point creux \((0;-1)\) n'y appartient pas. Et \((C_f)\) passe par \((1;0)\).
[] \(f(0)=0\) et \(f(1)=0\)
3. 💡 Croissante : la courbe « monte » de gauche à droite ; décroissante : elle « descend ».
[] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-1[\), croissante sur \(]-1;0]\) et croissante sur \(]0;+\infty[\).
4. \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}-1=-\dfrac{3}{4}\).
💡 Pour montrer qu'une propriété « pour tous \(a<b\) … » est fausse, un contre-exemple suffit.
On a \(0<\dfrac{1}{2}\) et \(f(0)=0>f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{4}\) : l'ordre n'est pas conservé.
[] \(f\) n'est pas croissante sur \(]-1;+\infty[\) (bien qu'elle soit croissante sur \(]-1;0]\) et sur \(]0;+\infty[\)).
5. Sur \(]-\infty;-1[\), la courbe reste strictement en dessous de la droite horizontale \(y=1\).
[] \((\forall x\in]-\infty;-1[)\ f(x)<1\) : \(f\) est majorée par \(1\) sur cet intervalle.
6. \(f(0)=0\) ; sur \(]0;1[\) la courbe est sous l'axe des abscisses ; \(f(1)=0\) ; pour \(x>1\) elle est au-dessus.
[!] \(f(x)\leq0\) sur \([0;1]\) (avec \(f(0)=f(1)=0\)) et \(f(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\).
Exercice 2 (6 pts)
On considère la suite \((U_n)\) définie par \(U_0=2\) et \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_{n+1}=\dfrac{5U_n-1}{3+U_n}\).
1. Vérifier que pour tout réel \(x\neq-3\) : \(\dfrac{5x-1}{3+x}-1=\dfrac{4(x-1)}{3+x}\).
2. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_n>1\).
3. Donner la négation de la proposition \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_n>1\).
4. En utilisant le raisonnement par contraposée, montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R}-\{-3\})\ :\ x\neq1\Rightarrow\dfrac{5x-1}{3+x}\neq1\).
5. Déterminer la valeur de vérité de la proposition : \((\exists x\in\mathbb{R})\ x^2+1<2x\).
1. Vérifier que pour tout réel \(x\neq-3\) : \(\dfrac{5x-1}{3+x}-1=\dfrac{4(x-1)}{3+x}\).
2. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_n>1\).
3. Donner la négation de la proposition \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_n>1\).
4. En utilisant le raisonnement par contraposée, montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R}-\{-3\})\ :\ x\neq1\Rightarrow\dfrac{5x-1}{3+x}\neq1\).
5. Déterminer la valeur de vérité de la proposition : \((\exists x\in\mathbb{R})\ x^2+1<2x\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Pour \(x\neq-3\) : \(\dfrac{5x-1}{3+x}-1=\dfrac{5x-1-3-x}{3+x}=\dfrac{4x-4}{3+x}=\dfrac{4(x-1)}{3+x}\).
2. 💡 Récurrence : initialisation, puis hérédité en utilisant la question 1.
Initialisation : \(U_0=2>1\).
Hérédité : supposons \(U_n>1\). Alors \(U_n-1>0\) et \(3+U_n>4>0\) (en particulier \(U_n\neq-3\)). D'après 1 :
\(U_{n+1}-1=\dfrac{4(U_n-1)}{3+U_n}>0\), donc \(U_{n+1}>1\).
[!] \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_n>1\)
3. 💡 La négation de « \(>\) » est « \(\leq\) ».
[] \((\exists n\in\mathbb{N})\ U_n\leq1\)
4. Contraposée : on montre \(\dfrac{5x-1}{3+x}=1\Rightarrow x=1\).
Si \(\dfrac{5x-1}{3+x}=1\), alors d'après 1 : \(\dfrac{4(x-1)}{3+x}=0\), donc \(x-1=0\), soit \(x=1\).
[] Donc \(x\neq1\Rightarrow\dfrac{5x-1}{3+x}\neq1\).
5. \(x^2+1<2x\iff x^2-2x+1<0\iff(x-1)^2<0\) : impossible (un carré est positif).
[!] La proposition est fausse ; sa négation \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2+1\geq2x\) est vraie.
2. 💡 Récurrence : initialisation, puis hérédité en utilisant la question 1.
Initialisation : \(U_0=2>1\).
Hérédité : supposons \(U_n>1\). Alors \(U_n-1>0\) et \(3+U_n>4>0\) (en particulier \(U_n\neq-3\)). D'après 1 :
\(U_{n+1}-1=\dfrac{4(U_n-1)}{3+U_n}>0\), donc \(U_{n+1}>1\).
[!] \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_n>1\)
3. 💡 La négation de « \(>\) » est « \(\leq\) ».
[] \((\exists n\in\mathbb{N})\ U_n\leq1\)
4. Contraposée : on montre \(\dfrac{5x-1}{3+x}=1\Rightarrow x=1\).
Si \(\dfrac{5x-1}{3+x}=1\), alors d'après 1 : \(\dfrac{4(x-1)}{3+x}=0\), donc \(x-1=0\), soit \(x=1\).
[] Donc \(x\neq1\Rightarrow\dfrac{5x-1}{3+x}\neq1\).
5. \(x^2+1<2x\iff x^2-2x+1<0\iff(x-1)^2<0\) : impossible (un carré est positif).
[!] La proposition est fausse ; sa négation \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2+1\geq2x\) est vraie.
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{5x-1}{x+3}\).
1. Déterminer \(D_f\) et vérifier que \((\forall x\in D_f)\ f(x)=5-\dfrac{16}{x+3}\).
2. Étudier les variations de \(f\) sur \(]-\infty;-3[\) et sur \(]-3;+\infty[\), puis dresser son tableau de variations.
3. Préciser la nature de \((C_f)\) et ses éléments caractéristiques, puis tracer \((C_f)\).
4. Montrer que \(f\) est majorée par \(5\) sur \(]-3;+\infty[\).
5. Montrer que : \((\forall x\in[1;+\infty[)\ 1\leq f(x)<5\).
1. Déterminer \(D_f\) et vérifier que \((\forall x\in D_f)\ f(x)=5-\dfrac{16}{x+3}\).
2. Étudier les variations de \(f\) sur \(]-\infty;-3[\) et sur \(]-3;+\infty[\), puis dresser son tableau de variations.
3. Préciser la nature de \((C_f)\) et ses éléments caractéristiques, puis tracer \((C_f)\).
4. Montrer que \(f\) est majorée par \(5\) sur \(]-3;+\infty[\).
5. Montrer que : \((\forall x\in[1;+\infty[)\ 1\leq f(x)<5\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. 💡 Méthode : \(f(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+3\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_f\iff x+3\neq0\)
\(\iff x\neq-3\)
[] \(D_f=\mathbb{R}-\{-3\}\)
Vérification : on part du membre de droite et on réduit au même dénominateur :
\(5-\dfrac{16}{x+3}=\dfrac{5(x+3)}{x+3}-\dfrac{16}{x+3}\)
\(=\dfrac{5x+15-16}{x+3}\)
\(=\dfrac{5x-1}{x+3}\)
\(=f(x)\)
2. 💡 Méthode : une fonction homographique \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\neq0\)) est définie sur \(\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\) ; son sens de variation dépend du signe de \(ad-bc\) :
si \(ad-bc>0\) : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si \(ad-bc<0\) : elle est décroissante sur chacun d’eux.
Étape 1 : on identifie les coefficients : \(a=5\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=3\).
Étape 2 : on calcule \(ad-bc\) :
\(ad-bc=5\times3-(-1)\times1\)
\(=15+1\)
\(=16\)
Étape 3 : \(ad-bc>0\), donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty;-3[\) et sur \(]-3;+\infty[\).
3. 💡 Rappel : si \(f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\), \((C_f)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(\alpha;\beta)\) et d’asymptotes les droites \(x=\alpha\) et \(y=\beta\).
Ici \(f(x)=5-\dfrac{16}{x+3}=5+\dfrac{-16}{x-(-3)}\) : \(\alpha=-3\) et \(\beta=5\).
[] \((C_f)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(-3;5)\), d’asymptotes les droites \(x=-3\) et \(y=5\).
💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
| \(x\) | \(-11\) | \(-7\) | \(-5\) | \(-1\) | \(1\) | \(5\) |
| \(f(x)\) | \(7\) | \(9\) | \(13\) | \(-3\) | \(1\) | \(3\) |
4. 💡 Méthode : pour montrer que \(f(x)\leq M\) (ou \(f(x)\geq m\)), on étudie le signe de la différence \(M-f(x)\) (ou \(f(x)-m\)) en réduisant au même dénominateur.
\(5-f(x)=5-\left(5-\dfrac{16}{x+3}\right)\)
\(=\dfrac{16}{x+3}\)
Pour \(x>-3\) : \(x+3>0\), donc \(\dfrac{16}{x+3}>0\), c’est-à-dire \(5-f(x)>0\) et \(f(x)<5\).
[] \(f\) est majorée par \(5\) sur \(]-3;+\infty[\).
5. 💡 On combine la croissance de \(f\) (question 2) et la majoration (question 4).
\(f(1)=\dfrac{5\times1-1}{1+3}\)
\(=\dfrac{4}{4}=1\)
Si \(x\geq1\) : comme \(f\) est croissante sur \(]-3;+\infty[\) et \(1\leq x\), on a \(f(1)\leq f(x)\), soit \(1\leq f(x)\) ; et d’après 4 : \(f(x)<5\).
[!] \((\forall x\in[1;+\infty[)\ 1\leq f(x)<5\)
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+3\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_f\iff x+3\neq0\)
\(\iff x\neq-3\)
[] \(D_f=\mathbb{R}-\{-3\}\)
Vérification : on part du membre de droite et on réduit au même dénominateur :
\(5-\dfrac{16}{x+3}=\dfrac{5(x+3)}{x+3}-\dfrac{16}{x+3}\)
\(=\dfrac{5x+15-16}{x+3}\)
\(=\dfrac{5x-1}{x+3}\)
\(=f(x)\)
2. 💡 Méthode : une fonction homographique \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\neq0\)) est définie sur \(\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\) ; son sens de variation dépend du signe de \(ad-bc\) :
si \(ad-bc>0\) : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si \(ad-bc<0\) : elle est décroissante sur chacun d’eux.
Étape 1 : on identifie les coefficients : \(a=5\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=3\).
Étape 2 : on calcule \(ad-bc\) :
\(ad-bc=5\times3-(-1)\times1\)
\(=15+1\)
\(=16\)
Étape 3 : \(ad-bc>0\), donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty;-3[\) et sur \(]-3;+\infty[\).
3. 💡 Rappel : si \(f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\), \((C_f)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(\alpha;\beta)\) et d’asymptotes les droites \(x=\alpha\) et \(y=\beta\).
Ici \(f(x)=5-\dfrac{16}{x+3}=5+\dfrac{-16}{x-(-3)}\) : \(\alpha=-3\) et \(\beta=5\).
[] \((C_f)\) est une hyperbole de centre \(\Omega(-3;5)\), d’asymptotes les droites \(x=-3\) et \(y=5\).
💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
| \(x\) | \(-11\) | \(-7\) | \(-5\) | \(-1\) | \(1\) | \(5\) |
| \(f(x)\) | \(7\) | \(9\) | \(13\) | \(-3\) | \(1\) | \(3\) |
4. 💡 Méthode : pour montrer que \(f(x)\leq M\) (ou \(f(x)\geq m\)), on étudie le signe de la différence \(M-f(x)\) (ou \(f(x)-m\)) en réduisant au même dénominateur.
\(5-f(x)=5-\left(5-\dfrac{16}{x+3}\right)\)
\(=\dfrac{16}{x+3}\)
Pour \(x>-3\) : \(x+3>0\), donc \(\dfrac{16}{x+3}>0\), c’est-à-dire \(5-f(x)>0\) et \(f(x)<5\).
[] \(f\) est majorée par \(5\) sur \(]-3;+\infty[\).
5. 💡 On combine la croissance de \(f\) (question 2) et la majoration (question 4).
\(f(1)=\dfrac{5\times1-1}{1+3}\)
\(=\dfrac{4}{4}=1\)
Si \(x\geq1\) : comme \(f\) est croissante sur \(]-3;+\infty[\) et \(1\leq x\), on a \(f(1)\leq f(x)\), soit \(1\leq f(x)\) ; et d’après 4 : \(f(x)<5\).
[!] \((\forall x\in[1;+\infty[)\ 1\leq f(x)<5\)
Exercice 4 (4 pts)
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(g(x)=x+\dfrac{1}{x}\).
1. Étudier la parité de \(g\).
2. Montrer que pour tous \(a\) et \(b\) distincts de \(\mathbb{R}^*\) : \(\dfrac{g(a)-g(b)}{a-b}=1-\dfrac{1}{ab}\).
3. Étudier les variations de \(g\) sur \(]0;1]\) et sur \([1;+\infty[\), puis en déduire ses variations sur \(\mathbb{R}^*\).
4. Montrer que \(2\) est la valeur minimale de \(g\) sur \(]0;+\infty[\).
1. Étudier la parité de \(g\).
2. Montrer que pour tous \(a\) et \(b\) distincts de \(\mathbb{R}^*\) : \(\dfrac{g(a)-g(b)}{a-b}=1-\dfrac{1}{ab}\).
3. Étudier les variations de \(g\) sur \(]0;1]\) et sur \([1;+\infty[\), puis en déduire ses variations sur \(\mathbb{R}^*\).
4. Montrer que \(2\) est la valeur minimale de \(g\) sur \(]0;+\infty[\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. 💡 Méthode : pour étudier la parité de \(g\), on vérifie deux conditions :
(1) \(D_{g}\) est symétrique par rapport à \(0\) : pour tout \(x\in D_{g}\), on a aussi \(-x\in D_{g}\) ;
(2) pour tout \(x\in D_{g}\) : \(g(-x)=g(x)\) (\(g\) paire) ou \(g(-x)=-g(x)\) (\(g\) impaire).
Condition (1) : \(D_g=\mathbb{R}^*\) ; si \(x\neq0\) alors \(-x\neq0\), donc \(-x\in\mathbb{R}^*\). ✔
Condition (2) : soit \(x\in D_{g}\) ; on remplace \(x\) par \(-x\) :
\(g(-x)=-x+\dfrac{1}{-x}\)
\(=-x-\dfrac{1}{x}\)
\(=-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\)
\(=-g(x)\)
[] Les deux conditions sont vérifiées : \(g\) est impaire ; sa courbe est symétrique par rapport à l’origine \(O\).
2. On calcule la différence \(g(a)-g(b)\), puis on factorise par \(a-b\) :
\(g(a)-g(b)=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)-\left(b+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(=(a-b)+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\)
\(=(a-b)+\dfrac{b-a}{ab}\)
\(=(a-b)-\dfrac{a-b}{ab}\)
\(=(a-b)\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)\)
On divise par \(a-b\neq0\) :
[] \(\dfrac{g(a)-g(b)}{a-b}=1-\dfrac{1}{ab}\)
3. 💡 Méthode (taux de variation) : pour \(a\neq b\) dans un intervalle \(I\), on calcule \(T=\dfrac{g(a)-g(b)}{a-b}\) et on étudie son signe :
si \(T>0\) sur \(I\), \(g\) est croissante sur \(I\) ; si \(T<0\), elle est décroissante sur \(I\).
Sur \(]0;1]\) : si \(a\) et \(b\) sont dans \(]0;1]\) (\(a\neq b\)) : \(0<ab<1\), donc \(\dfrac{1}{ab}>1\) et \(T=1-\dfrac{1}{ab}<0\).
[] \(g\) est décroissante sur \(]0;1]\).
Sur \([1;+\infty[\) : \(ab>1\), donc \(0<\dfrac{1}{ab}<1\) et \(T>0\).
[] \(g\) est croissante sur \([1;+\infty[\).
Sur \(\mathbb{R}^*\) : une fonction impaire a le même sens de variation sur deux intervalles symétriques : \(g\) est décroissante sur \([-1;0[\) et croissante sur \(]-\infty;-1]\).
4. 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
\(g(x)-2=x+\dfrac{1}{x}-2\)
\(=\dfrac{x^2-2x+1}{x}\)
\(=\dfrac{(x-1)^2}{x}\)
Pour \(x>0\) : numérateur \(\geq0\) et dénominateur \(>0\), donc \(g(x)\geq2\) ; et \(g(1)=1+1=2\) : la valeur est atteinte.
[!] \(2=g(1)\) est la valeur minimale de \(g\) sur \(]0;+\infty[\).
(1) \(D_{g}\) est symétrique par rapport à \(0\) : pour tout \(x\in D_{g}\), on a aussi \(-x\in D_{g}\) ;
(2) pour tout \(x\in D_{g}\) : \(g(-x)=g(x)\) (\(g\) paire) ou \(g(-x)=-g(x)\) (\(g\) impaire).
Condition (1) : \(D_g=\mathbb{R}^*\) ; si \(x\neq0\) alors \(-x\neq0\), donc \(-x\in\mathbb{R}^*\). ✔
Condition (2) : soit \(x\in D_{g}\) ; on remplace \(x\) par \(-x\) :
\(g(-x)=-x+\dfrac{1}{-x}\)
\(=-x-\dfrac{1}{x}\)
\(=-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\)
\(=-g(x)\)
[] Les deux conditions sont vérifiées : \(g\) est impaire ; sa courbe est symétrique par rapport à l’origine \(O\).
2. On calcule la différence \(g(a)-g(b)\), puis on factorise par \(a-b\) :
\(g(a)-g(b)=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)-\left(b+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(=(a-b)+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\)
\(=(a-b)+\dfrac{b-a}{ab}\)
\(=(a-b)-\dfrac{a-b}{ab}\)
\(=(a-b)\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)\)
On divise par \(a-b\neq0\) :
[] \(\dfrac{g(a)-g(b)}{a-b}=1-\dfrac{1}{ab}\)
3. 💡 Méthode (taux de variation) : pour \(a\neq b\) dans un intervalle \(I\), on calcule \(T=\dfrac{g(a)-g(b)}{a-b}\) et on étudie son signe :
si \(T>0\) sur \(I\), \(g\) est croissante sur \(I\) ; si \(T<0\), elle est décroissante sur \(I\).
Sur \(]0;1]\) : si \(a\) et \(b\) sont dans \(]0;1]\) (\(a\neq b\)) : \(0<ab<1\), donc \(\dfrac{1}{ab}>1\) et \(T=1-\dfrac{1}{ab}<0\).
[] \(g\) est décroissante sur \(]0;1]\).
Sur \([1;+\infty[\) : \(ab>1\), donc \(0<\dfrac{1}{ab}<1\) et \(T>0\).
[] \(g\) est croissante sur \([1;+\infty[\).
Sur \(\mathbb{R}^*\) : une fonction impaire a le même sens de variation sur deux intervalles symétriques : \(g\) est décroissante sur \([-1;0[\) et croissante sur \(]-\infty;-1]\).
4. 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
\(g(x)-2=x+\dfrac{1}{x}-2\)
\(=\dfrac{x^2-2x+1}{x}\)
\(=\dfrac{(x-1)^2}{x}\)
Pour \(x>0\) : numérateur \(\geq0\) et dénominateur \(>0\), donc \(g(x)\geq2\) ; et \(g(1)=1+1=2\) : la valeur est atteinte.
[!] \(2=g(1)\) est la valeur minimale de \(g\) sur \(]0;+\infty[\).