Exercice 1 (6 pts)
1. Calculer : \(I=\int_0^1\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}dx\) et \(J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\,dx\) (on linéarisera \(\sin^2x\)).
2. Soit \(f(x)=(x-1)e^x\).
a) Vérifier que \(F(x)=(x-2)e^x\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
b) Étudier le signe de \(f\) sur \([0;1]\), puis calculer l’aire \(\mathcal{A}\) (en unité d’aire) du domaine limité par \((C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=1\).
3. Par intégration par parties, calculer \(K=\int_0^1(x+1)e^{-x}dx\).
2. Soit \(f(x)=(x-1)e^x\).
a) Vérifier que \(F(x)=(x-2)e^x\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
b) Étudier le signe de \(f\) sur \([0;1]\), puis calculer l’aire \(\mathcal{A}\) (en unité d’aire) du domaine limité par \((C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=1\).
3. Par intégration par parties, calculer \(K=\int_0^1(x+1)e^{-x}dx\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(I=\left[\ln\left(x^2+x+1\right)\right]_0^1=\ln3\) (forme \(\dfrac{u'}{u}\), \(u>0\)).
\(\sin^2x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\)
\(J=\left[\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{4}\)
2. a) \(F'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x=f(x)\) ✔.
b) Sur \([0;1]\) : \(x-1\leq0\) et \(e^x>0\), donc \(f(x)\leq0\) :
\(\mathcal{A}=-\int_0^1f(x)\,dx=-\left[(x-2)e^x\right]_0^1\)
\(=-(-e+2)=e-2\)
[] \(\mathcal{A}=(e-2)\) u.a.
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
3. \(u'(x)=e^{-x}\), \(v(x)=x+1\) : \(K=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^1+\int_0^1e^{-x}dx=\left(1-\dfrac{2}{e}\right)+\left(1-\dfrac{1}{e}\right)\) :
[] \(K=2-\dfrac{3}{e}\)
\(\sin^2x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\)
\(J=\left[\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{4}\)
2. a) \(F'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x=f(x)\) ✔.
b) Sur \([0;1]\) : \(x-1\leq0\) et \(e^x>0\), donc \(f(x)\leq0\) :
\(\mathcal{A}=-\int_0^1f(x)\,dx=-\left[(x-2)e^x\right]_0^1\)
\(=-(-e+2)=e-2\)
[] \(\mathcal{A}=(e-2)\) u.a.
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
3. \(u'(x)=e^{-x}\), \(v(x)=x+1\) : \(K=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^1+\int_0^1e^{-x}dx=\left(1-\dfrac{2}{e}\right)+\left(1-\dfrac{1}{e}\right)\) :
[] \(K=2-\dfrac{3}{e}\)
Exercice 2 (7 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\), on considère les points \(A(0;-3;0)\), \(B(2;1;0)\), \(C(0;1;2)\) et la sphère \((S):x^2+y^2+z^2-6x-6z-7=0\).
1. Montrer que \((S)\) a pour centre \(\Omega(3;0;3)\) et pour rayon \(R=5\).
2. a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=8\vec{i}-4\vec{j}+8\vec{k}\) et calculer l’aire du triangle \(ABC\).
b) En déduire que \(2x-y+2z-3=0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(ABC)\right)\) et montrer que \((ABC)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(r=4\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((ABC)\), puis déterminer le centre \(H\) de \((\Gamma)\).
1. Montrer que \((S)\) a pour centre \(\Omega(3;0;3)\) et pour rayon \(R=5\).
2. a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=8\vec{i}-4\vec{j}+8\vec{k}\) et calculer l’aire du triangle \(ABC\).
b) En déduire que \(2x-y+2z-3=0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(ABC)\right)\) et montrer que \((ABC)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(r=4\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((ABC)\), puis déterminer le centre \(H\) de \((\Gamma)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(x^2-6x+y^2+z^2-6z-7=0\)
\(\iff(x-3)^2+y^2+(z-3)^2=7+9+9=25\)
[] \(\Omega(3;0;3)\) et \(R=\sqrt{25}=5\)
2. a) \(\overrightarrow{AB}(2;4;0)\), \(\overrightarrow{AC}(0;4;2)\) :
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(4\times2-0\times4)\vec{i}-(2\times2-0\times0)\vec{j}+(2\times4-4\times0)\vec{k}\)
\(=8\vec{i}-4\vec{j}+8\vec{k}\)
Aire de \(ABC\) \(=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|=\dfrac{1}{2}\sqrt{64+16+64}=\dfrac{12}{2}\) :
[] \(6\) u.a.
b) \(\vec{n}(2;-1;2)\) est normal à \((ABC)\) : \(2x-y+2z+d=0\) et \(A\in(ABC)\) : \(3+d=0\) :
[] \((ABC):2x-y+2z-3=0\)
3. a) \(d=\dfrac{|6-0+6-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{9}{3}=3<5\) : le plan coupe \((S)\) selon un cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}\) :
[] \(r=4\)
b) \((\Delta):\begin{cases}x=3+2t\\y=-t\\z=3+2t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\). \(H\in(\Delta)\cap(ABC)\) : \(2(3+2t)+t+2(3+2t)-3=0\iff9t+9=0\iff t=-1\) :
[] \(H(1;1;1)\)
\(\iff(x-3)^2+y^2+(z-3)^2=7+9+9=25\)
[] \(\Omega(3;0;3)\) et \(R=\sqrt{25}=5\)
2. a) \(\overrightarrow{AB}(2;4;0)\), \(\overrightarrow{AC}(0;4;2)\) :
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(4\times2-0\times4)\vec{i}-(2\times2-0\times0)\vec{j}+(2\times4-4\times0)\vec{k}\)
\(=8\vec{i}-4\vec{j}+8\vec{k}\)
Aire de \(ABC\) \(=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|=\dfrac{1}{2}\sqrt{64+16+64}=\dfrac{12}{2}\) :
[] \(6\) u.a.
b) \(\vec{n}(2;-1;2)\) est normal à \((ABC)\) : \(2x-y+2z+d=0\) et \(A\in(ABC)\) : \(3+d=0\) :
[] \((ABC):2x-y+2z-3=0\)
3. a) \(d=\dfrac{|6-0+6-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{9}{3}=3<5\) : le plan coupe \((S)\) selon un cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}\) :
[] \(r=4\)
b) \((\Delta):\begin{cases}x=3+2t\\y=-t\\z=3+2t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\). \(H\in(\Delta)\cap(ABC)\) : \(2(3+2t)+t+2(3+2t)-3=0\iff9t+9=0\iff t=-1\) :
[] \(H(1;1;1)\)
Exercice 3 (7 pts)
Pour tout \(z\in\mathbb{C}\setminus\{i\}\), on pose \(f(z)=\dfrac{z}{z-i}\).
1. Écrire sous forme algébrique \(f(1+i)\) et \(f(3+2i)\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\setminus\{i\}\) l’équation \(f(z)=2\).
3. On pose \(z=x+iy\) (\((x;y)\in\mathbb{R}^2\), \(z\neq i\)).
a) Montrer que \(f(z)=\dfrac{x^2+y^2-y+ix}{x^2+(y-1)^2}\).
b) En déduire l’ensemble \((E)\) des points \(M(z)\) tels que \(f(z)\) soit imaginaire pur.
4. Déterminer l’ensemble \((F)\) des points \(M(z)\) tels que \(|f(z)|=1\).
1. Écrire sous forme algébrique \(f(1+i)\) et \(f(3+2i)\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\setminus\{i\}\) l’équation \(f(z)=2\).
3. On pose \(z=x+iy\) (\((x;y)\in\mathbb{R}^2\), \(z\neq i\)).
a) Montrer que \(f(z)=\dfrac{x^2+y^2-y+ix}{x^2+(y-1)^2}\).
b) En déduire l’ensemble \((E)\) des points \(M(z)\) tels que \(f(z)\) soit imaginaire pur.
4. Déterminer l’ensemble \((F)\) des points \(M(z)\) tels que \(|f(z)|=1\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(f(1+i)=\dfrac{1+i}{1}=1+i\) ; \(f(3+2i)=\dfrac{(3+2i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\dfrac{11+3i}{10}\) :
[] \(f(1+i)=1+i\) ; \(f(3+2i)=\dfrac{11}{10}+\dfrac{3}{10}i\)
2. \(\dfrac{z}{z-i}=2\iff z=2z-2i\iff z=2i\) (\(2i\neq i\)) :
[] \(S=\{2i\}\)
3. a) \(f(z)=\dfrac{(x+iy)\left(x-i(y-1)\right)}{x^2+(y-1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2+y(y-1)+i\left(xy-x(y-1)\right)}{x^2+(y-1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2+y^2-y+ix}{x^2+(y-1)^2}\)
b) \(f(z)\in i\mathbb{R}\iff x^2+y^2-y=0\)
\(\iff x^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
[] \((E)\) est le cercle de centre \(\Omega\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\) et de rayon \(\dfrac{1}{2}\), privé du point d’affixe \(i\)
4. \(|f(z)|=1\iff|z|=|z-i|\iff OM=BM\) avec \(B(i)\) :
[] \((F)\) est la médiatrice de \([OB]\), la droite \(y=\dfrac{1}{2}\)
[] \(f(1+i)=1+i\) ; \(f(3+2i)=\dfrac{11}{10}+\dfrac{3}{10}i\)
2. \(\dfrac{z}{z-i}=2\iff z=2z-2i\iff z=2i\) (\(2i\neq i\)) :
[] \(S=\{2i\}\)
3. a) \(f(z)=\dfrac{(x+iy)\left(x-i(y-1)\right)}{x^2+(y-1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2+y(y-1)+i\left(xy-x(y-1)\right)}{x^2+(y-1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2+y^2-y+ix}{x^2+(y-1)^2}\)
b) \(f(z)\in i\mathbb{R}\iff x^2+y^2-y=0\)
\(\iff x^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
[] \((E)\) est le cercle de centre \(\Omega\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\) et de rayon \(\dfrac{1}{2}\), privé du point d’affixe \(i\)
4. \(|f(z)|=1\iff|z|=|z-i|\iff OM=BM\) avec \(B(i)\) :
[] \((F)\) est la médiatrice de \([OB]\), la droite \(y=\dfrac{1}{2}\)