Exercice 1 (6 pts)
1. Calculer les intégrales suivantes :
\(I=\int_1^2\left(x+\dfrac{1}{x^2}\right)dx\) ; \(J=\int_0^1\dfrac{x}{x^2+1}dx\) ; \(K=\int_0^{\ln2}\dfrac{e^x}{e^x+1}dx\) ; \(L=\int_0^3\sqrt{x+1}\,dx\).
2. En utilisant une intégration par parties, calculer : \(A=\int_0^{\pi}x\sin x\,dx\) et \(B=\int_1^ex^2\ln x\,dx\).
\(I=\int_1^2\left(x+\dfrac{1}{x^2}\right)dx\) ; \(J=\int_0^1\dfrac{x}{x^2+1}dx\) ; \(K=\int_0^{\ln2}\dfrac{e^x}{e^x+1}dx\) ; \(L=\int_0^3\sqrt{x+1}\,dx\).
2. En utilisant une intégration par parties, calculer : \(A=\int_0^{\pi}x\sin x\,dx\) et \(B=\int_1^ex^2\ln x\,dx\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(I=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{x}\right]_1^2=\left(2-\dfrac{1}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}-1\right)=2\) ; \(J=\left[\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)\right]_0^1=\dfrac{\ln2}{2}\).
\(K=\left[\ln\left(e^x+1\right)\right]_0^{\ln2}=\ln3-\ln2=\ln\dfrac{3}{2}\) ; \(L=\left[\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}\right]_0^3=\dfrac{2}{3}(8-1)=\dfrac{14}{3}\).
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
2. \(A\) : \(u'(x)=\sin x\), \(v(x)=x\) : \(A=\left[-x\cos x\right]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,dx=\pi+0\) :
[] \(A=\pi\)
\(B\) : \(u'(x)=x^2\), \(v(x)=\ln x\) : \(B=\left[\dfrac{x^3}{3}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\dfrac{x^2}{3}dx=\dfrac{e^3}{3}-\dfrac{e^3-1}{9}\) :
[] \(B=\dfrac{2e^3+1}{9}\)
\(K=\left[\ln\left(e^x+1\right)\right]_0^{\ln2}=\ln3-\ln2=\ln\dfrac{3}{2}\) ; \(L=\left[\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}\right]_0^3=\dfrac{2}{3}(8-1)=\dfrac{14}{3}\).
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
2. \(A\) : \(u'(x)=\sin x\), \(v(x)=x\) : \(A=\left[-x\cos x\right]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,dx=\pi+0\) :
[] \(A=\pi\)
\(B\) : \(u'(x)=x^2\), \(v(x)=\ln x\) : \(B=\left[\dfrac{x^3}{3}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\dfrac{x^2}{3}dx=\dfrac{e^3}{3}-\dfrac{e^3-1}{9}\) :
[] \(B=\dfrac{2e^3+1}{9}\)
Exercice 2 (7 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\), on considère les points \(C(2;0;-1)\), \(D(0;1;2)\) et l’ensemble \((S)\) des points \(M(x;y;z)\) tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+8y-4z=0\).
1. Calculer \(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OD}\) et en déduire que \(x-4y+2z=0\) est une équation du plan \((OCD)\).
2. Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(1;-4;2)\) et de rayon \(R=\sqrt{21}\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(OCD)\right)\) et en déduire que le plan \((OCD)\) est tangent à \((S)\).
b) Vérifier que \(O\in(S)\) et en déduire le point de contact.
4. Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Omega O)\) et vérifier qu’elle est perpendiculaire à \((OCD)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OD}\) et en déduire que \(x-4y+2z=0\) est une équation du plan \((OCD)\).
2. Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(1;-4;2)\) et de rayon \(R=\sqrt{21}\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(OCD)\right)\) et en déduire que le plan \((OCD)\) est tangent à \((S)\).
b) Vérifier que \(O\in(S)\) et en déduire le point de contact.
4. Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Omega O)\) et vérifier qu’elle est perpendiculaire à \((OCD)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{OC}(2;0;-1)\), \(\overrightarrow{OD}(0;1;2)\) :
\(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OD}=(0\times2+1\times1)\vec{i}-(2\times2-0)\vec{j}+(2\times1-0)\vec{k}\)
\(=\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}\)
[] \((OCD)\) passe par \(O\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1;-4;2)\) : \(x-4y+2z=0\)
2. \((x-1)^2-1+(y+4)^2-16+(z-2)^2-4=0\)
\(\iff(x-1)^2+(y+4)^2+(z-2)^2=21\)
[] \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(1;-4;2)\) et de rayon \(\sqrt{21}\)
3. a) \(d=\dfrac{|1+16+4|}{\sqrt{1+16+4}}=\dfrac{21}{\sqrt{21}}=\sqrt{21}=R\) :
[] \((OCD)\) est tangent à \((S)\)
b) \(0+0+0-0+0-0=0\) : \(O\in(S)\) et \(O\in(OCD)\) :
[] le point de contact est \(O\)
4. \(\overrightarrow{O\Omega}(1;-4;2)=\vec{n}\) : \((\Omega O):\begin{cases}x=t\\y=-4t\\z=2t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\) ; elle est dirigée par \(\vec{n}\) :
[] \((\Omega O)\perp(OCD)\)
\(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OD}=(0\times2+1\times1)\vec{i}-(2\times2-0)\vec{j}+(2\times1-0)\vec{k}\)
\(=\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}\)
[] \((OCD)\) passe par \(O\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1;-4;2)\) : \(x-4y+2z=0\)
2. \((x-1)^2-1+(y+4)^2-16+(z-2)^2-4=0\)
\(\iff(x-1)^2+(y+4)^2+(z-2)^2=21\)
[] \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(1;-4;2)\) et de rayon \(\sqrt{21}\)
3. a) \(d=\dfrac{|1+16+4|}{\sqrt{1+16+4}}=\dfrac{21}{\sqrt{21}}=\sqrt{21}=R\) :
[] \((OCD)\) est tangent à \((S)\)
b) \(0+0+0-0+0-0=0\) : \(O\in(S)\) et \(O\in(OCD)\) :
[] le point de contact est \(O\)
4. \(\overrightarrow{O\Omega}(1;-4;2)=\vec{n}\) : \((\Omega O):\begin{cases}x=t\\y=-4t\\z=2t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\) ; elle est dirigée par \(\vec{n}\) :
[] \((\Omega O)\perp(OCD)\)
Exercice 3 (7 pts)
On considère les points \(\Omega\), \(A\) et \(B\) d’affixes \(\omega=1+i\), \(a=1+2i\) et \(b=2+3i\), et l’homothétie \(h\) de centre \(\Omega\) et de rapport \(3\).
1. Montrer que l’écriture complexe de \(h\) est \(z'=3z-2-2i\).
2. Soient \(C=h(B)\) et \(D=h(A)\). Déterminer \(c\) et \(d\).
3. a) Écrire \(\dfrac{d-c}{b-a}\) sous forme algébrique.
b) En déduire que \(\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{AB}\) et que \((AB)\parallel(CD)\).
4. Écrire \(b-a\) sous forme exponentielle et calculer \((b-a)^4\).
1. Montrer que l’écriture complexe de \(h\) est \(z'=3z-2-2i\).
2. Soient \(C=h(B)\) et \(D=h(A)\). Déterminer \(c\) et \(d\).
3. a) Écrire \(\dfrac{d-c}{b-a}\) sous forme algébrique.
b) En déduire que \(\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{AB}\) et que \((AB)\parallel(CD)\).
4. Écrire \(b-a\) sous forme exponentielle et calculer \((b-a)^4\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(z'-\omega=3(z-\omega)\) : \(z'=3z-3(1+i)+1+i\)
\(=3z-2-2i\)
2. \(c=3(2+3i)-2-2i=4+7i\) ; \(d=3(1+2i)-2-2i=1+4i\) :
[] \(c=4+7i\) et \(d=1+4i\)
3. a) \(\dfrac{d-c}{b-a}=\dfrac{-3-3i}{1+i}\)
\(=-3\)
[] b) \(d-c=-3(b-a)\) : \(\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{AB}\), donc \((AB)\parallel(CD)\) et \(CD=3AB\)
4. \(b-a=1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\) et \((b-a)^4=4e^{i\pi}\)
\(=-4\)
\(=3z-2-2i\)
2. \(c=3(2+3i)-2-2i=4+7i\) ; \(d=3(1+2i)-2-2i=1+4i\) :
[] \(c=4+7i\) et \(d=1+4i\)
3. a) \(\dfrac{d-c}{b-a}=\dfrac{-3-3i}{1+i}\)
\(=-3\)
[] b) \(d-c=-3(b-a)\) : \(\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{AB}\), donc \((AB)\parallel(CD)\) et \(CD=3AB\)
4. \(b-a=1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\) et \((b-a)^4=4e^{i\pi}\)
\(=-4\)