Exercice 1 (3 pts)
Déterminer le domaine de définition et étudier la parité de la fonction \(f\) dans chacun des cas suivants :
1. \(f(x)=\dfrac{3x^2+5}{|x|-3}\)
2. \(f(x)=\dfrac{3x|x|+x^3}{\sqrt{x^2+9}-5}\)
3. \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x^2+5}\)
1. \(f(x)=\dfrac{3x^2+5}{|x|-3}\)
2. \(f(x)=\dfrac{3x|x|+x^3}{\sqrt{x^2+9}-5}\)
3. \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x^2+5}\)
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : pour étudier la parité de \(f\), on vérifie deux conditions :
(1) \(D_{f}\) est symétrique par rapport à \(0\) : pour tout \(x\in D_{f}\), on a aussi \(-x\in D_{f}\) ;
(2) pour tout \(x\in D_{f}\) : \(f(-x)=f(x)\) (\(f\) paire) ou \(f(-x)=-f(x)\) (\(f\) impaire).
1. Ensemble de définition : quotient, donc dénominateur non nul.
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ |x|-3\neq0\}\)
\(x\in D_f\iff|x|-3\neq0\)
\(\iff|x|\neq3\)
\(\iff x\neq3\) et \(x\neq-3\)
[] \(D_f=\mathbb{R}-\{-3;3\}\)
Parité de \(f\) :
Condition (1) : si \(x\neq3\) et \(x\neq-3\), alors \(-x\neq-3\) et \(-x\neq3\) : \(-x\in D_f\). ✔
Condition (2) : soit \(x\in D_{f}\) ; on remplace \(x\) par \(-x\) :
\(f(-x)=\dfrac{3(-x)^2+5}{|-x|-3}\)
\(=\dfrac{3x^2+5}{|x|-3}\)
\(=f(x)\)
[] Les deux conditions sont vérifiées : \(f\) est paire ; sa courbe est symétrique par rapport à l’axe \((Oy)\).
2. Ensemble de définition : la racine \(\sqrt{x^2+9}\) existe toujours (\(x^2+9>0\)) ; il faut seulement que le dénominateur soit non nul.
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ \sqrt{x^2+9}-5\neq0\}\)
\(x\in D_f\iff\sqrt{x^2+9}\neq5\)
\(\iff x^2+9\neq25\)
\(\iff x^2\neq16\)
\(\iff x\neq4\) et \(x\neq-4\)
(on peut élever au carré car les deux membres sont positifs)
[] \(D_f=\mathbb{R}-\{-4;4\}\)
Parité de \(f\) :
Condition (1) : si \(x\neq\pm4\), alors \(-x\neq\pm4\) : \(-x\in D_f\). ✔
Condition (2) : soit \(x\in D_{f}\) ; on remplace \(x\) par \(-x\) :
\(f(-x)=\dfrac{3(-x)|-x|+(-x)^3}{\sqrt{(-x)^2+9}-5}\)
\(=\dfrac{-3x|x|-x^3}{\sqrt{x^2+9}-5}\)
\(=-\dfrac{3x|x|+x^3}{\sqrt{x^2+9}-5}\)
\(=-f(x)\)
[] Les deux conditions sont vérifiées : \(f\) est impaire ; sa courbe est symétrique par rapport à l’origine \(O\).
3. Ensemble de définition : le dénominateur \(x^2+5>0\) ne s’annule jamais ; il faut que la quantité sous la racine soit positive.
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-4\geq0\}\)
\(x\in D_f\iff x^2-4\geq0\)
\(\iff x^2\geq4\)
\(\iff|x|\geq2\)
\(\iff x\leq-2\) ou \(x\geq2\)
[] \(D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[\)
Parité de \(f\) :
Condition (1) : si \(x\leq-2\) alors \(-x\geq2\) ; si \(x\geq2\) alors \(-x\leq-2\) : dans les deux cas \(-x\in D_f\). ✔
Condition (2) : soit \(x\in D_{f}\) ; on remplace \(x\) par \(-x\) :
\(f(-x)=\dfrac{\sqrt{(-x)^2-4}}{(-x)^2+5}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x^2+5}\)
\(=f(x)\)
[] Les deux conditions sont vérifiées : \(f\) est paire ; sa courbe est symétrique par rapport à l’axe \((Oy)\).
(1) \(D_{f}\) est symétrique par rapport à \(0\) : pour tout \(x\in D_{f}\), on a aussi \(-x\in D_{f}\) ;
(2) pour tout \(x\in D_{f}\) : \(f(-x)=f(x)\) (\(f\) paire) ou \(f(-x)=-f(x)\) (\(f\) impaire).
1. Ensemble de définition : quotient, donc dénominateur non nul.
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ |x|-3\neq0\}\)
\(x\in D_f\iff|x|-3\neq0\)
\(\iff|x|\neq3\)
\(\iff x\neq3\) et \(x\neq-3\)
[] \(D_f=\mathbb{R}-\{-3;3\}\)
Parité de \(f\) :
Condition (1) : si \(x\neq3\) et \(x\neq-3\), alors \(-x\neq-3\) et \(-x\neq3\) : \(-x\in D_f\). ✔
Condition (2) : soit \(x\in D_{f}\) ; on remplace \(x\) par \(-x\) :
\(f(-x)=\dfrac{3(-x)^2+5}{|-x|-3}\)
\(=\dfrac{3x^2+5}{|x|-3}\)
\(=f(x)\)
[] Les deux conditions sont vérifiées : \(f\) est paire ; sa courbe est symétrique par rapport à l’axe \((Oy)\).
2. Ensemble de définition : la racine \(\sqrt{x^2+9}\) existe toujours (\(x^2+9>0\)) ; il faut seulement que le dénominateur soit non nul.
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ \sqrt{x^2+9}-5\neq0\}\)
\(x\in D_f\iff\sqrt{x^2+9}\neq5\)
\(\iff x^2+9\neq25\)
\(\iff x^2\neq16\)
\(\iff x\neq4\) et \(x\neq-4\)
(on peut élever au carré car les deux membres sont positifs)
[] \(D_f=\mathbb{R}-\{-4;4\}\)
Parité de \(f\) :
Condition (1) : si \(x\neq\pm4\), alors \(-x\neq\pm4\) : \(-x\in D_f\). ✔
Condition (2) : soit \(x\in D_{f}\) ; on remplace \(x\) par \(-x\) :
\(f(-x)=\dfrac{3(-x)|-x|+(-x)^3}{\sqrt{(-x)^2+9}-5}\)
\(=\dfrac{-3x|x|-x^3}{\sqrt{x^2+9}-5}\)
\(=-\dfrac{3x|x|+x^3}{\sqrt{x^2+9}-5}\)
\(=-f(x)\)
[] Les deux conditions sont vérifiées : \(f\) est impaire ; sa courbe est symétrique par rapport à l’origine \(O\).
3. Ensemble de définition : le dénominateur \(x^2+5>0\) ne s’annule jamais ; il faut que la quantité sous la racine soit positive.
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-4\geq0\}\)
\(x\in D_f\iff x^2-4\geq0\)
\(\iff x^2\geq4\)
\(\iff|x|\geq2\)
\(\iff x\leq-2\) ou \(x\geq2\)
[] \(D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[\)
Parité de \(f\) :
Condition (1) : si \(x\leq-2\) alors \(-x\geq2\) ; si \(x\geq2\) alors \(-x\leq-2\) : dans les deux cas \(-x\in D_f\). ✔
Condition (2) : soit \(x\in D_{f}\) ; on remplace \(x\) par \(-x\) :
\(f(-x)=\dfrac{\sqrt{(-x)^2-4}}{(-x)^2+5}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x^2+5}\)
\(=f(x)\)
[] Les deux conditions sont vérifiées : \(f\) est paire ; sa courbe est symétrique par rapport à l’axe \((Oy)\).
Exercice 2 (5 pts)
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies par : \(f(x)=x^2-6x\) et \(g(x)=\dfrac{-2x}{x-3}\).
1. Étudier les variations de \(f\).
2. Étudier les variations de \(g\).
3. Calculer \(f(0)\), \(f(5)\), \(f(4)\), \(g(0)\), \(g(5)\), \(g(4)\) et \(f(6)\).
4. Tracer dans un même repère la courbe de la fonction \(f\) et la courbe de la fonction \(g\).
5. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x)\geq g(x)\).
1. Étudier les variations de \(f\).
2. Étudier les variations de \(g\).
3. Calculer \(f(0)\), \(f(5)\), \(f(4)\), \(g(0)\), \(g(5)\), \(g(4)\) et \(f(6)\).
4. Tracer dans un même repère la courbe de la fonction \(f\) et la courbe de la fonction \(g\).
5. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x)\geq g(x)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. 💡 Méthode : pour étudier les variations d’un trinôme \(ax^2+bx+c\), on l’écrit sous la forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) :
si \(a>0\) : la fonction est décroissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis croissante sur \([\alpha;+\infty[\) (minimum \(\beta\) en \(\alpha\)) ;
si \(a<0\) : elle est croissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis décroissante sur \([\alpha;+\infty[\) (maximum \(\beta\) en \(\alpha\)).
Étape 1 : on complète le carré pour obtenir la forme canonique :
\(f(x)=x^2-6x\)
\(=(x^2-6x+9)-9\)
\(=(x-3)^2-9\)
Étape 2 : on identifie \(a=1\), \(\alpha=3\) et \(\beta=-9\) ; comme \(a>0\) :
[] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;3]\) et croissante sur \([3;+\infty[\) ; minimum \(f(3)=-9\).
2. 💡 Méthode : \(g(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x-3\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff x-3\neq0\)
\(\iff x\neq3\)
[] \(D_g=\mathbb{R}-\{3\}\)
💡 Méthode : une fonction homographique \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\neq0\)) est définie sur \(\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\) ; son sens de variation dépend du signe de \(ad-bc\) :
si \(ad-bc>0\) : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si \(ad-bc<0\) : elle est décroissante sur chacun d’eux.
Étape 1 : on identifie les coefficients : \(a=-2\), \(b=0\), \(c=1\), \(d=-3\).
Étape 2 : on calcule \(ad-bc\) :
\(ad-bc=(-2)\times(-3)-0\times1\)
\(=6\)
Étape 3 : \(ad-bc>0\), donc \(g\) est croissante sur \(]-\infty;3[\) et sur \(]3;+\infty[\).
3. On remplace \(x\) par chaque valeur :
\(f(0)=0\) ; \(f(4)=16-24=-8\) ; \(f(5)=25-30=-5\) ; \(f(6)=36-36=0\)
\(g(0)=0\) ; \(g(4)=\dfrac{-8}{1}=-8\) ; \(g(5)=\dfrac{-10}{2}=-5\)
[] Les courbes ont en commun les points \(O(0;0)\), \(B(4;-8)\) et \(C(5;-5)\).
4. 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
\((C_f)\) : parabole de sommet \(S(3;-9)\) ; \((C_g)\) : hyperbole de centre \((3;-2)\) car \(g(x)=-2-\dfrac{6}{x-3}\).
5. 💡 Méthode (position relative) : on étudie le signe de \(f(x)-g(x)\) : si \(f(x)-g(x)\geq0\), \((C_f)\) est au-dessus de \((C_g)\) ; si \(f(x)-g(x)\leq0\), elle est en dessous ; si \(f(x)=g(x)\), les courbes se coupent.
Graphiquement : \((C_f)\) est au-dessus de \((C_g)\) (ou la coupe) pour \(x\leq0\), pour \(3<x\leq4\) et pour \(x\geq5\).
Vérification par le calcul : on réduit au même dénominateur puis on factorise :
\(f(x)-g(x)=x^2-6x+\dfrac{2x}{x-3}\)
\(=\dfrac{(x^2-6x)(x-3)+2x}{x-3}\)
\(=\dfrac{x\left[(x-6)(x-3)+2\right]}{x-3}\)
\(=\dfrac{x(x^2-9x+20)}{x-3}\)
\(=\dfrac{x(x-4)(x-5)}{x-3}\)
[!] \(S=]-\infty;0]\cup]3;4]\cup[5;+\infty[\)
si \(a>0\) : la fonction est décroissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis croissante sur \([\alpha;+\infty[\) (minimum \(\beta\) en \(\alpha\)) ;
si \(a<0\) : elle est croissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis décroissante sur \([\alpha;+\infty[\) (maximum \(\beta\) en \(\alpha\)).
Étape 1 : on complète le carré pour obtenir la forme canonique :
\(f(x)=x^2-6x\)
\(=(x^2-6x+9)-9\)
\(=(x-3)^2-9\)
Étape 2 : on identifie \(a=1\), \(\alpha=3\) et \(\beta=-9\) ; comme \(a>0\) :
[] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;3]\) et croissante sur \([3;+\infty[\) ; minimum \(f(3)=-9\).
2. 💡 Méthode : \(g(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x-3\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff x-3\neq0\)
\(\iff x\neq3\)
[] \(D_g=\mathbb{R}-\{3\}\)
💡 Méthode : une fonction homographique \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\neq0\)) est définie sur \(\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\) ; son sens de variation dépend du signe de \(ad-bc\) :
si \(ad-bc>0\) : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si \(ad-bc<0\) : elle est décroissante sur chacun d’eux.
Étape 1 : on identifie les coefficients : \(a=-2\), \(b=0\), \(c=1\), \(d=-3\).
Étape 2 : on calcule \(ad-bc\) :
\(ad-bc=(-2)\times(-3)-0\times1\)
\(=6\)
Étape 3 : \(ad-bc>0\), donc \(g\) est croissante sur \(]-\infty;3[\) et sur \(]3;+\infty[\).
3. On remplace \(x\) par chaque valeur :
\(f(0)=0\) ; \(f(4)=16-24=-8\) ; \(f(5)=25-30=-5\) ; \(f(6)=36-36=0\)
\(g(0)=0\) ; \(g(4)=\dfrac{-8}{1}=-8\) ; \(g(5)=\dfrac{-10}{2}=-5\)
[] Les courbes ont en commun les points \(O(0;0)\), \(B(4;-8)\) et \(C(5;-5)\).
4. 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
\((C_f)\) : parabole de sommet \(S(3;-9)\) ; \((C_g)\) : hyperbole de centre \((3;-2)\) car \(g(x)=-2-\dfrac{6}{x-3}\).
5. 💡 Méthode (position relative) : on étudie le signe de \(f(x)-g(x)\) : si \(f(x)-g(x)\geq0\), \((C_f)\) est au-dessus de \((C_g)\) ; si \(f(x)-g(x)\leq0\), elle est en dessous ; si \(f(x)=g(x)\), les courbes se coupent.
Graphiquement : \((C_f)\) est au-dessus de \((C_g)\) (ou la coupe) pour \(x\leq0\), pour \(3<x\leq4\) et pour \(x\geq5\).
Vérification par le calcul : on réduit au même dénominateur puis on factorise :
\(f(x)-g(x)=x^2-6x+\dfrac{2x}{x-3}\)
\(=\dfrac{(x^2-6x)(x-3)+2x}{x-3}\)
\(=\dfrac{x\left[(x-6)(x-3)+2\right]}{x-3}\)
\(=\dfrac{x(x^2-9x+20)}{x-3}\)
\(=\dfrac{x(x-4)(x-5)}{x-3}\)
[!] \(S=]-\infty;0]\cup]3;4]\cup[5;+\infty[\)
Exercice 3 (4 pts)
Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\dfrac{x^2-6x+4}{x^2-6x+10}\).
1. Déterminer \(D_f\) le domaine de définition de la fonction \(f\).
2. Montrer que la fonction \(f\) est bornée par \(-5\) et \(1\).
3. a) Est-ce que \(-5\) est une valeur minimale pour la fonction \(f\) ?
b) Est-ce que \(1\) est une valeur maximale pour la fonction \(f\) ?
1. Déterminer \(D_f\) le domaine de définition de la fonction \(f\).
2. Montrer que la fonction \(f\) est bornée par \(-5\) et \(1\).
3. a) Est-ce que \(-5\) est une valeur minimale pour la fonction \(f\) ?
b) Est-ce que \(1\) est une valeur maximale pour la fonction \(f\) ?
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. 💡 Méthode : \(f(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-6x+10\neq0\}\)
\(x\in D_f\iff x^2-6x+10\neq0\)
Forme canonique du dénominateur :
\(x^2-6x+10=(x-3)^2-9+10\)
\(=(x-3)^2+1\geq1>0\)
Il ne s’annule jamais : la condition est vraie pour tout réel.
[] \(D_f=\mathbb{R}\)
2. 💡 Méthode : on fait apparaître le dénominateur au numérateur pour écrire \(f(x)=1-\dfrac{6}{(x-3)^2+1}\), puis on encadre en partant de \((x-3)^2\geq0\).
\(f(x)=\dfrac{(x^2-6x+10)-6}{x^2-6x+10}\)
\(=1-\dfrac{6}{x^2-6x+10}\)
\(=1-\dfrac{6}{(x-3)^2+1}\)
Encadrement, étape par étape :
\((x-3)^2\geq0\)
\(\Rightarrow(x-3)^2+1\geq1\)
\(\Rightarrow0<\dfrac{1}{(x-3)^2+1}\leq1\)
\(\Rightarrow0<\dfrac{6}{(x-3)^2+1}\leq6\)
\(\Rightarrow-6\leq-\dfrac{6}{(x-3)^2+1}<0\)
\(\Rightarrow-5\leq f(x)<1\)
(on prend l’inverse de nombres positifs : l’ordre s’inverse ; on multiplie par \(-1\) : l’ordre s’inverse.)
[] \((\forall x\in\mathbb{R})\ -5\leq f(x)<1\) : \(f\) est bornée par \(-5\) et \(1\).
3. 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
a) \(f(x)\geq-5\) pour tout \(x\), et \(f(3)=1-\dfrac{6}{0+1}=-5\) : la valeur \(-5\) est atteinte.
[] Oui : \(-5=f(3)\) est la valeur minimale de \(f\).
b) Pour tout \(x\), \(\dfrac{6}{(x-3)^2+1}>0\), donc \(f(x)<1\) (inégalité stricte) : la valeur \(1\) n’est jamais atteinte.
[!] Non : \(1\) est un majorant de \(f\), mais ce n’est pas une valeur maximale.
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-6x+10\neq0\}\)
\(x\in D_f\iff x^2-6x+10\neq0\)
Forme canonique du dénominateur :
\(x^2-6x+10=(x-3)^2-9+10\)
\(=(x-3)^2+1\geq1>0\)
Il ne s’annule jamais : la condition est vraie pour tout réel.
[] \(D_f=\mathbb{R}\)
2. 💡 Méthode : on fait apparaître le dénominateur au numérateur pour écrire \(f(x)=1-\dfrac{6}{(x-3)^2+1}\), puis on encadre en partant de \((x-3)^2\geq0\).
\(f(x)=\dfrac{(x^2-6x+10)-6}{x^2-6x+10}\)
\(=1-\dfrac{6}{x^2-6x+10}\)
\(=1-\dfrac{6}{(x-3)^2+1}\)
Encadrement, étape par étape :
\((x-3)^2\geq0\)
\(\Rightarrow(x-3)^2+1\geq1\)
\(\Rightarrow0<\dfrac{1}{(x-3)^2+1}\leq1\)
\(\Rightarrow0<\dfrac{6}{(x-3)^2+1}\leq6\)
\(\Rightarrow-6\leq-\dfrac{6}{(x-3)^2+1}<0\)
\(\Rightarrow-5\leq f(x)<1\)
(on prend l’inverse de nombres positifs : l’ordre s’inverse ; on multiplie par \(-1\) : l’ordre s’inverse.)
[] \((\forall x\in\mathbb{R})\ -5\leq f(x)<1\) : \(f\) est bornée par \(-5\) et \(1\).
3. 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
a) \(f(x)\geq-5\) pour tout \(x\), et \(f(3)=1-\dfrac{6}{0+1}=-5\) : la valeur \(-5\) est atteinte.
[] Oui : \(-5=f(3)\) est la valeur minimale de \(f\).
b) Pour tout \(x\), \(\dfrac{6}{(x-3)^2+1}>0\), donc \(f(x)<1\) (inégalité stricte) : la valeur \(1\) n’est jamais atteinte.
[!] Non : \(1\) est un majorant de \(f\), mais ce n’est pas une valeur maximale.
Exercice 4 (4 pts)
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies par : \(f(x)=\sqrt{x-1}\) et \(g(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}\).
1. a) Déterminer \(D_f\) et \(D_g\) les domaines de définition des fonctions \(f\) et \(g\) respectivement.
b) En déduire \(D_{f\circ g}\).
2. Étudier les variations des deux fonctions \(f\) et \(g\).
3. En déduire les variations de la fonction composée \(f\circ g\) sur l'intervalle \(]-\infty,-3[\) et sur \([4,+\infty[\).
4. Calculer \(f\circ g(x)\) pour tout \(x\) de \(D_{f\circ g}\).
1. a) Déterminer \(D_f\) et \(D_g\) les domaines de définition des fonctions \(f\) et \(g\) respectivement.
b) En déduire \(D_{f\circ g}\).
2. Étudier les variations des deux fonctions \(f\) et \(g\).
3. En déduire les variations de la fonction composée \(f\circ g\) sur l'intervalle \(]-\infty,-3[\) et sur \([4,+\infty[\).
4. Calculer \(f\circ g(x)\) pour tout \(x\) de \(D_{f\circ g}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. a) 💡 Méthode : \(\sqrt{A(x)}\) n’existe que si \(A(x)\geq0\) (on ne prend pas la racine d’un nombre négatif).
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x-1\geq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_f\iff x-1\geq0\)
\(\iff x\geq1\)
[] \(D_f=[1;+\infty[\)
💡 Méthode : \(g(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+3\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff x+3\neq0\)
\(\iff x\neq-3\)
[] \(D_g=\mathbb{R}-\{-3\}\)
b) 💡 Méthode : \(x\in D_{f\circ g}\iff x\in D_g\) et \(g(x)\in D_f\), c’est-à-dire \(x\neq-3\) et \(g(x)\geq1\).
\(g(x)\geq1\iff\dfrac{2x-1}{x+3}-1\geq0\)
\(\iff\dfrac{2x-1-(x+3)}{x+3}\geq0\)
\(\iff\dfrac{x-4}{x+3}\geq0\)
[] \(D_{f\circ g}=]-\infty;-3[\cup[4;+\infty[\)
2. 💡 Méthode : si \(u\) est croissante sur \(I\) et \(u(x)\geq0\), alors \(x\mapsto\sqrt{u(x)}\) est croissante sur \(I\) (car si \(0\leq A<B\), alors \(\sqrt{A}<\sqrt{B}\)).
\(u(x)=x-1\) est croissante et positive sur \([1;+\infty[\) :
[] \(f\) est croissante sur \([1;+\infty[\).
💡 Méthode : une fonction homographique \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\neq0\)) est définie sur \(\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\) ; son sens de variation dépend du signe de \(ad-bc\) :
si \(ad-bc>0\) : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si \(ad-bc<0\) : elle est décroissante sur chacun d’eux.
Étape 1 : on identifie les coefficients : \(a=2\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=3\).
Étape 2 : on calcule \(ad-bc\) :
\(ad-bc=2\times3-(-1)\times1\)
\(=6+1\)
\(=7\)
Étape 3 : \(ad-bc>0\), donc \(g\) est croissante sur \(]-\infty;-3[\) et sur \(]-3;+\infty[\).
3. 💡 Méthode (fonction composée) : si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle \(J\) contenant \(u(I)\) :
même sens de variation ⇒ \(v\circ u\) est croissante sur \(I\) ; sens contraires ⇒ \(v\circ u\) est décroissante sur \(I\).
Sur \(]-\infty;-3[\) : \(g\) est croissante et \(g(x)=2-\dfrac{7}{x+3}>2\) (car \(x+3<0\)), donc \(g(x)\in[1;+\infty[\) où \(f\) est croissante.
[] Même sens : \(f\circ g\) est croissante sur \(]-\infty;-3[\).
Sur \([4;+\infty[\) : \(g\) est croissante et \(g(x)\geq g(4)=1\) : \(g(x)\in[1;+\infty[\) où \(f\) est croissante.
[] Même sens : \(f\circ g\) est croissante sur \([4;+\infty[\). (L’énoncé original indiquait « \([2,+\infty[\) » : coquille, car \(f\circ g\) n’est pas définie sur \([2;4[\).)
4. Pour \(x\in D_{f\circ g}\) :
\(f\circ g(x)=f\left(g(x)\right)=\sqrt{g(x)-1}\)
\(=\sqrt{\dfrac{x-4}{x+3}}\)
\(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x-1\geq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_f\iff x-1\geq0\)
\(\iff x\geq1\)
[] \(D_f=[1;+\infty[\)
💡 Méthode : \(g(x)\) est un quotient : il n’existe que si son dénominateur est différent de zéro.
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x+3\neq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff x+3\neq0\)
\(\iff x\neq-3\)
[] \(D_g=\mathbb{R}-\{-3\}\)
b) 💡 Méthode : \(x\in D_{f\circ g}\iff x\in D_g\) et \(g(x)\in D_f\), c’est-à-dire \(x\neq-3\) et \(g(x)\geq1\).
\(g(x)\geq1\iff\dfrac{2x-1}{x+3}-1\geq0\)
\(\iff\dfrac{2x-1-(x+3)}{x+3}\geq0\)
\(\iff\dfrac{x-4}{x+3}\geq0\)
[] \(D_{f\circ g}=]-\infty;-3[\cup[4;+\infty[\)
2. 💡 Méthode : si \(u\) est croissante sur \(I\) et \(u(x)\geq0\), alors \(x\mapsto\sqrt{u(x)}\) est croissante sur \(I\) (car si \(0\leq A<B\), alors \(\sqrt{A}<\sqrt{B}\)).
\(u(x)=x-1\) est croissante et positive sur \([1;+\infty[\) :
[] \(f\) est croissante sur \([1;+\infty[\).
💡 Méthode : une fonction homographique \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\neq0\)) est définie sur \(\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}\) ; son sens de variation dépend du signe de \(ad-bc\) :
si \(ad-bc>0\) : elle est croissante sur chacun des deux intervalles ; si \(ad-bc<0\) : elle est décroissante sur chacun d’eux.
Étape 1 : on identifie les coefficients : \(a=2\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=3\).
Étape 2 : on calcule \(ad-bc\) :
\(ad-bc=2\times3-(-1)\times1\)
\(=6+1\)
\(=7\)
Étape 3 : \(ad-bc>0\), donc \(g\) est croissante sur \(]-\infty;-3[\) et sur \(]-3;+\infty[\).
3. 💡 Méthode (fonction composée) : si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle \(J\) contenant \(u(I)\) :
même sens de variation ⇒ \(v\circ u\) est croissante sur \(I\) ; sens contraires ⇒ \(v\circ u\) est décroissante sur \(I\).
Sur \(]-\infty;-3[\) : \(g\) est croissante et \(g(x)=2-\dfrac{7}{x+3}>2\) (car \(x+3<0\)), donc \(g(x)\in[1;+\infty[\) où \(f\) est croissante.
[] Même sens : \(f\circ g\) est croissante sur \(]-\infty;-3[\).
Sur \([4;+\infty[\) : \(g\) est croissante et \(g(x)\geq g(4)=1\) : \(g(x)\in[1;+\infty[\) où \(f\) est croissante.
[] Même sens : \(f\circ g\) est croissante sur \([4;+\infty[\). (L’énoncé original indiquait « \([2,+\infty[\) » : coquille, car \(f\circ g\) n’est pas définie sur \([2;4[\).)
4. Pour \(x\in D_{f\circ g}\) :
\(f\circ g(x)=f\left(g(x)\right)=\sqrt{g(x)-1}\)
\(=\sqrt{\dfrac{x-4}{x+3}}\)
Exercice 5 (4 pts)
On reprend la fonction \(f(x)=x^2-6x\) de l'exercice 2.
1. Donner la négation de la proposition \(P\) : \((\exists x\in\mathbb{R})\ f(x)<-9\), puis déterminer sa valeur de vérité.
2. En utilisant le raisonnement par contraposée, montrer que : \((\forall(a,b)\in[3;+\infty[^2)\ :\ a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\).
3. Montrer par récurrence que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ :\ 1+2+2^2+\cdots+2^n=2^{n+1}-1\).
1. Donner la négation de la proposition \(P\) : \((\exists x\in\mathbb{R})\ f(x)<-9\), puis déterminer sa valeur de vérité.
2. En utilisant le raisonnement par contraposée, montrer que : \((\forall(a,b)\in[3;+\infty[^2)\ :\ a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\).
3. Montrer par récurrence que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ :\ 1+2+2^2+\cdots+2^n=2^{n+1}-1\).
✅ Correction de l’exercice 5 — التصحيح
1. 💡 La négation de « \(\exists x\ :\ A\) » est « \(\forall x\ :\ \neg A\) » ; la négation de « \(<\) » est « \(\geq\) ».
[] \(\neg P\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)\geq-9\)
Or \(f(x)+9=x^2-6x+9=(x-3)^2\geq0\) pour tout \(x\) : \(\neg P\) est vraie.
[] Donc \(P\) est fausse.
2. Contraposée : on montre \(f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\) pour \(a,b\in[3;+\infty[\).
\(f(a)=f(b)\iff a^2-b^2-6(a-b)=0\iff(a-b)(a+b-6)=0\iff a=b\) ou \(a+b=6\).
Comme \(a\geq3\) et \(b\geq3\), \(a+b=6\) impose \(a=b=3\). Dans tous les cas, \(a=b\).
[] Donc \(a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\) sur \([3;+\infty[\).
3. Initialisation : pour \(n=0\), \(1=2^1-1\) : vrai.
Hérédité : si \(1+2+\cdots+2^n=2^{n+1}-1\), alors \(1+2+\cdots+2^n+2^{n+1}=2^{n+1}-1+2^{n+1}=2\times2^{n+1}-1=2^{n+2}-1\).
[!] Donc \((\forall n\in\mathbb{N})\ 1+2+2^2+\cdots+2^n=2^{n+1}-1\).
[] \(\neg P\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)\geq-9\)
Or \(f(x)+9=x^2-6x+9=(x-3)^2\geq0\) pour tout \(x\) : \(\neg P\) est vraie.
[] Donc \(P\) est fausse.
2. Contraposée : on montre \(f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\) pour \(a,b\in[3;+\infty[\).
\(f(a)=f(b)\iff a^2-b^2-6(a-b)=0\iff(a-b)(a+b-6)=0\iff a=b\) ou \(a+b=6\).
Comme \(a\geq3\) et \(b\geq3\), \(a+b=6\) impose \(a=b=3\). Dans tous les cas, \(a=b\).
[] Donc \(a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\) sur \([3;+\infty[\).
3. Initialisation : pour \(n=0\), \(1=2^1-1\) : vrai.
Hérédité : si \(1+2+\cdots+2^n=2^{n+1}-1\), alors \(1+2+\cdots+2^n+2^{n+1}=2^{n+1}-1+2^{n+1}=2\times2^{n+1}-1=2^{n+2}-1\).
[!] Donc \((\forall n\in\mathbb{N})\ 1+2+2^2+\cdots+2^n=2^{n+1}-1\).