Exercice 1 (6 pts)
1. a) Simplifier \(A=e^{3\ln2}\times e^{-\ln4}\).
b) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ \left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2=4\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(e^{x^2}=e^{4x-3}\) ; b) \(e^{2x}+e^x-6=0\) ; c) \(e^{1-x}\geq e\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}(2x+1)e^{-x}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{\sin x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^2e^x\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-3x\right)\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\ln\left(1+e^x\right)\right)\).
b) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ \left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2=4\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(e^{x^2}=e^{4x-3}\) ; b) \(e^{2x}+e^x-6=0\) ; c) \(e^{1-x}\geq e\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}(2x+1)e^{-x}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{\sin x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^2e^x\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-3x\right)\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\ln\left(1+e^x\right)\right)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(A=e^{\ln8}\times\dfrac{1}{e^{\ln4}}=\dfrac{8}{4}\) :
[] \(A=2\)
b) \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a+b=2e^x\) et \(a-b=2e^{-x}\) :
\(\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2=2e^{-x}\times2e^x=4\)
2. a) \(x^2=4x-3\iff(x-1)(x-3)=0\) :
[] \(S=\{1;3\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \(t^2+t-6=(t-2)(t+3)=0\) ; \(t=-3\) est rejeté :
[] \(S=\{\ln2\}\)
c) \(\exp\) croissante : \(1-x\geq1\iff x\leq0\) :
[] \(S=]-\infty;0]\)
3. a) \((2x+1)e^{-x}=2\dfrac{x}{e^x}+e^{-x}\to0\) :
[] \(0\)
b) \(\dfrac{e^{2x}-1}{\sin x}=2\times\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\times\dfrac{x}{\sin x}\to2\) :
[] \(2\)
c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^ne^x=0\) :
[] \(0\)
d) \(e^x-3x=x\left(\dfrac{e^x}{x}-3\right)\) et \(\dfrac{e^x}{x}\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
e) \(x-\ln\left(1+e^x\right)=-\ln\left(1+e^{-x}\right)\to-\ln1\) :
[] \(0\)
[] \(A=2\)
b) \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a+b=2e^x\) et \(a-b=2e^{-x}\) :
\(\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2=2e^{-x}\times2e^x=4\)
2. a) \(x^2=4x-3\iff(x-1)(x-3)=0\) :
[] \(S=\{1;3\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \(t^2+t-6=(t-2)(t+3)=0\) ; \(t=-3\) est rejeté :
[] \(S=\{\ln2\}\)
c) \(\exp\) croissante : \(1-x\geq1\iff x\leq0\) :
[] \(S=]-\infty;0]\)
3. a) \((2x+1)e^{-x}=2\dfrac{x}{e^x}+e^{-x}\to0\) :
[] \(0\)
b) \(\dfrac{e^{2x}-1}{\sin x}=2\times\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\times\dfrac{x}{\sin x}\to2\) :
[] \(2\)
c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^ne^x=0\) :
[] \(0\)
d) \(e^x-3x=x\left(\dfrac{e^x}{x}-3\right)\) et \(\dfrac{e^x}{x}\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
e) \(x-\ln\left(1+e^x\right)=-\ln\left(1+e^{-x}\right)\to-\ln1\) :
[] \(0\)
Exercice 2 (5 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-2\sqrt{3}z+4=0\).
2. On considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes \(a=\sqrt{3}+i\) et \(b=\sqrt{3}-i\). Écrire \(a\) et \(b\) sous forme exponentielle.
3. Montrer que \(\dfrac{a}{b}=e^{i\frac{\pi}{3}}\) et en déduire la nature du triangle \(OAB\).
4. Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\). Donner l’écriture complexe de \(R\) et vérifier que \(R(B)=A\).
5. Calculer \(a^6\).
2. On considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes \(a=\sqrt{3}+i\) et \(b=\sqrt{3}-i\). Écrire \(a\) et \(b\) sous forme exponentielle.
3. Montrer que \(\dfrac{a}{b}=e^{i\frac{\pi}{3}}\) et en déduire la nature du triangle \(OAB\).
4. Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\). Donner l’écriture complexe de \(R\) et vérifier que \(R(B)=A\).
5. Calculer \(a^6\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\Delta=12-16=-4=(2i)^2\) : \(z=\dfrac{2\sqrt{3}\pm2i}{2}\) :
[] \(S=\left\{\sqrt{3}+i;\sqrt{3}-i\right\}\)
2. \(|a|=2\) et \(a=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\) :
[] \(a=2e^{i\frac{\pi}{6}}\) et \(b=\overline{a}=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\)
3. \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{\pi}{6}}}\)
\(=e^{i\frac{\pi}{3}}\)
Donc \(OA=OB\) et \(\left(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OA}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]\) :
[] \(OAB\) est équilatéral
4. \(R\) : \(z'=e^{i\frac{\pi}{3}}z\) ; \(e^{i\frac{\pi}{3}}b=2e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)}=2e^{i\frac{\pi}{6}}=a\) :
[] \(R(B)=A\)
5. \(a^6=2^6e^{i\frac{6\pi}{6}}\)
\(=64e^{i\pi}=-64\)
[] \(S=\left\{\sqrt{3}+i;\sqrt{3}-i\right\}\)
2. \(|a|=2\) et \(a=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\) :
[] \(a=2e^{i\frac{\pi}{6}}\) et \(b=\overline{a}=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\)
3. \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{\pi}{6}}}\)
\(=e^{i\frac{\pi}{3}}\)
Donc \(OA=OB\) et \(\left(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OA}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]\) :
[] \(OAB\) est équilatéral
4. \(R\) : \(z'=e^{i\frac{\pi}{3}}z\) ; \(e^{i\frac{\pi}{3}}b=2e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)}=2e^{i\frac{\pi}{6}}=a\) :
[] \(R(B)=A\)
5. \(a^6=2^6e^{i\frac{6\pi}{6}}\)
\(=64e^{i\pi}=-64\)
Exercice 3 (9 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x-2+\dfrac{4}{e^x+1}\), et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. Montrer que \(f\) est impaire et interpréter graphiquement le résultat.
2. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que \((D_1):y=x-2\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
b) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et montrer que \((D_2):y=x+2\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
c) Étudier la position de \((C_f)\) par rapport à \((D_1)\) et à \((D_2)\).
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)^2\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) en \(O\).
4. Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
1. Montrer que \(f\) est impaire et interpréter graphiquement le résultat.
2. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que \((D_1):y=x-2\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
b) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et montrer que \((D_2):y=x+2\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
c) Étudier la position de \((C_f)\) par rapport à \((D_1)\) et à \((D_2)\).
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)^2\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) en \(O\).
4. Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(f(-x)=-x-2+\dfrac{4}{e^{-x}+1}=-x-2+\dfrac{4e^x}{1+e^x}\)
\(=-x-2+4-\dfrac{4}{1+e^x}=-f(x)\)
[] \(f\) est impaire : \(O\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
2. a) \(\dfrac{4}{e^x+1}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(f(x)-(x-2)\to0\) :
[] \((D_1)\) asymptote oblique en \(+\infty\)
b) \(\dfrac{4}{e^x+1}\to4\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(f(x)-(x+2)=\dfrac{4}{e^x+1}-4=\dfrac{-4e^x}{e^x+1}\to0\) :
[] \((D_2)\) asymptote oblique en \(-\infty\)
c) \(f(x)-(x-2)=\dfrac{4}{e^x+1}>0\) et \(f(x)-(x+2)=\dfrac{-4e^x}{e^x+1}<0\) :
[] \((C_f)\) est au-dessus de \((D_1)\) et au-dessous de \((D_2)\)
3. a) \(f'(x)=1-\dfrac{4e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{e^{2x}+2e^x+1-4e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\)
\(=\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)^2\)
b) \(f'(x)\geq0\) et ne s’annule qu’en \(0\) : \(f\) strictement croissante ; \(f(0)=0\), \(f'(0)=0\) : tangente horizontale \(y=0\) en \(O\).
[] 4. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(f(\mathbb{R})=]-\infty;+\infty[=\mathbb{R}\) : \(f\) admet une réciproque définie sur \(\mathbb{R}\)
\(=-x-2+4-\dfrac{4}{1+e^x}=-f(x)\)
[] \(f\) est impaire : \(O\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
2. a) \(\dfrac{4}{e^x+1}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(f(x)-(x-2)\to0\) :
[] \((D_1)\) asymptote oblique en \(+\infty\)
b) \(\dfrac{4}{e^x+1}\to4\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(f(x)-(x+2)=\dfrac{4}{e^x+1}-4=\dfrac{-4e^x}{e^x+1}\to0\) :
[] \((D_2)\) asymptote oblique en \(-\infty\)
c) \(f(x)-(x-2)=\dfrac{4}{e^x+1}>0\) et \(f(x)-(x+2)=\dfrac{-4e^x}{e^x+1}<0\) :
[] \((C_f)\) est au-dessus de \((D_1)\) et au-dessous de \((D_2)\)
3. a) \(f'(x)=1-\dfrac{4e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{e^{2x}+2e^x+1-4e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\)
\(=\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)^2\)
b) \(f'(x)\geq0\) et ne s’annule qu’en \(0\) : \(f\) strictement croissante ; \(f(0)=0\), \(f'(0)=0\) : tangente horizontale \(y=0\) en \(O\).
[] 4. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(f(\mathbb{R})=]-\infty;+\infty[=\mathbb{R}\) : \(f\) admet une réciproque définie sur \(\mathbb{R}\)