Exercice 1 (6 pts)
1. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ \dfrac{e^x-1}{e^x+1}=1-\dfrac{2}{e^x+1}\).
b) Simplifier le nombre \(E=\dfrac{e^{2+\ln3}}{e^{1-\ln3}}\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(e^{2x-1}=e^{x+2}\) ; b) \(e^{2x}-4e^x+3=0\) ; c) \(3^{x+1}=27\) ; d) \(2-e^x>0\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(e^x-x\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}{x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}xe^{2x}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-x^2\right)\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1+e^x\right)}{x}\).
b) Simplifier le nombre \(E=\dfrac{e^{2+\ln3}}{e^{1-\ln3}}\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(e^{2x-1}=e^{x+2}\) ; b) \(e^{2x}-4e^x+3=0\) ; c) \(3^{x+1}=27\) ; d) \(2-e^x>0\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(e^x-x\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}{x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}xe^{2x}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-x^2\right)\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1+e^x\right)}{x}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(1-\dfrac{2}{e^x+1}=\dfrac{e^x+1-2}{e^x+1}\)
\(=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\)
b) \(E=e^{(2+\ln3)-(1-\ln3)}=e^{1+2\ln3}\)
\(=e\times e^{\ln9}=9e\)
2. a) \(2x-1=x+2\iff x=3\) :
[] \(S=\{3\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \(t^2-4t+3=(t-1)(t-3)=0\), \(t=1\) ou \(t=3\) :
[] \(S=\{0;\ln3\}\)
c) \(3^{x+1}=3^3\iff e^{(x+1)\ln3}=e^{3\ln3}\iff x+1=3\) :
[] \(S=\{2\}\)
d) \(e^x<2\iff x<\ln2\) :
[] \(S=]-\infty;\ln2[\)
3. a) \(e^x\to0\) et \(-x\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
b) \(\dfrac{e^{3x}-1}{x}=3\times\dfrac{e^{3x}-1}{3x}\to3\times1\) :
[] \(3\)
c) \(xe^{2x}=\dfrac{1}{2}\left(2x\right)e^{2x}\) et \(\lim\limits_{X\to-\infty}Xe^X=0\) :
[] \(0\)
d) \(e^x-x^2=x^2\left(\dfrac{e^x}{x^2}-1\right)\) et \(\dfrac{e^x}{x^2}\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
e) \(\ln\left(1+e^x\right)=\ln\left[e^x\left(1+e^{-x}\right)\right]=x+\ln\left(1+e^{-x}\right)\), donc
\(\dfrac{\ln\left(1+e^x\right)}{x}=1+\dfrac{\ln\left(1+e^{-x}\right)}{x}\to1\)
\(=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\)
b) \(E=e^{(2+\ln3)-(1-\ln3)}=e^{1+2\ln3}\)
\(=e\times e^{\ln9}=9e\)
2. a) \(2x-1=x+2\iff x=3\) :
[] \(S=\{3\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \(t^2-4t+3=(t-1)(t-3)=0\), \(t=1\) ou \(t=3\) :
[] \(S=\{0;\ln3\}\)
c) \(3^{x+1}=3^3\iff e^{(x+1)\ln3}=e^{3\ln3}\iff x+1=3\) :
[] \(S=\{2\}\)
d) \(e^x<2\iff x<\ln2\) :
[] \(S=]-\infty;\ln2[\)
3. a) \(e^x\to0\) et \(-x\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
b) \(\dfrac{e^{3x}-1}{x}=3\times\dfrac{e^{3x}-1}{3x}\to3\times1\) :
[] \(3\)
c) \(xe^{2x}=\dfrac{1}{2}\left(2x\right)e^{2x}\) et \(\lim\limits_{X\to-\infty}Xe^X=0\) :
[] \(0\)
d) \(e^x-x^2=x^2\left(\dfrac{e^x}{x^2}-1\right)\) et \(\dfrac{e^x}{x^2}\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
e) \(\ln\left(1+e^x\right)=\ln\left[e^x\left(1+e^{-x}\right)\right]=x+\ln\left(1+e^{-x}\right)\), donc
\(\dfrac{\ln\left(1+e^x\right)}{x}=1+\dfrac{\ln\left(1+e^{-x}\right)}{x}\to1\)
Exercice 2 (5 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-6z+18=0\).
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=3+3i\), \(b=3-3i\) et \(c=6\).
a) Écrire \(a\) sous forme exponentielle.
b) Montrer que \(\dfrac{a-c}{b-c}=-i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
3. Soit \(R\) la rotation de centre \(C\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).
a) Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=-iz+6+6i\), puis vérifier que \(R(B)=A\).
b) Montrer que \(OACB\) est un carré.
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=3+3i\), \(b=3-3i\) et \(c=6\).
a) Écrire \(a\) sous forme exponentielle.
b) Montrer que \(\dfrac{a-c}{b-c}=-i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
3. Soit \(R\) la rotation de centre \(C\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).
a) Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=-iz+6+6i\), puis vérifier que \(R(B)=A\).
b) Montrer que \(OACB\) est un carré.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\Delta=36-72=-36=(6i)^2\) :
[] \(S=\{3+3i;3-3i\}\)
[] 2. a) \(|a|=3\sqrt{2}\) : \(a=3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)
b) \(\dfrac{a-c}{b-c}=\dfrac{-3+3i}{-3-3i}=\dfrac{-1+i}{-1-i}\)
\(=\dfrac{(-1+i)^2}{2}=\dfrac{-2i}{2}=-i\)
\(CA=CB\) et \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(C\)
3. a) \(z'-c=e^{-i\frac{\pi}{2}}(z-c)\) : \(z'=-i(z-6)+6\)
\(=-iz+6+6i\)
\(-i(3-3i)+6+6i=-3i-3+6+6i=3+3i=a\) :
[] \(R(B)=A\)
b) \(\dfrac{a+b}{2}=3=\dfrac{0+c}{2}\) : les diagonales \([OC]\) et \([AB]\) ont le même milieu, et \(OC=AB=6\) ; de plus \((AB)\perp(OC)\) (\(AB\) est vertical, \(OC\) horizontal) :
[] \(OACB\) est un carré
[] \(S=\{3+3i;3-3i\}\)
[] 2. a) \(|a|=3\sqrt{2}\) : \(a=3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)
b) \(\dfrac{a-c}{b-c}=\dfrac{-3+3i}{-3-3i}=\dfrac{-1+i}{-1-i}\)
\(=\dfrac{(-1+i)^2}{2}=\dfrac{-2i}{2}=-i\)
\(CA=CB\) et \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(C\)
3. a) \(z'-c=e^{-i\frac{\pi}{2}}(z-c)\) : \(z'=-i(z-6)+6\)
\(=-iz+6+6i\)
\(-i(3-3i)+6+6i=-3i-3+6+6i=3+3i=a\) :
[] \(R(B)=A\)
b) \(\dfrac{a+b}{2}=3=\dfrac{0+c}{2}\) : les diagonales \([OC]\) et \([AB]\) ont le même milieu, et \(OC=AB=6\) ; de plus \((AB)\perp(OC)\) (\(AB\) est vertical, \(OC\) horizontal) :
[] \(OACB\) est un carré
Exercice 3 (9 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^{2x}-3e^x+2\), et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=e^x\left(2e^x-3\right)\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. a) Résoudre l’équation \(f(x)=0\) et en déduire le signe de \(f(x)\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et de la droite \((D):y=2\).
5. Donner une équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).
6. Soit \(h\) la restriction de \(f\) à \(I=\left[\ln\dfrac{3}{2};+\infty\right[\). Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=e^x\left(2e^x-3\right)\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. a) Résoudre l’équation \(f(x)=0\) et en déduire le signe de \(f(x)\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et de la droite \((D):y=2\).
5. Donner une équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).
6. Soit \(h\) la restriction de \(f\) à \(I=\left[\ln\dfrac{3}{2};+\infty\right[\). Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(e^{2x}\to0\) et \(e^x\to0\) :
[] \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale en \(-\infty\)
2. \(f(x)=e^{2x}\left(1-3e^{-x}+2e^{-2x}\right)\to+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{e^{2x}}{x}\left(1-3e^{-x}+2e^{-2x}\right)\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
3. a) \(f'(x)=2e^{2x}-3e^x=e^x\left(2e^x-3\right)\).
b) \(f'(x)\) a le signe de \(2e^x-3\) : nul en \(x=\ln\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(\ln\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{2}+2=-\dfrac{1}{4}\).
4. a) \(t=e^x\) : \(t^2-3t+2=(t-1)(t-2)\), donc \(f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^x-2\right)=0\iff x=0\) ou \(x=\ln2\).
[] \(f(x)>0\) sur \(]-\infty;0[\cup]\ln2;+\infty[\) et \(f(x)<0\) sur \(]0;\ln2[\)
b) \(f(x)-2=e^x\left(e^x-3\right)\) a le signe de \(e^x-3\) :
[] \((C_f)\) au-dessous de \((D)\) sur \(]-\infty;\ln3[\), au-dessus sur \(]\ln3;+\infty[\)
5. \(f(0)=0\) et \(f'(0)=1\times(2-3)=-1\) :
[] \((T):y=-x\)
6. \(h\) est continue et strictement croissante sur \(I\) :
[] \(J=h(I)=\left[-\dfrac{1}{4};+\infty\right[\)
[] \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale en \(-\infty\)
2. \(f(x)=e^{2x}\left(1-3e^{-x}+2e^{-2x}\right)\to+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{e^{2x}}{x}\left(1-3e^{-x}+2e^{-2x}\right)\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
3. a) \(f'(x)=2e^{2x}-3e^x=e^x\left(2e^x-3\right)\).
b) \(f'(x)\) a le signe de \(2e^x-3\) : nul en \(x=\ln\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(\ln\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{2}+2=-\dfrac{1}{4}\).
4. a) \(t=e^x\) : \(t^2-3t+2=(t-1)(t-2)\), donc \(f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^x-2\right)=0\iff x=0\) ou \(x=\ln2\).
[] \(f(x)>0\) sur \(]-\infty;0[\cup]\ln2;+\infty[\) et \(f(x)<0\) sur \(]0;\ln2[\)
b) \(f(x)-2=e^x\left(e^x-3\right)\) a le signe de \(e^x-3\) :
[] \((C_f)\) au-dessous de \((D)\) sur \(]-\infty;\ln3[\), au-dessus sur \(]\ln3;+\infty[\)
5. \(f(0)=0\) et \(f'(0)=1\times(2-3)=-1\) :
[] \((T):y=-x\)
6. \(h\) est continue et strictement croissante sur \(I\) :
[] \(J=h(I)=\left[-\dfrac{1}{4};+\infty\right[\)