Exercice 1 (6 pts)
1. Calculer les intégrales suivantes :
\(I=\int_0^1\left(3x^2-2x+1\right)dx\) ; \(J=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\cos(3x)\,dx\) ; \(K=\int_0^1e^{2x}dx\) ; \(L=\int_1^e\dfrac{\ln x}{x}dx\).
2. En utilisant une intégration par parties, calculer : \(A=\int_0^1xe^x\,dx\) et \(B=\int_1^ex\ln x\,dx\).
\(I=\int_0^1\left(3x^2-2x+1\right)dx\) ; \(J=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\cos(3x)\,dx\) ; \(K=\int_0^1e^{2x}dx\) ; \(L=\int_1^e\dfrac{\ln x}{x}dx\).
2. En utilisant une intégration par parties, calculer : \(A=\int_0^1xe^x\,dx\) et \(B=\int_1^ex\ln x\,dx\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(I=\left[x^3-x^2+x\right]_0^1=1\) ; \(J=\left[\dfrac{1}{3}\sin(3x)\right]_0^{\frac{\pi}{6}}=\dfrac{1}{3}\sin\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{1}{3}\).
\(K=\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1=\dfrac{e^2-1}{2}\) ; \(L=\left[\dfrac{1}{2}(\ln x)^2\right]_1^e=\dfrac{1}{2}\) (forme \(u'u\)).
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
2. \(A\) : \(u'(x)=e^x\), \(v(x)=x\) : \(A=\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1e^xdx=e-(e-1)\) :
[] \(A=1\)
\(B\) : \(u'(x)=x\), \(v(x)=\ln x\) : \(B=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\dfrac{x}{2}dx=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2-1}{4}\) :
[] \(B=\dfrac{e^2+1}{4}\)
\(K=\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1=\dfrac{e^2-1}{2}\) ; \(L=\left[\dfrac{1}{2}(\ln x)^2\right]_1^e=\dfrac{1}{2}\) (forme \(u'u\)).
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
2. \(A\) : \(u'(x)=e^x\), \(v(x)=x\) : \(A=\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1e^xdx=e-(e-1)\) :
[] \(A=1\)
\(B\) : \(u'(x)=x\), \(v(x)=\ln x\) : \(B=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\dfrac{x}{2}dx=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2-1}{4}\) :
[] \(B=\dfrac{e^2+1}{4}\)
Exercice 2 (7 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\), on considère les points \(C(2;0;-1)\), \(D(0;1;2)\) et l’ensemble \((S)\) des points \(M(x;y;z)\) tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+8y-4z=0\).
1. Calculer \(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OD}\) et en déduire que \(x-4y+2z=0\) est une équation du plan \((OCD)\).
2. Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(1;-4;2)\) et de rayon \(R=\sqrt{21}\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(OCD)\right)\) et en déduire que le plan \((OCD)\) est tangent à \((S)\).
b) Vérifier que \(O\in(S)\) et en déduire le point de contact.
4. Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Omega O)\) et vérifier qu’elle est perpendiculaire à \((OCD)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OD}\) et en déduire que \(x-4y+2z=0\) est une équation du plan \((OCD)\).
2. Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(1;-4;2)\) et de rayon \(R=\sqrt{21}\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(OCD)\right)\) et en déduire que le plan \((OCD)\) est tangent à \((S)\).
b) Vérifier que \(O\in(S)\) et en déduire le point de contact.
4. Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Omega O)\) et vérifier qu’elle est perpendiculaire à \((OCD)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{OC}(2;0;-1)\), \(\overrightarrow{OD}(0;1;2)\) :
\(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OD}=(0\times2+1\times1)\vec{i}-(2\times2-0)\vec{j}+(2\times1-0)\vec{k}\)
\(=\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}\)
[] \((OCD)\) passe par \(O\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1;-4;2)\) : \(x-4y+2z=0\)
2. \((x-1)^2-1+(y+4)^2-16+(z-2)^2-4=0\)
\(\iff(x-1)^2+(y+4)^2+(z-2)^2=21\)
[] \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(1;-4;2)\) et de rayon \(\sqrt{21}\)
3. a) \(d=\dfrac{|1+16+4|}{\sqrt{1+16+4}}=\dfrac{21}{\sqrt{21}}=\sqrt{21}=R\) :
[] \((OCD)\) est tangent à \((S)\)
b) \(0+0+0-0+0-0=0\) : \(O\in(S)\) et \(O\in(OCD)\) :
[] le point de contact est \(O\)
4. \(\overrightarrow{O\Omega}(1;-4;2)=\vec{n}\) : \((\Omega O):\begin{cases}x=t\\y=-4t\\z=2t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\) ; elle est dirigée par \(\vec{n}\) :
[] \((\Omega O)\perp(OCD)\)
\(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OD}=(0\times2+1\times1)\vec{i}-(2\times2-0)\vec{j}+(2\times1-0)\vec{k}\)
\(=\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}\)
[] \((OCD)\) passe par \(O\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1;-4;2)\) : \(x-4y+2z=0\)
2. \((x-1)^2-1+(y+4)^2-16+(z-2)^2-4=0\)
\(\iff(x-1)^2+(y+4)^2+(z-2)^2=21\)
[] \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(1;-4;2)\) et de rayon \(\sqrt{21}\)
3. a) \(d=\dfrac{|1+16+4|}{\sqrt{1+16+4}}=\dfrac{21}{\sqrt{21}}=\sqrt{21}=R\) :
[] \((OCD)\) est tangent à \((S)\)
b) \(0+0+0-0+0-0=0\) : \(O\in(S)\) et \(O\in(OCD)\) :
[] le point de contact est \(O\)
4. \(\overrightarrow{O\Omega}(1;-4;2)=\vec{n}\) : \((\Omega O):\begin{cases}x=t\\y=-4t\\z=2t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\) ; elle est dirigée par \(\vec{n}\) :
[] \((\Omega O)\perp(OCD)\)
Exercice 3 (7 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-2z+10=0\).
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=1+3i\), \(b=5+i\) et \(c=3+7i\).
a) Montrer que \(C\) est l’image de \(B\) par la rotation \(R\) de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
b) En déduire que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).
c) Déterminer l’affixe \(d\) du point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un carré.
3. Écrire \(\dfrac{c-a}{b-a}\) sous forme exponentielle.
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=1+3i\), \(b=5+i\) et \(c=3+7i\).
a) Montrer que \(C\) est l’image de \(B\) par la rotation \(R\) de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
b) En déduire que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).
c) Déterminer l’affixe \(d\) du point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un carré.
3. Écrire \(\dfrac{c-a}{b-a}\) sous forme exponentielle.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\Delta=4-40=-36=(6i)^2\) :
[] \(S=\{1+3i;1-3i\}\)
2. a) \(R\) : \(z'=a+i(z-a)\) ; \(a+i(b-a)=1+3i+i(4-2i)\)
\(=1+3i+4i+2=3+7i=c\)
[] \(C=R(B)\)
b) \(AC=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\)
c) \(ABDC\) carré \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff d=b+c-a\) :
[] \(d=7+5i\)
[] 3. \(\dfrac{c-a}{b-a}=i=e^{i\frac{\pi}{2}}\)
[] \(S=\{1+3i;1-3i\}\)
2. a) \(R\) : \(z'=a+i(z-a)\) ; \(a+i(b-a)=1+3i+i(4-2i)\)
\(=1+3i+4i+2=3+7i=c\)
[] \(C=R(B)\)
b) \(AC=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\)
c) \(ABDC\) carré \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff d=b+c-a\) :
[] \(d=7+5i\)
[] 3. \(\dfrac{c-a}{b-a}=i=e^{i\frac{\pi}{2}}\)