Exercice 1 (6 pts)
1. a) Montrer que \(F(x)=x\ln x-x\) est une primitive de \(x\mapsto\ln x\) sur \(]0;+\infty[\).
b) En déduire \(I=\int_1^e\ln x\,dx\).
2. Calculer : \(J=\int_0^1x^2e^{x^3}dx\) ; \(K=\int_0^1\dfrac{1}{2x+1}dx\) ; \(M=\int_0^{\pi}\cos^2x\,dx\).
3. Par intégration par parties, calculer \(N=\int_0^1xe^{-2x}dx\).
b) En déduire \(I=\int_1^e\ln x\,dx\).
2. Calculer : \(J=\int_0^1x^2e^{x^3}dx\) ; \(K=\int_0^1\dfrac{1}{2x+1}dx\) ; \(M=\int_0^{\pi}\cos^2x\,dx\).
3. Par intégration par parties, calculer \(N=\int_0^1xe^{-2x}dx\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(F'(x)=\ln x+x\times\dfrac{1}{x}-1=\ln x\) ✔. b) \(I=F(e)-F(1)=(e-e)-(0-1)\) :
[] \(I=1\)
2. \(J=\left[\dfrac{1}{3}e^{x^3}\right]_0^1=\dfrac{e-1}{3}\) (forme \(\dfrac{1}{3}u'e^u\)) ; \(K=\left[\dfrac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_0^1=\dfrac{\ln3}{2}\).
\(\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\)
\(M=\left[\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\pi}=\dfrac{\pi}{2}\)
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
3. \(u'(x)=e^{-2x}\), \(v(x)=x\) : \(N=\left[-\dfrac{x}{2}e^{-2x}\right]_0^1+\dfrac{1}{2}\int_0^1e^{-2x}dx=-\dfrac{1}{2e^2}+\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{e^2}\right)\) :
[] \(N=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4e^2}\)
[] \(I=1\)
2. \(J=\left[\dfrac{1}{3}e^{x^3}\right]_0^1=\dfrac{e-1}{3}\) (forme \(\dfrac{1}{3}u'e^u\)) ; \(K=\left[\dfrac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_0^1=\dfrac{\ln3}{2}\).
\(\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\)
\(M=\left[\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\pi}=\dfrac{\pi}{2}\)
💡 Intégration par parties : \(\int_a^bu'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\).
3. \(u'(x)=e^{-2x}\), \(v(x)=x\) : \(N=\left[-\dfrac{x}{2}e^{-2x}\right]_0^1+\dfrac{1}{2}\int_0^1e^{-2x}dx=-\dfrac{1}{2e^2}+\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{e^2}\right)\) :
[] \(N=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4e^2}\)
Exercice 2 (7 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\), on considère les points \(A(2;1;0)\), \(B(-4;1;0)\) et le vecteur \(\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}\).
1. Soit \((P)\) le plan passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{u}\). Montrer que \((P):x+y-z-3=0\).
2. Soit \((S)\) l’ensemble des points \(M\) de l’espace tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\). Montrer que \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(-1;1;0)\) et de rayon \(3\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(P)\right)\) et en déduire que \((P)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((C)\) dont on calculera le rayon.
b) Montrer que le centre de \((C)\) est le point \(H(0;2;-1)\).
4. Calculer \(\overrightarrow{OH}\wedge\overrightarrow{OA}\) et en déduire l’aire du triangle \(OHA\).
1. Soit \((P)\) le plan passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{u}\). Montrer que \((P):x+y-z-3=0\).
2. Soit \((S)\) l’ensemble des points \(M\) de l’espace tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\). Montrer que \((S)\) est la sphère de centre \(\Omega(-1;1;0)\) et de rayon \(3\).
3. a) Calculer \(d\left(\Omega;(P)\right)\) et en déduire que \((P)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((C)\) dont on calculera le rayon.
b) Montrer que le centre de \((C)\) est le point \(H(0;2;-1)\).
4. Calculer \(\overrightarrow{OH}\wedge\overrightarrow{OA}\) et en déduire l’aire du triangle \(OHA\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((P):x+y-z+d=0\) et \(A\in(P)\) : \(2+1+d=0\) :
[] \((P):x+y-z-3=0\)
2. \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff M\) appartient à la sphère de diamètre \([AB]\) : centre le milieu \(\Omega(-1;1;0)\), rayon \(\dfrac{AB}{2}=\dfrac{6}{2}\) :
[] \(\Omega(-1;1;0)\) et \(R=3\)
3. a) \(d=\dfrac{|-1+1-0-3|}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}<3\) : cercle de rayon \(r=\sqrt{9-3}\) :
[] \(r=\sqrt{6}\)
b) \(H\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((P)\) : \(\begin{cases}x=-1+t\\y=1+t\\z=-t\end{cases}\) dans \((P)\) : \(-1+t+1+t+t-3=0\iff t=1\) :
[] \(H(0;2;-1)\)
4. \(\overrightarrow{OH}(0;2;-1)\), \(\overrightarrow{OA}(2;1;0)\) :
\(\overrightarrow{OH}\wedge\overrightarrow{OA}=(0+1)\vec{i}-(0+2)\vec{j}+(0-4)\vec{k}=\vec{i}-2\vec{j}-4\vec{k}\)
[] Aire de \(OHA\) \(=\dfrac{1}{2}\sqrt{1+4+16}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}\) u.a.
[] \((P):x+y-z-3=0\)
2. \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff M\) appartient à la sphère de diamètre \([AB]\) : centre le milieu \(\Omega(-1;1;0)\), rayon \(\dfrac{AB}{2}=\dfrac{6}{2}\) :
[] \(\Omega(-1;1;0)\) et \(R=3\)
3. a) \(d=\dfrac{|-1+1-0-3|}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}<3\) : cercle de rayon \(r=\sqrt{9-3}\) :
[] \(r=\sqrt{6}\)
b) \(H\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((P)\) : \(\begin{cases}x=-1+t\\y=1+t\\z=-t\end{cases}\) dans \((P)\) : \(-1+t+1+t+t-3=0\iff t=1\) :
[] \(H(0;2;-1)\)
4. \(\overrightarrow{OH}(0;2;-1)\), \(\overrightarrow{OA}(2;1;0)\) :
\(\overrightarrow{OH}\wedge\overrightarrow{OA}=(0+1)\vec{i}-(0+2)\vec{j}+(0-4)\vec{k}=\vec{i}-2\vec{j}-4\vec{k}\)
[] Aire de \(OHA\) \(=\dfrac{1}{2}\sqrt{1+4+16}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}\) u.a.
Exercice 3 (7 pts)
On considère les points \(\Omega\), \(A\) et \(B\) d’affixes \(\omega=1+i\), \(a=1+2i\) et \(b=2+3i\), et l’homothétie \(h\) de centre \(\Omega\) et de rapport \(3\).
1. Montrer que l’écriture complexe de \(h\) est \(z'=3z-2-2i\).
2. Soient \(C=h(B)\) et \(D=h(A)\). Déterminer \(c\) et \(d\).
3. a) Écrire \(\dfrac{d-c}{b-a}\) sous forme algébrique.
b) En déduire que \(\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{AB}\) et que \((AB)\parallel(CD)\).
4. Écrire \(b-a\) sous forme exponentielle et calculer \((b-a)^4\).
1. Montrer que l’écriture complexe de \(h\) est \(z'=3z-2-2i\).
2. Soient \(C=h(B)\) et \(D=h(A)\). Déterminer \(c\) et \(d\).
3. a) Écrire \(\dfrac{d-c}{b-a}\) sous forme algébrique.
b) En déduire que \(\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{AB}\) et que \((AB)\parallel(CD)\).
4. Écrire \(b-a\) sous forme exponentielle et calculer \((b-a)^4\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(z'-\omega=3(z-\omega)\) : \(z'=3z-3(1+i)+1+i\)
\(=3z-2-2i\)
2. \(c=3(2+3i)-2-2i=4+7i\) ; \(d=3(1+2i)-2-2i=1+4i\) :
[] \(c=4+7i\) et \(d=1+4i\)
3. a) \(\dfrac{d-c}{b-a}=\dfrac{-3-3i}{1+i}\)
\(=-3\)
[] b) \(d-c=-3(b-a)\) : \(\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{AB}\), donc \((AB)\parallel(CD)\) et \(CD=3AB\)
4. \(b-a=1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\) et \((b-a)^4=4e^{i\pi}\)
\(=-4\)
\(=3z-2-2i\)
2. \(c=3(2+3i)-2-2i=4+7i\) ; \(d=3(1+2i)-2-2i=1+4i\) :
[] \(c=4+7i\) et \(d=1+4i\)
3. a) \(\dfrac{d-c}{b-a}=\dfrac{-3-3i}{1+i}\)
\(=-3\)
[] b) \(d-c=-3(b-a)\) : \(\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{AB}\), donc \((AB)\parallel(CD)\) et \(CD=3AB\)
4. \(b-a=1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\) et \((b-a)^4=4e^{i\pi}\)
\(=-4\)