Exercice 1 (6 pts)
1. a) Montrer que \(F(x)=x\ln x-x\) est une primitive de \(x\mapsto\ln x\) sur \(]0;+\infty[\).
b) En déduire \(I=\int_1^e\ln x\,dx\).
2. Calculer : \(J=\int_0^1x^2e^{x^3}dx\) ; \(K=\int_0^1\dfrac{1}{2x+1}dx\) ; \(M=\int_0^{\pi}\cos^2x\,dx\).
3. Par intégration par parties, calculer \(N=\int_0^1xe^{-2x}dx\).
b) En déduire \(I=\int_1^e\ln x\,dx\).
2. Calculer : \(J=\int_0^1x^2e^{x^3}dx\) ; \(K=\int_0^1\dfrac{1}{2x+1}dx\) ; \(M=\int_0^{\pi}\cos^2x\,dx\).
3. Par intégration par parties, calculer \(N=\int_0^1xe^{-2x}dx\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(F'(x)=\ln x+x\times\dfrac{1}{x}-1=\ln x\) ✔. b) \(I=F(e)-F(1)=(e-e)-(0-1)\) :
[] \(I=1\)
2. \(J=\left[\dfrac{1}{3}e^{x^3}\right]_0^1=\dfrac{e-1}{3}\) (forme \(\dfrac{1}{3}u'e^u\)) ; \(K=\left[\dfrac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_0^1=\dfrac{\ln3}{2}\).
\(\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\)
\(M=\left[\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\pi}=\dfrac{\pi}{2}\)
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
3. \(u'(x)=e^{-2x}\), \(v(x)=x\) : \(N=\left[-\dfrac{x}{2}e^{-2x}\right]_0^1+\dfrac{1}{2}\int_0^1e^{-2x}dx=-\dfrac{1}{2e^2}+\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{e^2}\right)\) :
[] \(N=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4e^2}\)
[] \(I=1\)
2. \(J=\left[\dfrac{1}{3}e^{x^3}\right]_0^1=\dfrac{e-1}{3}\) (forme \(\dfrac{1}{3}u'e^u\)) ; \(K=\left[\dfrac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_0^1=\dfrac{\ln3}{2}\).
\(\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\)
\(M=\left[\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\pi}=\dfrac{\pi}{2}\)
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
3. \(u'(x)=e^{-2x}\), \(v(x)=x\) : \(N=\left[-\dfrac{x}{2}e^{-2x}\right]_0^1+\dfrac{1}{2}\int_0^1e^{-2x}dx=-\dfrac{1}{2e^2}+\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{e^2}\right)\) :
[] \(N=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4e^2}\)
Exercice 2 (7 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\), on considère les points \(C(2;0;-1)\), \(D(0;1;2)\) et l’ensemble \((S)\) des points \(M(x;y;z)\) tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+8y-4z=0\).
1. Calculer \(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OD}\) et en déduire que \(x-4y+2z=0\) est une équation du plan \((OCD)\).
2. Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(1;-4;2)\) et de rayon \(R=\sqrt{21}\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(OCD)\right)\) et en déduire que le plan \((OCD)\) est tangent à \((S)\).
b) Vérifier que \(O\in(S)\) et en déduire le point de contact.
4. Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Omega O)\) et vérifier qu’elle est perpendiculaire à \((OCD)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OD}\) et en déduire que \(x-4y+2z=0\) est une équation du plan \((OCD)\).
2. Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(1;-4;2)\) et de rayon \(R=\sqrt{21}\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(OCD)\right)\) et en déduire que le plan \((OCD)\) est tangent à \((S)\).
b) Vérifier que \(O\in(S)\) et en déduire le point de contact.
4. Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Omega O)\) et vérifier qu’elle est perpendiculaire à \((OCD)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{OC}(2;0;-1)\), \(\overrightarrow{OD}(0;1;2)\) :
\(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OD}=(0\times2+1\times1)\vec{i}-(2\times2-0)\vec{j}+(2\times1-0)\vec{k}\)
\(=\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}\)
[] \((OCD)\) passe par \(O\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1;-4;2)\) : \(x-4y+2z=0\)
2. \((x-1)^2-1+(y+4)^2-16+(z-2)^2-4=0\)
\(\iff(x-1)^2+(y+4)^2+(z-2)^2=21\)
[] \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(1;-4;2)\) et de rayon \(\sqrt{21}\)
3. a) \(d=\dfrac{|1+16+4|}{\sqrt{1+16+4}}=\dfrac{21}{\sqrt{21}}=\sqrt{21}=R\) :
[] \((OCD)\) est tangent à \((S)\)
b) \(0+0+0-0+0-0=0\) : \(O\in(S)\) et \(O\in(OCD)\) :
[] le point de contact est \(O\)
4. \(\overrightarrow{O\Omega}(1;-4;2)=\vec{n}\) : \((\Omega O):\begin{cases}x=t\\y=-4t\\z=2t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\) ; elle est dirigée par \(\vec{n}\) :
[] \((\Omega O)\perp(OCD)\)
\(\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OD}=(0\times2+1\times1)\vec{i}-(2\times2-0)\vec{j}+(2\times1-0)\vec{k}\)
\(=\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}\)
[] \((OCD)\) passe par \(O\) et a pour vecteur normal \(\vec{n}(1;-4;2)\) : \(x-4y+2z=0\)
2. \((x-1)^2-1+(y+4)^2-16+(z-2)^2-4=0\)
\(\iff(x-1)^2+(y+4)^2+(z-2)^2=21\)
[] \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(1;-4;2)\) et de rayon \(\sqrt{21}\)
3. a) \(d=\dfrac{|1+16+4|}{\sqrt{1+16+4}}=\dfrac{21}{\sqrt{21}}=\sqrt{21}=R\) :
[] \((OCD)\) est tangent à \((S)\)
b) \(0+0+0-0+0-0=0\) : \(O\in(S)\) et \(O\in(OCD)\) :
[] le point de contact est \(O\)
4. \(\overrightarrow{O\Omega}(1;-4;2)=\vec{n}\) : \((\Omega O):\begin{cases}x=t\\y=-4t\\z=2t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\) ; elle est dirigée par \(\vec{n}\) :
[] \((\Omega O)\perp(OCD)\)
Exercice 3 (7 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-2z+5=0\).
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=1+2i\), \(b=3-2i\) et \(c=-1+6i\).
a) Calculer \(\dfrac{a-c}{b-c}\) et en déduire que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
b) Soit \(T\) la translation de vecteur \(\vec{w}\) d’affixe \(3-i\). Vérifier que l’affixe du point \(D=T(C)\) est \(d=2+5i\).
c) Montrer que \(\dfrac{d-c}{b-c}=\dfrac{1+i}{4}\), puis en déduire une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)\).
3. Écrire \(\dfrac{1+i}{4}\) sous forme exponentielle.
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=1+2i\), \(b=3-2i\) et \(c=-1+6i\).
a) Calculer \(\dfrac{a-c}{b-c}\) et en déduire que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
b) Soit \(T\) la translation de vecteur \(\vec{w}\) d’affixe \(3-i\). Vérifier que l’affixe du point \(D=T(C)\) est \(d=2+5i\).
c) Montrer que \(\dfrac{d-c}{b-c}=\dfrac{1+i}{4}\), puis en déduire une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)\).
3. Écrire \(\dfrac{1+i}{4}\) sous forme exponentielle.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\Delta=-16=(4i)^2\) :
[] \(S=\{1+2i;1-2i\}\)
2. a) \(\dfrac{a-c}{b-c}=\dfrac{2-4i}{4-8i}\)
\(=\dfrac{1}{2}\in\mathbb{R}\)
[] \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés
b) \(d=c+(3-i)=-1+6i+3-i=2+5i\) ✔.
c) \(\dfrac{d-c}{b-c}=\dfrac{3-i}{4-8i}=\dfrac{(3-i)(4+8i)}{80}\)
\(=\dfrac{12+24i-4i+8}{80}=\dfrac{20+20i}{80}=\dfrac{1+i}{4}\)
\(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{1+i}{4}\right)\) :
[] \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]\)
[] 3. \(\dfrac{1+i}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}e^{i\frac{\pi}{4}}\)
[] \(S=\{1+2i;1-2i\}\)
2. a) \(\dfrac{a-c}{b-c}=\dfrac{2-4i}{4-8i}\)
\(=\dfrac{1}{2}\in\mathbb{R}\)
[] \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés
b) \(d=c+(3-i)=-1+6i+3-i=2+5i\) ✔.
c) \(\dfrac{d-c}{b-c}=\dfrac{3-i}{4-8i}=\dfrac{(3-i)(4+8i)}{80}\)
\(=\dfrac{12+24i-4i+8}{80}=\dfrac{20+20i}{80}=\dfrac{1+i}{4}\)
\(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{1+i}{4}\right)\) :
[] \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]\)
[] 3. \(\dfrac{1+i}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}e^{i\frac{\pi}{4}}\)