Exercice 1 (10 pts)
1. Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes :
\(P\) : \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\) ou « \(4\) est premier » ; \(Q\) : \(\left(2{,}3\notin\mathbb{N}\right)\) et \(\left(|1-\sqrt{2}|=1-\sqrt{2}\right)\) ;
\(R\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ ,\ x^2\geq x\) ; \(S\) : \((\exists n\in\mathbb{N})\ ,\ n^2-2n+1=0\).
2. On considère la proposition suivante : \(T\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ ,\ x<1\Rightarrow x^2<1\).
a) Donner la négation de \(T\).
b) En déduire que la proposition \(T\) est fausse.
3. En utilisant le raisonnement par équivalences successives, montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R})\ :\ \sqrt{x^4+3x^2+1}\geq x^2+1\).
4. En utilisant le raisonnement par la contraposée, montrer que : \(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^{*2}\ :\ (x\neq y\ \wedge\ xy\neq2)\Rightarrow\dfrac{x^2+2}{x}\neq\dfrac{y^2+2}{y}\).
5. En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que les deux propositions suivantes sont vraies :
a) \((\forall n\in\mathbb{N})\quad1+11^1+11^2+\cdots+11^n=\dfrac{1}{10}\left(11^{n+1}-1\right)\).
b) Le nombre \(3^{3n+2}-2^{n+2}\) est divisible par \(5\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).
6. En utilisant le raisonnement par l'absurde, montrer que : \(\forall x\in\mathbb{R}^+\ :\ \sqrt{x}\neq\dfrac{x+2}{\sqrt{x+4}}\).
\(P\) : \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\) ou « \(4\) est premier » ; \(Q\) : \(\left(2{,}3\notin\mathbb{N}\right)\) et \(\left(|1-\sqrt{2}|=1-\sqrt{2}\right)\) ;
\(R\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ ,\ x^2\geq x\) ; \(S\) : \((\exists n\in\mathbb{N})\ ,\ n^2-2n+1=0\).
2. On considère la proposition suivante : \(T\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ ,\ x<1\Rightarrow x^2<1\).
a) Donner la négation de \(T\).
b) En déduire que la proposition \(T\) est fausse.
3. En utilisant le raisonnement par équivalences successives, montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R})\ :\ \sqrt{x^4+3x^2+1}\geq x^2+1\).
4. En utilisant le raisonnement par la contraposée, montrer que : \(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^{*2}\ :\ (x\neq y\ \wedge\ xy\neq2)\Rightarrow\dfrac{x^2+2}{x}\neq\dfrac{y^2+2}{y}\).
5. En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que les deux propositions suivantes sont vraies :
a) \((\forall n\in\mathbb{N})\quad1+11^1+11^2+\cdots+11^n=\dfrac{1}{10}\left(11^{n+1}-1\right)\).
b) Le nombre \(3^{3n+2}-2^{n+2}\) est divisible par \(5\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).
6. En utilisant le raisonnement par l'absurde, montrer que : \(\forall x\in\mathbb{R}^+\ :\ \sqrt{x}\neq\dfrac{x+2}{\sqrt{x+4}}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 « \(A\) ou \(B\) » est vraie dès qu'une des deux est vraie ; « \(A\) et \(B\) » est vraie seulement si les deux sont vraies.
1. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) est vraie :
[] \(P\) est vraie (même si \(4\) n'est pas premier).
\(2{,}3\notin\mathbb{N}\) est vraie, mais \(1-\sqrt{2}<0\) donc \(|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1\neq1-\sqrt{2}\) :
[] \(Q\) est fausse.
Pour \(x=\dfrac{1}{2}\) : \(x^2=\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2}\) (contre-exemple) :
[] \(R\) est fausse.
\(n^2-2n+1=(n-1)^2=0\) pour \(n=1\in\mathbb{N}\) :
[] \(S\) est vraie.
2. a) 💡 La négation de « \(A\Rightarrow B\) » est « \(A\) et \(\neg B\) ».
[] \(\neg T\) : \((\exists x\in\mathbb{R})\ x<1\ \wedge\ x^2\geq1\)
b) Pour \(x=-2\) : \(-2<1\) et \((-2)^2=4\geq1\). Donc \(\neg T\) est vraie et
[] \(T\) est fausse.
3. Les deux membres sont positifs, donc on peut comparer leurs carrés :
\(\sqrt{x^4+3x^2+1}\geq x^2+1\iff x^4+3x^2+1\geq(x^2+1)^2\iff x^4+3x^2+1\geq x^4+2x^2+1\iff x^2\geq0\)
[] Cette dernière inégalité est vraie, donc l'inégalité de départ l'est pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
4. Contraposée : \(\dfrac{x^2+2}{x}=\dfrac{y^2+2}{y}\Rightarrow(x=y\) ou \(xy=2)\).
\(y(x^2+2)=x(y^2+2)\iff x^2y-xy^2+2y-2x=0\iff xy(x-y)-2(x-y)=0\iff(x-y)(xy-2)=0\).
[] Donc \(x=y\) ou \(xy=2\) : l'implication est démontrée par contraposée.
5. a) Initialisation : \(n=0\) : \(1=\dfrac{1}{10}(11-1)\) : vrai. Hérédité : si la formule est vraie au rang \(n\) :
\(1+\cdots+11^n+11^{n+1}=\dfrac{11^{n+1}-1}{10}+11^{n+1}=\dfrac{11^{n+1}-1+10\times11^{n+1}}{10}=\dfrac{11^{n+2}-1}{10}\)
b) Initialisation : \(n=0\) : \(3^2-2^2=5\) : divisible par \(5\). Hérédité : supposons \(3^{3n+2}-2^{n+2}=5k\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
\(3^{3n+5}-2^{n+3}=27\times3^{3n+2}-2\times2^{n+2}=27(5k+2^{n+2})-2\times2^{n+2}=5(27k+5\times2^{n+2})\)
[] Les deux propositions sont vraies pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
6. Supposons qu'il existe \(x\in\mathbb{R}^+\) tel que \(\sqrt{x}=\dfrac{x+2}{\sqrt{x+4}}\). Alors \(\sqrt{x}\sqrt{x+4}=x+2\), et en élevant au carré :
\(x(x+4)=(x+2)^2\iff x^2+4x=x^2+4x+4\iff0=4\) : absurde.
[!] Donc \(\forall x\in\mathbb{R}^+\ :\ \sqrt{x}\neq\dfrac{x+2}{\sqrt{x+4}}\).
1. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) est vraie :
[] \(P\) est vraie (même si \(4\) n'est pas premier).
\(2{,}3\notin\mathbb{N}\) est vraie, mais \(1-\sqrt{2}<0\) donc \(|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1\neq1-\sqrt{2}\) :
[] \(Q\) est fausse.
Pour \(x=\dfrac{1}{2}\) : \(x^2=\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2}\) (contre-exemple) :
[] \(R\) est fausse.
\(n^2-2n+1=(n-1)^2=0\) pour \(n=1\in\mathbb{N}\) :
[] \(S\) est vraie.
2. a) 💡 La négation de « \(A\Rightarrow B\) » est « \(A\) et \(\neg B\) ».
[] \(\neg T\) : \((\exists x\in\mathbb{R})\ x<1\ \wedge\ x^2\geq1\)
b) Pour \(x=-2\) : \(-2<1\) et \((-2)^2=4\geq1\). Donc \(\neg T\) est vraie et
[] \(T\) est fausse.
3. Les deux membres sont positifs, donc on peut comparer leurs carrés :
\(\sqrt{x^4+3x^2+1}\geq x^2+1\iff x^4+3x^2+1\geq(x^2+1)^2\iff x^4+3x^2+1\geq x^4+2x^2+1\iff x^2\geq0\)
[] Cette dernière inégalité est vraie, donc l'inégalité de départ l'est pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
4. Contraposée : \(\dfrac{x^2+2}{x}=\dfrac{y^2+2}{y}\Rightarrow(x=y\) ou \(xy=2)\).
\(y(x^2+2)=x(y^2+2)\iff x^2y-xy^2+2y-2x=0\iff xy(x-y)-2(x-y)=0\iff(x-y)(xy-2)=0\).
[] Donc \(x=y\) ou \(xy=2\) : l'implication est démontrée par contraposée.
5. a) Initialisation : \(n=0\) : \(1=\dfrac{1}{10}(11-1)\) : vrai. Hérédité : si la formule est vraie au rang \(n\) :
\(1+\cdots+11^n+11^{n+1}=\dfrac{11^{n+1}-1}{10}+11^{n+1}=\dfrac{11^{n+1}-1+10\times11^{n+1}}{10}=\dfrac{11^{n+2}-1}{10}\)
b) Initialisation : \(n=0\) : \(3^2-2^2=5\) : divisible par \(5\). Hérédité : supposons \(3^{3n+2}-2^{n+2}=5k\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
\(3^{3n+5}-2^{n+3}=27\times3^{3n+2}-2\times2^{n+2}=27(5k+2^{n+2})-2\times2^{n+2}=5(27k+5\times2^{n+2})\)
[] Les deux propositions sont vraies pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
6. Supposons qu'il existe \(x\in\mathbb{R}^+\) tel que \(\sqrt{x}=\dfrac{x+2}{\sqrt{x+4}}\). Alors \(\sqrt{x}\sqrt{x+4}=x+2\), et en élevant au carré :
\(x(x+4)=(x+2)^2\iff x^2+4x=x^2+4x+4\iff0=4\) : absurde.
[!] Donc \(\forall x\in\mathbb{R}^+\ :\ \sqrt{x}\neq\dfrac{x+2}{\sqrt{x+4}}\).
Exercice 2 (3.5 pts)
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{-2x+4}{x^2-x+2}\).
1. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2-x+2>0\), et en déduire \(D_f\) le domaine de définition de \(f\).
2. Montrer que \(f\) est majorée par \(2\) sur \(\mathbb{R}\).
3. a) Montrer que \(f\) est minorée par \(-1\) sur \(\mathbb{R}\).
b) Est-ce que \(-1\) est une valeur minimale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ?
1. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2-x+2>0\), et en déduire \(D_f\) le domaine de définition de \(f\).
2. Montrer que \(f\) est majorée par \(2\) sur \(\mathbb{R}\).
3. a) Montrer que \(f\) est minorée par \(-1\) sur \(\mathbb{R}\).
b) Est-ce que \(-1\) est une valeur minimale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ?
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. 💡 Méthode : pour montrer qu’un trinôme est toujours positif, on l’écrit sous forme canonique.
\(x^2-x+2=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+2\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\)
Somme d’un carré (\(\geq0\)) et de \(\dfrac{7}{4}>0\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2-x+2>0\).
Donc le dénominateur ne s’annule jamais : \(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-x+2\neq0\}\) est égal à \(\mathbb{R}\).
[] \(D_f=\mathbb{R}\)
2. 💡 Méthode : pour montrer que \(f(x)\leq M\) (ou \(f(x)\geq m\)), on étudie le signe de la différence \(M-f(x)\) (ou \(f(x)-m\)) en réduisant au même dénominateur.
\(2-f(x)=\dfrac{2(x^2-x+2)}{x^2-x+2}-\dfrac{-2x+4}{x^2-x+2}\)
\(=\dfrac{2x^2-2x+4+2x-4}{x^2-x+2}\)
\(=\dfrac{2x^2}{x^2-x+2}\)
Numérateur \(2x^2\geq0\), dénominateur \(>0\) : \(2-f(x)\geq0\), donc \(f(x)\leq2\).
[] \(f\) est majorée par \(2\) (et \(f(0)=2\) : c’est même sa valeur maximale).
3. a) On étudie le signe de \(f(x)-(-1)=f(x)+1\) :
\(f(x)+1=\dfrac{-2x+4}{x^2-x+2}+\dfrac{x^2-x+2}{x^2-x+2}\)
\(=\dfrac{x^2-3x+6}{x^2-x+2}\)
Le numérateur sous forme canonique :
\(x^2-3x+6=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}+6\)
\(=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}>0\)
Donc \(f(x)+1>0\), c’est-à-dire \(f(x)>-1\).
[] \(f\) est minorée par \(-1\).
b) 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
[!] Non : l’inégalité \(f(x)>-1\) est stricte, la valeur \(-1\) n’est jamais atteinte ; ce n’est donc pas une valeur minimale.
\(x^2-x+2=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+2\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\)
Somme d’un carré (\(\geq0\)) et de \(\dfrac{7}{4}>0\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2-x+2>0\).
Donc le dénominateur ne s’annule jamais : \(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-x+2\neq0\}\) est égal à \(\mathbb{R}\).
[] \(D_f=\mathbb{R}\)
2. 💡 Méthode : pour montrer que \(f(x)\leq M\) (ou \(f(x)\geq m\)), on étudie le signe de la différence \(M-f(x)\) (ou \(f(x)-m\)) en réduisant au même dénominateur.
\(2-f(x)=\dfrac{2(x^2-x+2)}{x^2-x+2}-\dfrac{-2x+4}{x^2-x+2}\)
\(=\dfrac{2x^2-2x+4+2x-4}{x^2-x+2}\)
\(=\dfrac{2x^2}{x^2-x+2}\)
Numérateur \(2x^2\geq0\), dénominateur \(>0\) : \(2-f(x)\geq0\), donc \(f(x)\leq2\).
[] \(f\) est majorée par \(2\) (et \(f(0)=2\) : c’est même sa valeur maximale).
3. a) On étudie le signe de \(f(x)-(-1)=f(x)+1\) :
\(f(x)+1=\dfrac{-2x+4}{x^2-x+2}+\dfrac{x^2-x+2}{x^2-x+2}\)
\(=\dfrac{x^2-3x+6}{x^2-x+2}\)
Le numérateur sous forme canonique :
\(x^2-3x+6=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}+6\)
\(=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}>0\)
Donc \(f(x)+1>0\), c’est-à-dire \(f(x)>-1\).
[] \(f\) est minorée par \(-1\).
b) 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
[!] Non : l’inégalité \(f(x)>-1\) est stricte, la valeur \(-1\) n’est jamais atteinte ; ce n’est donc pas une valeur minimale.
Exercice 3 (6.5 pts)
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par : \(f(x)=\dfrac{1}{2}x^3\) et \(g(x)=\sqrt{x+3}\).
1. a) Déterminer \(D_f\) et le tableau de variation de \(f\).
b) Déterminer \(D_g\) et le tableau de variation de \(g\).
c) Tracer \(C_f\) et \(C_g\) leurs courbes respectives dans le même repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
2. On considère l'équation \(E\) : \(x^3-2\sqrt{x+3}=0\).
a) Montrer que \(E\iff f(x)=g(x)\), et déduire graphiquement que \(E\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \([-3;+\infty[\).
b) Montrer que \(1<\alpha<2\).
c) Résoudre graphiquement dans \([-3;+\infty[\) l'inéquation \(F\) : \(x^3-2\sqrt{x+3}>0\).
1. a) Déterminer \(D_f\) et le tableau de variation de \(f\).
b) Déterminer \(D_g\) et le tableau de variation de \(g\).
c) Tracer \(C_f\) et \(C_g\) leurs courbes respectives dans le même repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
2. On considère l'équation \(E\) : \(x^3-2\sqrt{x+3}=0\).
a) Montrer que \(E\iff f(x)=g(x)\), et déduire graphiquement que \(E\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \([-3;+\infty[\).
b) Montrer que \(1<\alpha<2\).
c) Résoudre graphiquement dans \([-3;+\infty[\) l'inéquation \(F\) : \(x^3-2\sqrt{x+3}>0\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(f\) est une fonction polynôme : \(D_f=\mathbb{R}\).
💡 Méthode : la fonction cube \(x\mapsto x^3\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) ; multiplier par \(\dfrac{1}{2}>0\) conserve le sens de variation.
Si \(a<b\), alors \(a^3<b^3\), donc \(\dfrac{1}{2}a^3<\dfrac{1}{2}b^3\) : \(f(a)<f(b)\).
b) 💡 Méthode : \(\sqrt{A(x)}\) n’existe que si \(A(x)\geq0\) (on ne prend pas la racine d’un nombre négatif).
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+3\geq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff x+3\geq0\)
\(\iff x\geq-3\)
[] \(D_g=[-3;+\infty[\)
\(x\mapsto x+3\) est croissante et positive sur \(D_g\), et la racine carrée est croissante : \(g\) est croissante.
c) 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(f(x)\) | \(-4\) | \(-\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(4\) |
| \(g(x)\) | \(1\) | \(\sqrt{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(2\) | \(\sqrt{5}\) |
2. a) On transforme l’équation par équivalences :
\(x^3-2\sqrt{x+3}=0\iff x^3=2\sqrt{x+3}\)
\(\iff\dfrac{1}{2}x^3=\sqrt{x+3}\)
\(\iff f(x)=g(x)\)
💡 Les solutions de \(f(x)=g(x)\) sont les abscisses des points d’intersection de \(C_f\) et \(C_g\).
[] Les deux courbes se coupent en un seul point : \(E\) admet une solution unique \(\alpha\).
b) On compare \(f\) et \(g\) en \(1\) et en \(2\) :
\(f(1)=\dfrac{1}{2}<g(1)=2\) ; \(f(2)=4>g(2)=\sqrt{5}\approx2{,}24\)
[] \(C_f\) est sous \(C_g\) en \(1\) et au-dessus en \(2\) : elles se coupent entre les deux, donc \(1<\alpha<2\).
c) \(F\iff f(x)>g(x)\) : on cherche où \(C_f\) est strictement au-dessus de \(C_g\) : c’est à droite de \(\alpha\).
[!] \(S=]\alpha;+\infty[\)
💡 Méthode : la fonction cube \(x\mapsto x^3\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) ; multiplier par \(\dfrac{1}{2}>0\) conserve le sens de variation.
Si \(a<b\), alors \(a^3<b^3\), donc \(\dfrac{1}{2}a^3<\dfrac{1}{2}b^3\) : \(f(a)<f(b)\).
b) 💡 Méthode : \(\sqrt{A(x)}\) n’existe que si \(A(x)\geq0\) (on ne prend pas la racine d’un nombre négatif).
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+3\geq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff x+3\geq0\)
\(\iff x\geq-3\)
[] \(D_g=[-3;+\infty[\)
\(x\mapsto x+3\) est croissante et positive sur \(D_g\), et la racine carrée est croissante : \(g\) est croissante.
c) 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(f(x)\) | \(-4\) | \(-\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(4\) |
| \(g(x)\) | \(1\) | \(\sqrt{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(2\) | \(\sqrt{5}\) |
2. a) On transforme l’équation par équivalences :
\(x^3-2\sqrt{x+3}=0\iff x^3=2\sqrt{x+3}\)
\(\iff\dfrac{1}{2}x^3=\sqrt{x+3}\)
\(\iff f(x)=g(x)\)
💡 Les solutions de \(f(x)=g(x)\) sont les abscisses des points d’intersection de \(C_f\) et \(C_g\).
[] Les deux courbes se coupent en un seul point : \(E\) admet une solution unique \(\alpha\).
b) On compare \(f\) et \(g\) en \(1\) et en \(2\) :
\(f(1)=\dfrac{1}{2}<g(1)=2\) ; \(f(2)=4>g(2)=\sqrt{5}\approx2{,}24\)
[] \(C_f\) est sous \(C_g\) en \(1\) et au-dessus en \(2\) : elles se coupent entre les deux, donc \(1<\alpha<2\).
c) \(F\iff f(x)>g(x)\) : on cherche où \(C_f\) est strictement au-dessus de \(C_g\) : c’est à droite de \(\alpha\).
[!] \(S=]\alpha;+\infty[\)