Exercice 1 (6 pts)
1. Calculer les intégrales suivantes :
\(I=\int_0^1\left(3x^2-2x+1\right)dx\) ; \(J=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\cos(3x)\,dx\) ; \(K=\int_0^1e^{2x}dx\) ; \(L=\int_1^e\dfrac{\ln x}{x}dx\).
2. En utilisant une intégration par parties, calculer : \(A=\int_0^1xe^x\,dx\) et \(B=\int_1^ex\ln x\,dx\).
\(I=\int_0^1\left(3x^2-2x+1\right)dx\) ; \(J=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\cos(3x)\,dx\) ; \(K=\int_0^1e^{2x}dx\) ; \(L=\int_1^e\dfrac{\ln x}{x}dx\).
2. En utilisant une intégration par parties, calculer : \(A=\int_0^1xe^x\,dx\) et \(B=\int_1^ex\ln x\,dx\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(I=\left[x^3-x^2+x\right]_0^1=1\) ; \(J=\left[\dfrac{1}{3}\sin(3x)\right]_0^{\frac{\pi}{6}}=\dfrac{1}{3}\sin\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{1}{3}\).
\(K=\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1=\dfrac{e^2-1}{2}\) ; \(L=\left[\dfrac{1}{2}(\ln x)^2\right]_1^e=\dfrac{1}{2}\) (forme \(u'u\)).
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
2. \(A\) : \(u'(x)=e^x\), \(v(x)=x\) : \(A=\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1e^xdx=e-(e-1)\) :
[] \(A=1\)
\(B\) : \(u'(x)=x\), \(v(x)=\ln x\) : \(B=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\dfrac{x}{2}dx=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2-1}{4}\) :
[] \(B=\dfrac{e^2+1}{4}\)
\(K=\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1=\dfrac{e^2-1}{2}\) ; \(L=\left[\dfrac{1}{2}(\ln x)^2\right]_1^e=\dfrac{1}{2}\) (forme \(u'u\)).
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
2. \(A\) : \(u'(x)=e^x\), \(v(x)=x\) : \(A=\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1e^xdx=e-(e-1)\) :
[] \(A=1\)
\(B\) : \(u'(x)=x\), \(v(x)=\ln x\) : \(B=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\dfrac{x}{2}dx=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2-1}{4}\) :
[] \(B=\dfrac{e^2+1}{4}\)
Exercice 2 (7 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\), on considère les points \(A(0;-3;0)\), \(B(2;1;0)\), \(C(0;1;2)\) et la sphère \((S):x^2+y^2+z^2-6x-6z-7=0\).
1. Montrer que \((S)\) a pour centre \(\Omega(3;0;3)\) et pour rayon \(R=5\).
2. a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=8\vec{i}-4\vec{j}+8\vec{k}\) et calculer l’aire du triangle \(ABC\).
b) En déduire que \(2x-y+2z-3=0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(ABC)\right)\) et montrer que \((ABC)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(r=4\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((ABC)\), puis déterminer le centre \(H\) de \((\Gamma)\).
1. Montrer que \((S)\) a pour centre \(\Omega(3;0;3)\) et pour rayon \(R=5\).
2. a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=8\vec{i}-4\vec{j}+8\vec{k}\) et calculer l’aire du triangle \(ABC\).
b) En déduire que \(2x-y+2z-3=0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(ABC)\right)\) et montrer que \((ABC)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(r=4\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((ABC)\), puis déterminer le centre \(H\) de \((\Gamma)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(x^2-6x+y^2+z^2-6z-7=0\)
\(\iff(x-3)^2+y^2+(z-3)^2=7+9+9=25\)
[] \(\Omega(3;0;3)\) et \(R=\sqrt{25}=5\)
2. a) \(\overrightarrow{AB}(2;4;0)\), \(\overrightarrow{AC}(0;4;2)\) :
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(4\times2-0\times4)\vec{i}-(2\times2-0\times0)\vec{j}+(2\times4-4\times0)\vec{k}\)
\(=8\vec{i}-4\vec{j}+8\vec{k}\)
Aire de \(ABC\) \(=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|=\dfrac{1}{2}\sqrt{64+16+64}=\dfrac{12}{2}\) :
[] \(6\) u.a.
b) \(\vec{n}(2;-1;2)\) est normal à \((ABC)\) : \(2x-y+2z+d=0\) et \(A\in(ABC)\) : \(3+d=0\) :
[] \((ABC):2x-y+2z-3=0\)
3. a) \(d=\dfrac{|6-0+6-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{9}{3}=3<5\) : le plan coupe \((S)\) selon un cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}\) :
[] \(r=4\)
b) \((\Delta):\begin{cases}x=3+2t\\y=-t\\z=3+2t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\). \(H\in(\Delta)\cap(ABC)\) : \(2(3+2t)+t+2(3+2t)-3=0\iff9t+9=0\iff t=-1\) :
[] \(H(1;1;1)\)
\(\iff(x-3)^2+y^2+(z-3)^2=7+9+9=25\)
[] \(\Omega(3;0;3)\) et \(R=\sqrt{25}=5\)
2. a) \(\overrightarrow{AB}(2;4;0)\), \(\overrightarrow{AC}(0;4;2)\) :
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(4\times2-0\times4)\vec{i}-(2\times2-0\times0)\vec{j}+(2\times4-4\times0)\vec{k}\)
\(=8\vec{i}-4\vec{j}+8\vec{k}\)
Aire de \(ABC\) \(=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|=\dfrac{1}{2}\sqrt{64+16+64}=\dfrac{12}{2}\) :
[] \(6\) u.a.
b) \(\vec{n}(2;-1;2)\) est normal à \((ABC)\) : \(2x-y+2z+d=0\) et \(A\in(ABC)\) : \(3+d=0\) :
[] \((ABC):2x-y+2z-3=0\)
3. a) \(d=\dfrac{|6-0+6-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{9}{3}=3<5\) : le plan coupe \((S)\) selon un cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}\) :
[] \(r=4\)
b) \((\Delta):\begin{cases}x=3+2t\\y=-t\\z=3+2t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\). \(H\in(\Delta)\cap(ABC)\) : \(2(3+2t)+t+2(3+2t)-3=0\iff9t+9=0\iff t=-1\) :
[] \(H(1;1;1)\)
Exercice 3 (7 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-2z+5=0\).
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=1+2i\), \(b=3-2i\) et \(c=-1+6i\).
a) Calculer \(\dfrac{a-c}{b-c}\) et en déduire que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
b) Soit \(T\) la translation de vecteur \(\vec{w}\) d’affixe \(3-i\). Vérifier que l’affixe du point \(D=T(C)\) est \(d=2+5i\).
c) Montrer que \(\dfrac{d-c}{b-c}=\dfrac{1+i}{4}\), puis en déduire une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)\).
3. Écrire \(\dfrac{1+i}{4}\) sous forme exponentielle.
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=1+2i\), \(b=3-2i\) et \(c=-1+6i\).
a) Calculer \(\dfrac{a-c}{b-c}\) et en déduire que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
b) Soit \(T\) la translation de vecteur \(\vec{w}\) d’affixe \(3-i\). Vérifier que l’affixe du point \(D=T(C)\) est \(d=2+5i\).
c) Montrer que \(\dfrac{d-c}{b-c}=\dfrac{1+i}{4}\), puis en déduire une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)\).
3. Écrire \(\dfrac{1+i}{4}\) sous forme exponentielle.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\Delta=-16=(4i)^2\) :
[] \(S=\{1+2i;1-2i\}\)
2. a) \(\dfrac{a-c}{b-c}=\dfrac{2-4i}{4-8i}\)
\(=\dfrac{1}{2}\in\mathbb{R}\)
[] \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés
b) \(d=c+(3-i)=-1+6i+3-i=2+5i\) ✔.
c) \(\dfrac{d-c}{b-c}=\dfrac{3-i}{4-8i}=\dfrac{(3-i)(4+8i)}{80}\)
\(=\dfrac{12+24i-4i+8}{80}=\dfrac{20+20i}{80}=\dfrac{1+i}{4}\)
\(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{1+i}{4}\right)\) :
[] \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]\)
[] 3. \(\dfrac{1+i}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}e^{i\frac{\pi}{4}}\)
[] \(S=\{1+2i;1-2i\}\)
2. a) \(\dfrac{a-c}{b-c}=\dfrac{2-4i}{4-8i}\)
\(=\dfrac{1}{2}\in\mathbb{R}\)
[] \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés
b) \(d=c+(3-i)=-1+6i+3-i=2+5i\) ✔.
c) \(\dfrac{d-c}{b-c}=\dfrac{3-i}{4-8i}=\dfrac{(3-i)(4+8i)}{80}\)
\(=\dfrac{12+24i-4i+8}{80}=\dfrac{20+20i}{80}=\dfrac{1+i}{4}\)
\(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{1+i}{4}\right)\) :
[] \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]\)
[] 3. \(\dfrac{1+i}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}e^{i\frac{\pi}{4}}\)