Exercice 1 (6 pts)
1. Calculer : \(I=\int_0^1\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}dx\) et \(J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\,dx\) (on linéarisera \(\sin^2x\)).
2. Soit \(f(x)=(x-1)e^x\).
a) Vérifier que \(F(x)=(x-2)e^x\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
b) Étudier le signe de \(f\) sur \([0;1]\), puis calculer l’aire \(\mathcal{A}\) (en unité d’aire) du domaine limité par \((C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=1\).
3. Par intégration par parties, calculer \(K=\int_0^1(x+1)e^{-x}dx\).
2. Soit \(f(x)=(x-1)e^x\).
a) Vérifier que \(F(x)=(x-2)e^x\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
b) Étudier le signe de \(f\) sur \([0;1]\), puis calculer l’aire \(\mathcal{A}\) (en unité d’aire) du domaine limité par \((C_f)\), l’axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=1\).
3. Par intégration par parties, calculer \(K=\int_0^1(x+1)e^{-x}dx\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(I=\left[\ln\left(x^2+x+1\right)\right]_0^1=\ln3\) (forme \(\dfrac{u'}{u}\), \(u>0\)).
\(\sin^2x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\)
\(J=\left[\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{4}\)
2. a) \(F'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x=f(x)\) ✔.
b) Sur \([0;1]\) : \(x-1\leq0\) et \(e^x>0\), donc \(f(x)\leq0\) :
\(\mathcal{A}=-\int_0^1f(x)\,dx=-\left[(x-2)e^x\right]_0^1\)
\(=-(-e+2)=e-2\)
[] \(\mathcal{A}=(e-2)\) u.a.
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
3. \(u'(x)=e^{-x}\), \(v(x)=x+1\) : \(K=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^1+\int_0^1e^{-x}dx=\left(1-\dfrac{2}{e}\right)+\left(1-\dfrac{1}{e}\right)\) :
[] \(K=2-\dfrac{3}{e}\)
\(\sin^2x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\)
\(J=\left[\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{4}\)
2. a) \(F'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x=f(x)\) ✔.
b) Sur \([0;1]\) : \(x-1\leq0\) et \(e^x>0\), donc \(f(x)\leq0\) :
\(\mathcal{A}=-\int_0^1f(x)\,dx=-\left[(x-2)e^x\right]_0^1\)
\(=-(-e+2)=e-2\)
[] \(\mathcal{A}=(e-2)\) u.a.
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
3. \(u'(x)=e^{-x}\), \(v(x)=x+1\) : \(K=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^1+\int_0^1e^{-x}dx=\left(1-\dfrac{2}{e}\right)+\left(1-\dfrac{1}{e}\right)\) :
[] \(K=2-\dfrac{3}{e}\)
Exercice 2 (7 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\), on considère les points \(A(2;1;0)\), \(B(-4;1;0)\) et le vecteur \(\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}\).
1. Soit \((P)\) le plan passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{u}\). Montrer que \((P):x+y-z-3=0\).
2. Soit \((S)\) l’ensemble des points \(M\) de l’espace tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\). Montrer que \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(-1;1;0)\) et de rayon \(3\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(P)\right)\) et en déduire que \((P)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((C)\) dont on calculera le rayon.
b) Montrer que le centre de \((C)\) est le point \(H(0;2;-1)\).
4. Calculer \(\overrightarrow{OH}\wedge\overrightarrow{OA}\) et en déduire l’aire du triangle \(OHA\).
1. Soit \((P)\) le plan passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{u}\). Montrer que \((P):x+y-z-3=0\).
2. Soit \((S)\) l’ensemble des points \(M\) de l’espace tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\). Montrer que \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(-1;1;0)\) et de rayon \(3\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(P)\right)\) et en déduire que \((P)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((C)\) dont on calculera le rayon.
b) Montrer que le centre de \((C)\) est le point \(H(0;2;-1)\).
4. Calculer \(\overrightarrow{OH}\wedge\overrightarrow{OA}\) et en déduire l’aire du triangle \(OHA\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((P):x+y-z+d=0\) et \(A\in(P)\) : \(2+1+d=0\) :
[] \((P):x+y-z-3=0\)
2. \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff M\) appartient à la sphère de diamètre \([AB]\) : centre le milieu \(\Omega(-1;1;0)\), rayon \(\dfrac{AB}{2}=\dfrac{6}{2}\) :
[] \(\Omega(-1;1;0)\) et \(R=3\)
3. a) \(d=\dfrac{|-1+1-0-3|}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}<3\) : cercle de rayon \(r=\sqrt{9-3}\) :
[] \(r=\sqrt{6}\)
b) \(H\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((P)\) : \(\begin{cases}x=-1+t\\y=1+t\\z=-t\end{cases}\) dans \((P)\) : \(-1+t+1+t+t-3=0\iff t=1\) :
[] \(H(0;2;-1)\)
4. \(\overrightarrow{OH}(0;2;-1)\), \(\overrightarrow{OA}(2;1;0)\) :
\(\overrightarrow{OH}\wedge\overrightarrow{OA}=(0+1)\vec{i}-(0+2)\vec{j}+(0-4)\vec{k}=\vec{i}-2\vec{j}-4\vec{k}\)
[] Aire de \(OHA\) \(=\dfrac{1}{2}\sqrt{1+4+16}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}\) u.a.
[] \((P):x+y-z-3=0\)
2. \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff M\) appartient à la sphère de diamètre \([AB]\) : centre le milieu \(\Omega(-1;1;0)\), rayon \(\dfrac{AB}{2}=\dfrac{6}{2}\) :
[] \(\Omega(-1;1;0)\) et \(R=3\)
3. a) \(d=\dfrac{|-1+1-0-3|}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}<3\) : cercle de rayon \(r=\sqrt{9-3}\) :
[] \(r=\sqrt{6}\)
b) \(H\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((P)\) : \(\begin{cases}x=-1+t\\y=1+t\\z=-t\end{cases}\) dans \((P)\) : \(-1+t+1+t+t-3=0\iff t=1\) :
[] \(H(0;2;-1)\)
4. \(\overrightarrow{OH}(0;2;-1)\), \(\overrightarrow{OA}(2;1;0)\) :
\(\overrightarrow{OH}\wedge\overrightarrow{OA}=(0+1)\vec{i}-(0+2)\vec{j}+(0-4)\vec{k}=\vec{i}-2\vec{j}-4\vec{k}\)
[] Aire de \(OHA\) \(=\dfrac{1}{2}\sqrt{1+4+16}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}\) u.a.
Exercice 3 (7 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-2z+10=0\).
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=1+3i\), \(b=5+i\) et \(c=3+7i\).
a) Montrer que \(C\) est l’image de \(B\) par la rotation \(R\) de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
b) En déduire que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).
c) Déterminer l’affixe \(d\) du point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un carré.
3. Écrire \(\dfrac{c-a}{b-a}\) sous forme exponentielle.
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=1+3i\), \(b=5+i\) et \(c=3+7i\).
a) Montrer que \(C\) est l’image de \(B\) par la rotation \(R\) de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
b) En déduire que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).
c) Déterminer l’affixe \(d\) du point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un carré.
3. Écrire \(\dfrac{c-a}{b-a}\) sous forme exponentielle.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\Delta=4-40=-36=(6i)^2\) :
[] \(S=\{1+3i;1-3i\}\)
2. a) \(R\) : \(z'=a+i(z-a)\) ; \(a+i(b-a)=1+3i+i(4-2i)\)
\(=1+3i+4i+2=3+7i=c\)
[] \(C=R(B)\)
b) \(AC=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\)
c) \(ABDC\) carré \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff d=b+c-a\) :
[] \(d=7+5i\)
[] 3. \(\dfrac{c-a}{b-a}=i=e^{i\frac{\pi}{2}}\)
[] \(S=\{1+3i;1-3i\}\)
2. a) \(R\) : \(z'=a+i(z-a)\) ; \(a+i(b-a)=1+3i+i(4-2i)\)
\(=1+3i+4i+2=3+7i=c\)
[] \(C=R(B)\)
b) \(AC=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\)
c) \(ABDC\) carré \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff d=b+c-a\) :
[] \(d=7+5i\)
[] 3. \(\dfrac{c-a}{b-a}=i=e^{i\frac{\pi}{2}}\)