Exercice 1 (8 pts)
1. Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes :
\(P\) : \(\left(\sqrt{4}+\sqrt{1}=\sqrt{4+1}\right)\) et \(\left(\pi\in\mathbb{Z}\right)\) ; \(Q\) : \(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}<\sqrt{5}\right)\) ou \(\left(\sqrt{(-2)^2}=2\right)\).
2. On considère la proposition suivante : \(R\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ ;\ (x^2=25\Rightarrow x=5)\).
a) Déterminer la négation de \(R\).
b) En déduire que \(R\) est fausse.
3. En utilisant le raisonnement par la contraposée, montrer que : \(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ \left[(y\neq x\ \wedge\ x+y\neq1)\Rightarrow\sqrt{x^2-x+1}\neq\sqrt{y^2-y+1}\right]\).
4. En utilisant le raisonnement par les équivalences successives, montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R})\ :\ \dfrac{4x}{x^2+4}\leq1\).
5. En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ :\ 5^0+5^1+5^2+\cdots+5^n=\dfrac{5^{n+1}-1}{4}\).
\(P\) : \(\left(\sqrt{4}+\sqrt{1}=\sqrt{4+1}\right)\) et \(\left(\pi\in\mathbb{Z}\right)\) ; \(Q\) : \(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}<\sqrt{5}\right)\) ou \(\left(\sqrt{(-2)^2}=2\right)\).
2. On considère la proposition suivante : \(R\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ ;\ (x^2=25\Rightarrow x=5)\).
a) Déterminer la négation de \(R\).
b) En déduire que \(R\) est fausse.
3. En utilisant le raisonnement par la contraposée, montrer que : \(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ \left[(y\neq x\ \wedge\ x+y\neq1)\Rightarrow\sqrt{x^2-x+1}\neq\sqrt{y^2-y+1}\right]\).
4. En utilisant le raisonnement par les équivalences successives, montrer que : \((\forall x\in\mathbb{R})\ :\ \dfrac{4x}{x^2+4}\leq1\).
5. En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que : \((\forall n\in\mathbb{N})\ :\ 5^0+5^1+5^2+\cdots+5^n=\dfrac{5^{n+1}-1}{4}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 « \(A\) ou \(B\) » est vraie dès qu'une des deux est vraie ; « \(A\) et \(B\) » est vraie seulement si les deux sont vraies.
1. \(\sqrt{4}+\sqrt{1}=3\) et \(\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\neq3\) : la première est fausse.
[] \(P\) est fausse.
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx3{,}15>\sqrt{5}\approx2{,}24\) : faux ; mais \(\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2\) : vrai.
[] \(Q\) est vraie.
2. a)
[] \(\neg R\) : \((\exists x\in\mathbb{R})\ ;\ x^2=25\ \wedge\ x\neq5\)
b) Pour \(x=-5\) : \((-5)^2=25\) et \(-5\neq5\) : \(\neg R\) est vraie, donc
[] \(R\) est fausse.
3. Contraposée : \(\sqrt{x^2-x+1}=\sqrt{y^2-y+1}\Rightarrow(x=y\) ou \(x+y=1)\). (Les radicandes sont positifs : \(x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\).)
\(x^2-x+1=y^2-y+1\iff(x^2-y^2)-(x-y)=0\iff(x-y)(x+y-1)=0\iff x=y\) ou \(x+y=1\).
[] L'implication est démontrée par contraposée.
4. \(x^2+4>0\), donc : \(\dfrac{4x}{x^2+4}\leq1\iff4x\leq x^2+4\iff x^2-4x+4\geq0\iff(x-2)^2\geq0\), qui est vraie.
[] Donc \((\forall x\in\mathbb{R})\ \dfrac{4x}{x^2+4}\leq1\).
5. Initialisation : \(n=0\) : \(5^0=1=\dfrac{5-1}{4}\). Hérédité : si \(5^0+\cdots+5^n=\dfrac{5^{n+1}-1}{4}\), alors :
\(5^0+\cdots+5^n+5^{n+1}=\dfrac{5^{n+1}-1+4\times5^{n+1}}{4}=\dfrac{5\times5^{n+1}-1}{4}=\dfrac{5^{n+2}-1}{4}\)
[!] La formule est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. \(\sqrt{4}+\sqrt{1}=3\) et \(\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\neq3\) : la première est fausse.
[] \(P\) est fausse.
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx3{,}15>\sqrt{5}\approx2{,}24\) : faux ; mais \(\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2\) : vrai.
[] \(Q\) est vraie.
2. a)
[] \(\neg R\) : \((\exists x\in\mathbb{R})\ ;\ x^2=25\ \wedge\ x\neq5\)
b) Pour \(x=-5\) : \((-5)^2=25\) et \(-5\neq5\) : \(\neg R\) est vraie, donc
[] \(R\) est fausse.
3. Contraposée : \(\sqrt{x^2-x+1}=\sqrt{y^2-y+1}\Rightarrow(x=y\) ou \(x+y=1)\). (Les radicandes sont positifs : \(x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\).)
\(x^2-x+1=y^2-y+1\iff(x^2-y^2)-(x-y)=0\iff(x-y)(x+y-1)=0\iff x=y\) ou \(x+y=1\).
[] L'implication est démontrée par contraposée.
4. \(x^2+4>0\), donc : \(\dfrac{4x}{x^2+4}\leq1\iff4x\leq x^2+4\iff x^2-4x+4\geq0\iff(x-2)^2\geq0\), qui est vraie.
[] Donc \((\forall x\in\mathbb{R})\ \dfrac{4x}{x^2+4}\leq1\).
5. Initialisation : \(n=0\) : \(5^0=1=\dfrac{5-1}{4}\). Hérédité : si \(5^0+\cdots+5^n=\dfrac{5^{n+1}-1}{4}\), alors :
\(5^0+\cdots+5^n+5^{n+1}=\dfrac{5^{n+1}-1+4\times5^{n+1}}{4}=\dfrac{5\times5^{n+1}-1}{4}=\dfrac{5^{n+2}-1}{4}\)
[!] La formule est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Exercice 2 (4 pts)
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{3x^2-6x+7}{x^2-2x+3}\).
1. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2-2x+3>0\) et déduire \(D_f\) le domaine de définition de \(f\).
2. Montrer que \(f(1)=2\) est une valeur minimale de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. a) Montrer que \(f\) est majorée par \(3\) sur \(\mathbb{R}\).
b) Est-ce que \(3\) est une valeur maximale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ?
1. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ x^2-2x+3>0\) et déduire \(D_f\) le domaine de définition de \(f\).
2. Montrer que \(f(1)=2\) est une valeur minimale de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. a) Montrer que \(f\) est majorée par \(3\) sur \(\mathbb{R}\).
b) Est-ce que \(3\) est une valeur maximale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ?
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. 💡 Méthode : forme canonique du dénominateur.
\(x^2-2x+3=(x-1)^2-1+3\)
\(=(x-1)^2+2\geq2>0\)
Le dénominateur ne s’annule jamais, donc \(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-2x+3\neq0\}=\mathbb{R}\).
[] \(D_f=\mathbb{R}\)
2. 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
\(f(1)=\dfrac{3-6+7}{1-2+3}\)
\(=\dfrac{4}{2}=2\)
On étudie le signe de \(f(x)-2\) :
\(f(x)-2=\dfrac{3x^2-6x+7-2(x^2-2x+3)}{x^2-2x+3}\)
\(=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-2x+3}\)
\(=\dfrac{(x-1)^2}{x^2-2x+3}\geq0\)
[] \(f(x)\geq2=f(1)\) pour tout \(x\) : \(2\) est la valeur minimale de \(f\) (atteinte en \(1\)).
3. a) 💡 Méthode : pour montrer que \(f(x)\leq M\) (ou \(f(x)\geq m\)), on étudie le signe de la différence \(M-f(x)\) (ou \(f(x)-m\)) en réduisant au même dénominateur.
\(3-f(x)=\dfrac{3(x^2-2x+3)-(3x^2-6x+7)}{x^2-2x+3}\)
\(=\dfrac{2}{x^2-2x+3}>0\)
[] \(f(x)<3\) : \(f\) est majorée par \(3\).
b)
[!] Non : \(f(x)<3\) pour tout \(x\) (inégalité stricte), donc \(3\) n’est jamais atteinte.
\(x^2-2x+3=(x-1)^2-1+3\)
\(=(x-1)^2+2\geq2>0\)
Le dénominateur ne s’annule jamais, donc \(D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x^2-2x+3\neq0\}=\mathbb{R}\).
[] \(D_f=\mathbb{R}\)
2. 💡 Rappel : \(M\) est la valeur maximale de \(f\) si deux conditions sont réunies : \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\), et \(M\) est atteinte (\(M=f(a)\) pour un certain \(a\)). Même chose pour la valeur minimale.
\(f(1)=\dfrac{3-6+7}{1-2+3}\)
\(=\dfrac{4}{2}=2\)
On étudie le signe de \(f(x)-2\) :
\(f(x)-2=\dfrac{3x^2-6x+7-2(x^2-2x+3)}{x^2-2x+3}\)
\(=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-2x+3}\)
\(=\dfrac{(x-1)^2}{x^2-2x+3}\geq0\)
[] \(f(x)\geq2=f(1)\) pour tout \(x\) : \(2\) est la valeur minimale de \(f\) (atteinte en \(1\)).
3. a) 💡 Méthode : pour montrer que \(f(x)\leq M\) (ou \(f(x)\geq m\)), on étudie le signe de la différence \(M-f(x)\) (ou \(f(x)-m\)) en réduisant au même dénominateur.
\(3-f(x)=\dfrac{3(x^2-2x+3)-(3x^2-6x+7)}{x^2-2x+3}\)
\(=\dfrac{2}{x^2-2x+3}>0\)
[] \(f(x)<3\) : \(f\) est majorée par \(3\).
b)
[!] Non : \(f(x)<3\) pour tout \(x\) (inégalité stricte), donc \(3\) n’est jamais atteinte.
Exercice 3 (8 pts)
On considère les deux fonctions \(f\) et \(g\) définies par : \(f(x)=x^2-6x+8\) et \(g(x)=\sqrt{x-3}\).
\(C_f\) et \(C_g\) sont respectivement les courbes des fonctions \(f\) et \(g\) dans un repère orthonormé.
1. a) Donner le tableau de variations de \(f\).
b) Déterminer la nature de \(C_f\) et ses éléments caractéristiques.
c) Déterminer l'intersection de \(C_f\) avec les axes \((Ox)\) et \((Oy)\).
2. Déterminer \(D_g\) et donner le tableau de variations de \(g\).
3. Construire \(C_f\) et \(C_g\) dans le même repère orthonormé.
4. a) Montrer graphiquement que l'équation \(E\) : \(x^2-6x+8-\sqrt{x-3}=0\) admet une seule solution \(\alpha\) dans l'intervalle \([3;+\infty[\) et que \(4<\alpha<5\).
b) Résoudre graphiquement l'inéquation \(x^2-6x+8-\sqrt{x-3}\leq0\).
\(C_f\) et \(C_g\) sont respectivement les courbes des fonctions \(f\) et \(g\) dans un repère orthonormé.
1. a) Donner le tableau de variations de \(f\).
b) Déterminer la nature de \(C_f\) et ses éléments caractéristiques.
c) Déterminer l'intersection de \(C_f\) avec les axes \((Ox)\) et \((Oy)\).
2. Déterminer \(D_g\) et donner le tableau de variations de \(g\).
3. Construire \(C_f\) et \(C_g\) dans le même repère orthonormé.
4. a) Montrer graphiquement que l'équation \(E\) : \(x^2-6x+8-\sqrt{x-3}=0\) admet une seule solution \(\alpha\) dans l'intervalle \([3;+\infty[\) et que \(4<\alpha<5\).
b) Résoudre graphiquement l'inéquation \(x^2-6x+8-\sqrt{x-3}\leq0\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) 💡 Méthode : pour étudier les variations d’un trinôme \(ax^2+bx+c\), on l’écrit sous la forme canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\) :
si \(a>0\) : la fonction est décroissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis croissante sur \([\alpha;+\infty[\) (minimum \(\beta\) en \(\alpha\)) ;
si \(a<0\) : elle est croissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis décroissante sur \([\alpha;+\infty[\) (maximum \(\beta\) en \(\alpha\)).
Étape 1 : on complète le carré pour obtenir la forme canonique :
\(f(x)=x^2-6x+8\)
\(=(x^2-6x+9)-9+8\)
\(=(x-3)^2-1\)
Étape 2 : on identifie \(a=1\), \(\alpha=3\) et \(\beta=-1\) ; comme \(a>0\) :
[] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;3]\) et croissante sur \([3;+\infty[\).
b)
[] \(C_f\) est une parabole de sommet \(S(3;-1)\), d’axe de symétrie la droite \(x=3\), tournée vers le haut (\(a=1>0\)).
c) Avec \((Ox)\) :
\(f(x)=0\iff(x-3)^2=1\)
\(\iff x-3=1\) ou \(x-3=-1\)
\(\iff x=4\) ou \(x=2\)
Avec \((Oy)\) : \(f(0)=8\).
[] \(C_f\cap(Ox)=\{(2;0);(4;0)\}\) et \(C_f\cap(Oy)=\{(0;8)\}\).
2. 💡 Méthode : \(\sqrt{A(x)}\) n’existe que si \(A(x)\geq0\) (on ne prend pas la racine d’un nombre négatif).
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x-3\geq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff x-3\geq0\)
\(\iff x\geq3\)
[] \(D_g=[3;+\infty[\)
\(x\mapsto x-3\) est croissante et positive sur \(D_g\) ; la racine carrée est croissante : \(g\) est croissante.
3. 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
| \(x\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(7\) |
| \(g(x)\) | \(0\) | \(1\) | \(\sqrt{2}\) | \(2\) |
4. a) 💡 \(E\iff f(x)=g(x)\) : les solutions sont les abscisses des points d’intersection de \(C_f\) et \(C_g\).
Sur \([3;+\infty[\), les courbes se coupent en un seul point d’abscisse \(\alpha\). De plus :
\(f(4)=0<g(4)=1\) ; \(f(5)=3>g(5)=\sqrt{2}\approx1{,}41\)
[] \(C_f\) passe de « sous » \(C_g\) à « au-dessus » entre \(4\) et \(5\) : \(4<\alpha<5\).
b) \(x^2-6x+8-\sqrt{x-3}\leq0\iff f(x)\leq g(x)\) : \(C_f\) est sous \(C_g\) (ou la coupe) pour \(3\leq x\leq\alpha\).
[!] \(S=[3;\alpha]\)
si \(a>0\) : la fonction est décroissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis croissante sur \([\alpha;+\infty[\) (minimum \(\beta\) en \(\alpha\)) ;
si \(a<0\) : elle est croissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis décroissante sur \([\alpha;+\infty[\) (maximum \(\beta\) en \(\alpha\)).
Étape 1 : on complète le carré pour obtenir la forme canonique :
\(f(x)=x^2-6x+8\)
\(=(x^2-6x+9)-9+8\)
\(=(x-3)^2-1\)
Étape 2 : on identifie \(a=1\), \(\alpha=3\) et \(\beta=-1\) ; comme \(a>0\) :
[] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;3]\) et croissante sur \([3;+\infty[\).
b)
[] \(C_f\) est une parabole de sommet \(S(3;-1)\), d’axe de symétrie la droite \(x=3\), tournée vers le haut (\(a=1>0\)).
c) Avec \((Ox)\) :
\(f(x)=0\iff(x-3)^2=1\)
\(\iff x-3=1\) ou \(x-3=-1\)
\(\iff x=4\) ou \(x=2\)
Avec \((Oy)\) : \(f(0)=8\).
[] \(C_f\cap(Ox)=\{(2;0);(4;0)\}\) et \(C_f\cap(Oy)=\{(0;8)\}\).
2. 💡 Méthode : \(\sqrt{A(x)}\) n’existe que si \(A(x)\geq0\) (on ne prend pas la racine d’un nombre négatif).
\(D_g=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x-3\geq0\}\)
On résout la condition, équivalence après équivalence :
\(x\in D_g\iff x-3\geq0\)
\(\iff x\geq3\)
[] \(D_g=[3;+\infty[\)
\(x\mapsto x-3\) est croissante et positive sur \(D_g\) ; la racine carrée est croissante : \(g\) est croissante.
3. 💡 Méthode pour tracer : on place les points remarquables (sommet, centre, points d’intersection avec les axes), on trace les droites utiles (axe de symétrie, asymptotes), on calcule quelques valeurs, puis on relie en respectant le tableau de variations.
| \(x\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(7\) |
| \(g(x)\) | \(0\) | \(1\) | \(\sqrt{2}\) | \(2\) |
4. a) 💡 \(E\iff f(x)=g(x)\) : les solutions sont les abscisses des points d’intersection de \(C_f\) et \(C_g\).
Sur \([3;+\infty[\), les courbes se coupent en un seul point d’abscisse \(\alpha\). De plus :
\(f(4)=0<g(4)=1\) ; \(f(5)=3>g(5)=\sqrt{2}\approx1{,}41\)
[] \(C_f\) passe de « sous » \(C_g\) à « au-dessus » entre \(4\) et \(5\) : \(4<\alpha<5\).
b) \(x^2-6x+8-\sqrt{x-3}\leq0\iff f(x)\leq g(x)\) : \(C_f\) est sous \(C_g\) (ou la coupe) pour \(3\leq x\leq\alpha\).
[!] \(S=[3;\alpha]\)