Exercice 1 (6 pts)
1. Calculer les intégrales suivantes :
\(I=\int_1^2\left(x+\dfrac{1}{x^2}\right)dx\) ; \(J=\int_0^1\dfrac{x}{x^2+1}dx\) ; \(K=\int_0^{\ln2}\dfrac{e^x}{e^x+1}dx\) ; \(L=\int_0^3\sqrt{x+1}\,dx\).
2. En utilisant une intégration par parties, calculer : \(A=\int_0^{\pi}x\sin x\,dx\) et \(B=\int_1^ex^2\ln x\,dx\).
\(I=\int_1^2\left(x+\dfrac{1}{x^2}\right)dx\) ; \(J=\int_0^1\dfrac{x}{x^2+1}dx\) ; \(K=\int_0^{\ln2}\dfrac{e^x}{e^x+1}dx\) ; \(L=\int_0^3\sqrt{x+1}\,dx\).
2. En utilisant une intégration par parties, calculer : \(A=\int_0^{\pi}x\sin x\,dx\) et \(B=\int_1^ex^2\ln x\,dx\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(I=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{x}\right]_1^2=\left(2-\dfrac{1}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}-1\right)=2\) ; \(J=\left[\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)\right]_0^1=\dfrac{\ln2}{2}\).
\(K=\left[\ln\left(e^x+1\right)\right]_0^{\ln2}=\ln3-\ln2=\ln\dfrac{3}{2}\) ; \(L=\left[\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}\right]_0^3=\dfrac{2}{3}(8-1)=\dfrac{14}{3}\).
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
2. \(A\) : \(u'(x)=\sin x\), \(v(x)=x\) : \(A=\left[-x\cos x\right]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,dx=\pi+0\) :
[] \(A=\pi\)
\(B\) : \(u'(x)=x^2\), \(v(x)=\ln x\) : \(B=\left[\dfrac{x^3}{3}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\dfrac{x^2}{3}dx=\dfrac{e^3}{3}-\dfrac{e^3-1}{9}\) :
[] \(B=\dfrac{2e^3+1}{9}\)
\(K=\left[\ln\left(e^x+1\right)\right]_0^{\ln2}=\ln3-\ln2=\ln\dfrac{3}{2}\) ; \(L=\left[\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}\right]_0^3=\dfrac{2}{3}(8-1)=\dfrac{14}{3}\).
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
2. \(A\) : \(u'(x)=\sin x\), \(v(x)=x\) : \(A=\left[-x\cos x\right]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,dx=\pi+0\) :
[] \(A=\pi\)
\(B\) : \(u'(x)=x^2\), \(v(x)=\ln x\) : \(B=\left[\dfrac{x^3}{3}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\dfrac{x^2}{3}dx=\dfrac{e^3}{3}-\dfrac{e^3-1}{9}\) :
[] \(B=\dfrac{2e^3+1}{9}\)
Exercice 2 (7 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\), on considère la sphère \((S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-3=0\) et le point \(A(3;4;0)\).
1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \((S)\), puis vérifier que \(A\in(S)\).
2. Déterminer une équation du plan \((T)\) tangent à \((S)\) au point \(A\).
3. Soit \((Q)\) le plan d’équation \(2x-y+2z+11=0\).
a) Montrer que \((Q)\) est tangent à \((S)\).
b) Déterminer les coordonnées du point de contact \(E\) de \((Q)\) et \((S)\).
4. Calculer \(\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega E}\) et en déduire que les points \(\Omega\), \(A\) et \(E\) ne sont pas alignés.
1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \((S)\), puis vérifier que \(A\in(S)\).
2. Déterminer une équation du plan \((T)\) tangent à \((S)\) au point \(A\).
3. Soit \((Q)\) le plan d’équation \(2x-y+2z+11=0\).
a) Montrer que \((Q)\) est tangent à \((S)\).
b) Déterminer les coordonnées du point de contact \(E\) de \((Q)\) et \((S)\).
4. Calculer \(\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega E}\) et en déduire que les points \(\Omega\), \(A\) et \(E\) ne sont pas alignés.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=3+1+4+1\)
\(=9\)
\(\Omega(1;2;-1)\), \(R=3\) ; \(\Omega A=\sqrt{4+4+1}=3=R\) :
[] \(A\in(S)\)
2. \((T)\) passe par \(A\) et a pour vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega A}(2;2;1)\) : \(2x+2y+z+d=0\) avec \(6+8+d=0\) :
[] \((T):2x+2y+z-14=0\)
3. a) \(d\left(\Omega;(Q)\right)=\dfrac{|2-2-2+11|}{3}=\dfrac{9}{3}=3=R\) :
[] \((Q)\) est tangent à \((S)\)
b) \(E\) est le projeté de \(\Omega\) sur \((Q)\) : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=-1+2t\end{cases}\) dans \((Q)\) : \(9t+9=0\), \(t=-1\) :
[] \(E(-1;3;-3)\)
4. \(\overrightarrow{\Omega A}(2;2;1)\), \(\overrightarrow{\Omega E}(-2;1;-2)\) :
\(\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega E}=(-4-1)\vec{i}-(-4+2)\vec{j}+(2+4)\vec{k}\)
\(\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega E}=-5\vec{i}+2\vec{j}+6\vec{k}\) :
[] le produit vectoriel n’est pas nul : \(\Omega\), \(A\) et \(E\) ne sont pas alignés
\(=9\)
\(\Omega(1;2;-1)\), \(R=3\) ; \(\Omega A=\sqrt{4+4+1}=3=R\) :
[] \(A\in(S)\)
2. \((T)\) passe par \(A\) et a pour vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega A}(2;2;1)\) : \(2x+2y+z+d=0\) avec \(6+8+d=0\) :
[] \((T):2x+2y+z-14=0\)
3. a) \(d\left(\Omega;(Q)\right)=\dfrac{|2-2-2+11|}{3}=\dfrac{9}{3}=3=R\) :
[] \((Q)\) est tangent à \((S)\)
b) \(E\) est le projeté de \(\Omega\) sur \((Q)\) : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=-1+2t\end{cases}\) dans \((Q)\) : \(9t+9=0\), \(t=-1\) :
[] \(E(-1;3;-3)\)
4. \(\overrightarrow{\Omega A}(2;2;1)\), \(\overrightarrow{\Omega E}(-2;1;-2)\) :
\(\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega E}=(-4-1)\vec{i}-(-4+2)\vec{j}+(2+4)\vec{k}\)
\(\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega E}=-5\vec{i}+2\vec{j}+6\vec{k}\) :
[] le produit vectoriel n’est pas nul : \(\Omega\), \(A\) et \(E\) ne sont pas alignés
Exercice 3 (7 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-2z+10=0\).
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=1+3i\), \(b=5+i\) et \(c=3+7i\).
a) Montrer que \(C\) est l’image de \(B\) par la rotation \(R\) de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
b) En déduire que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).
c) Déterminer l’affixe \(d\) du point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un carré.
3. Écrire \(\dfrac{c-a}{b-a}\) sous forme exponentielle.
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=1+3i\), \(b=5+i\) et \(c=3+7i\).
a) Montrer que \(C\) est l’image de \(B\) par la rotation \(R\) de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
b) En déduire que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).
c) Déterminer l’affixe \(d\) du point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un carré.
3. Écrire \(\dfrac{c-a}{b-a}\) sous forme exponentielle.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\Delta=4-40=-36=(6i)^2\) :
[] \(S=\{1+3i;1-3i\}\)
2. a) \(R\) : \(z'=a+i(z-a)\) ; \(a+i(b-a)=1+3i+i(4-2i)\)
\(=1+3i+4i+2=3+7i=c\)
[] \(C=R(B)\)
b) \(AC=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\)
c) \(ABDC\) carré \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff d=b+c-a\) :
[] \(d=7+5i\)
[] 3. \(\dfrac{c-a}{b-a}=i=e^{i\frac{\pi}{2}}\)
[] \(S=\{1+3i;1-3i\}\)
2. a) \(R\) : \(z'=a+i(z-a)\) ; \(a+i(b-a)=1+3i+i(4-2i)\)
\(=1+3i+4i+2=3+7i=c\)
[] \(C=R(B)\)
b) \(AC=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\)
c) \(ABDC\) carré \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff d=b+c-a\) :
[] \(d=7+5i\)
[] 3. \(\dfrac{c-a}{b-a}=i=e^{i\frac{\pi}{2}}\)