Exercice 1 (6 pts)
1. a) Montrer que \(F(x)=x\ln x-x\) est une primitive de \(x\mapsto\ln x\) sur \(]0;+\infty[\).
b) En déduire \(I=\int_1^e\ln x\,dx\).
2. Calculer : \(J=\int_0^1x^2e^{x^3}dx\) ; \(K=\int_0^1\dfrac{1}{2x+1}dx\) ; \(M=\int_0^{\pi}\cos^2x\,dx\).
3. Par intégration par parties, calculer \(N=\int_0^1xe^{-2x}dx\).
b) En déduire \(I=\int_1^e\ln x\,dx\).
2. Calculer : \(J=\int_0^1x^2e^{x^3}dx\) ; \(K=\int_0^1\dfrac{1}{2x+1}dx\) ; \(M=\int_0^{\pi}\cos^2x\,dx\).
3. Par intégration par parties, calculer \(N=\int_0^1xe^{-2x}dx\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(F'(x)=\ln x+x\times\dfrac{1}{x}-1=\ln x\) ✔. b) \(I=F(e)-F(1)=(e-e)-(0-1)\) :
[] \(I=1\)
2. \(J=\left[\dfrac{1}{3}e^{x^3}\right]_0^1=\dfrac{e-1}{3}\) (forme \(\dfrac{1}{3}u'e^u\)) ; \(K=\left[\dfrac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_0^1=\dfrac{\ln3}{2}\).
\(\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\)
\(M=\left[\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\pi}=\dfrac{\pi}{2}\)
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
3. \(u'(x)=e^{-2x}\), \(v(x)=x\) : \(N=\left[-\dfrac{x}{2}e^{-2x}\right]_0^1+\dfrac{1}{2}\int_0^1e^{-2x}dx=-\dfrac{1}{2e^2}+\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{e^2}\right)\) :
[] \(N=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4e^2}\)
[] \(I=1\)
2. \(J=\left[\dfrac{1}{3}e^{x^3}\right]_0^1=\dfrac{e-1}{3}\) (forme \(\dfrac{1}{3}u'e^u\)) ; \(K=\left[\dfrac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_0^1=\dfrac{\ln3}{2}\).
\(\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\)
\(M=\left[\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\pi}=\dfrac{\pi}{2}\)
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
3. \(u'(x)=e^{-2x}\), \(v(x)=x\) : \(N=\left[-\dfrac{x}{2}e^{-2x}\right]_0^1+\dfrac{1}{2}\int_0^1e^{-2x}dx=-\dfrac{1}{2e^2}+\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{e^2}\right)\) :
[] \(N=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4e^2}\)
Exercice 2 (7 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\), on considère la sphère \((S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-3=0\) et le point \(A(3;4;0)\).
1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \((S)\), puis vérifier que \(A\in(S)\).
2. Déterminer une équation du plan \((T)\) tangent à \((S)\) au point \(A\).
3. Soit \((Q)\) le plan d’équation \(2x-y+2z+11=0\).
a) Montrer que \((Q)\) est tangent à \((S)\).
b) Déterminer les coordonnées du point de contact \(E\) de \((Q)\) et \((S)\).
4. Calculer \(\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega E}\) et en déduire que les points \(\Omega\), \(A\) et \(E\) ne sont pas alignés.
1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \((S)\), puis vérifier que \(A\in(S)\).
2. Déterminer une équation du plan \((T)\) tangent à \((S)\) au point \(A\).
3. Soit \((Q)\) le plan d’équation \(2x-y+2z+11=0\).
a) Montrer que \((Q)\) est tangent à \((S)\).
b) Déterminer les coordonnées du point de contact \(E\) de \((Q)\) et \((S)\).
4. Calculer \(\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega E}\) et en déduire que les points \(\Omega\), \(A\) et \(E\) ne sont pas alignés.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=3+1+4+1\)
\(=9\)
\(\Omega(1;2;-1)\), \(R=3\) ; \(\Omega A=\sqrt{4+4+1}=3=R\) :
[] \(A\in(S)\)
2. \((T)\) passe par \(A\) et a pour vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega A}(2;2;1)\) : \(2x+2y+z+d=0\) avec \(6+8+d=0\) :
[] \((T):2x+2y+z-14=0\)
3. a) \(d\left(\Omega;(Q)\right)=\dfrac{|2-2-2+11|}{3}=\dfrac{9}{3}=3=R\) :
[] \((Q)\) est tangent à \((S)\)
b) \(E\) est le projeté de \(\Omega\) sur \((Q)\) : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=-1+2t\end{cases}\) dans \((Q)\) : \(9t+9=0\), \(t=-1\) :
[] \(E(-1;3;-3)\)
4. \(\overrightarrow{\Omega A}(2;2;1)\), \(\overrightarrow{\Omega E}(-2;1;-2)\) :
\(\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega E}=(-4-1)\vec{i}-(-4+2)\vec{j}+(2+4)\vec{k}\)
\(\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega E}=-5\vec{i}+2\vec{j}+6\vec{k}\) :
[] le produit vectoriel n’est pas nul : \(\Omega\), \(A\) et \(E\) ne sont pas alignés
\(=9\)
\(\Omega(1;2;-1)\), \(R=3\) ; \(\Omega A=\sqrt{4+4+1}=3=R\) :
[] \(A\in(S)\)
2. \((T)\) passe par \(A\) et a pour vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega A}(2;2;1)\) : \(2x+2y+z+d=0\) avec \(6+8+d=0\) :
[] \((T):2x+2y+z-14=0\)
3. a) \(d\left(\Omega;(Q)\right)=\dfrac{|2-2-2+11|}{3}=\dfrac{9}{3}=3=R\) :
[] \((Q)\) est tangent à \((S)\)
b) \(E\) est le projeté de \(\Omega\) sur \((Q)\) : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=-1+2t\end{cases}\) dans \((Q)\) : \(9t+9=0\), \(t=-1\) :
[] \(E(-1;3;-3)\)
4. \(\overrightarrow{\Omega A}(2;2;1)\), \(\overrightarrow{\Omega E}(-2;1;-2)\) :
\(\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega E}=(-4-1)\vec{i}-(-4+2)\vec{j}+(2+4)\vec{k}\)
\(\overrightarrow{\Omega A}\wedge\overrightarrow{\Omega E}=-5\vec{i}+2\vec{j}+6\vec{k}\) :
[] le produit vectoriel n’est pas nul : \(\Omega\), \(A\) et \(E\) ne sont pas alignés
Exercice 3 (7 pts)
Pour tout \(z\in\mathbb{C}\setminus\{i\}\), on pose \(f(z)=\dfrac{z}{z-i}\).
1. Écrire sous forme algébrique \(f(1+i)\) et \(f(3+2i)\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\setminus\{i\}\) l’équation \(f(z)=2\).
3. On pose \(z=x+iy\) (\((x;y)\in\mathbb{R}^2\), \(z\neq i\)).
a) Montrer que \(f(z)=\dfrac{x^2+y^2-y+ix}{x^2+(y-1)^2}\).
b) En déduire l’ensemble \((E)\) des points \(M(z)\) tels que \(f(z)\) soit imaginaire pur.
4. Déterminer l’ensemble \((F)\) des points \(M(z)\) tels que \(|f(z)|=1\).
1. Écrire sous forme algébrique \(f(1+i)\) et \(f(3+2i)\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\setminus\{i\}\) l’équation \(f(z)=2\).
3. On pose \(z=x+iy\) (\((x;y)\in\mathbb{R}^2\), \(z\neq i\)).
a) Montrer que \(f(z)=\dfrac{x^2+y^2-y+ix}{x^2+(y-1)^2}\).
b) En déduire l’ensemble \((E)\) des points \(M(z)\) tels que \(f(z)\) soit imaginaire pur.
4. Déterminer l’ensemble \((F)\) des points \(M(z)\) tels que \(|f(z)|=1\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(f(1+i)=\dfrac{1+i}{1}=1+i\) ; \(f(3+2i)=\dfrac{(3+2i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\dfrac{11+3i}{10}\) :
[] \(f(1+i)=1+i\) ; \(f(3+2i)=\dfrac{11}{10}+\dfrac{3}{10}i\)
2. \(\dfrac{z}{z-i}=2\iff z=2z-2i\iff z=2i\) (\(2i\neq i\)) :
[] \(S=\{2i\}\)
3. a) \(f(z)=\dfrac{(x+iy)\left(x-i(y-1)\right)}{x^2+(y-1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2+y(y-1)+i\left(xy-x(y-1)\right)}{x^2+(y-1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2+y^2-y+ix}{x^2+(y-1)^2}\)
b) \(f(z)\in i\mathbb{R}\iff x^2+y^2-y=0\)
\(\iff x^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
[] \((E)\) est le cercle de centre \(\Omega\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\) et de rayon \(\dfrac{1}{2}\), privé du point d’affixe \(i\)
4. \(|f(z)|=1\iff|z|=|z-i|\iff OM=BM\) avec \(B(i)\) :
[] \((F)\) est la médiatrice de \([OB]\), la droite \(y=\dfrac{1}{2}\)
[] \(f(1+i)=1+i\) ; \(f(3+2i)=\dfrac{11}{10}+\dfrac{3}{10}i\)
2. \(\dfrac{z}{z-i}=2\iff z=2z-2i\iff z=2i\) (\(2i\neq i\)) :
[] \(S=\{2i\}\)
3. a) \(f(z)=\dfrac{(x+iy)\left(x-i(y-1)\right)}{x^2+(y-1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2+y(y-1)+i\left(xy-x(y-1)\right)}{x^2+(y-1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2+y^2-y+ix}{x^2+(y-1)^2}\)
b) \(f(z)\in i\mathbb{R}\iff x^2+y^2-y=0\)
\(\iff x^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
[] \((E)\) est le cercle de centre \(\Omega\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\) et de rayon \(\dfrac{1}{2}\), privé du point d’affixe \(i\)
4. \(|f(z)|=1\iff|z|=|z-i|\iff OM=BM\) avec \(B(i)\) :
[] \((F)\) est la médiatrice de \([OB]\), la droite \(y=\dfrac{1}{2}\)