Exercice 1 (6 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(4^x-3\times2^x-4=0\) ; b) \(e^{2x}-e^x-2>0\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases}e^x\times e^y=e^5\\e^x-2e^y=0\end{cases}\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{-2x}-1}{x}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(e^{2x}-x\right)\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^3}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\).
4. Soit \(h(x)=\dfrac{e^x}{x}\) sur \(]0;+\infty[\). Calculer \(h'(x)\) et en déduire les variations de \(h\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases}e^x\times e^y=e^5\\e^x-2e^y=0\end{cases}\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{-2x}-1}{x}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(e^{2x}-x\right)\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^3}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\).
4. Soit \(h(x)=\dfrac{e^x}{x}\) sur \(]0;+\infty[\). Calculer \(h'(x)\) et en déduire les variations de \(h\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(4^x=\left(2^x\right)^2\) ; \(t=2^x>0\) : \(t^2-3t-4=(t-4)(t+1)=0\), \(t=4\) :
[] \(S=\{2\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \((t-2)(t+1)>0\iff t>2\) :
[] \(S=]\ln2;+\infty[\)
2. \(e^{x+y}=e^5\iff x+y=5\) ; \(e^x=2e^y\iff x=y+\ln2\). Donc \(2y+\ln2=5\) :
[] \(S=\left\{\left(\dfrac{5+\ln2}{2};\dfrac{5-\ln2}{2}\right)\right\}\)
3. a) \(-2\times\dfrac{e^{-2x}-1}{-2x}\to-2\) ; b) \(e^{2x}\to0\) et \(-x\to+\infty\) : \(+\infty\) ; c) \(+\infty\) (croissances comparées) ; d) \(\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\to1\) :
[] \(-2\) ; \(+\infty\) ; \(+\infty\) ; \(1\)
4. \(h'(x)=\dfrac{xe^x-e^x}{x^2}\)
\(=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}\)
[] \(h\) est décroissante sur \(]0;1]\) et croissante sur \([1;+\infty[\) ; minimum \(h(1)=e\)
[] \(S=\{2\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \((t-2)(t+1)>0\iff t>2\) :
[] \(S=]\ln2;+\infty[\)
2. \(e^{x+y}=e^5\iff x+y=5\) ; \(e^x=2e^y\iff x=y+\ln2\). Donc \(2y+\ln2=5\) :
[] \(S=\left\{\left(\dfrac{5+\ln2}{2};\dfrac{5-\ln2}{2}\right)\right\}\)
3. a) \(-2\times\dfrac{e^{-2x}-1}{-2x}\to-2\) ; b) \(e^{2x}\to0\) et \(-x\to+\infty\) : \(+\infty\) ; c) \(+\infty\) (croissances comparées) ; d) \(\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\to1\) :
[] \(-2\) ; \(+\infty\) ; \(+\infty\) ; \(1\)
4. \(h'(x)=\dfrac{xe^x-e^x}{x^2}\)
\(=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}\)
[] \(h\) est décroissante sur \(]0;1]\) et croissante sur \([1;+\infty[\) ; minimum \(h(1)=e\)
Exercice 2 (5 pts)
On considère les points \(\Omega\), \(A\) d’affixes \(\omega=1+i\), \(a=3+i\), et la rotation \(R\) de centre \(\Omega\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
1. Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=iz+2\).
2. Soient \(B=R(A)\) et \(C=R(B)\). Calculer \(b\) et \(c\).
3. a) Montrer que \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\).
b) Montrer que \(\dfrac{a-b}{c-b}=i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
4. Écrire \(c\) sous forme exponentielle.
1. Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=iz+2\).
2. Soient \(B=R(A)\) et \(C=R(B)\). Calculer \(b\) et \(c\).
3. a) Montrer que \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\).
b) Montrer que \(\dfrac{a-b}{c-b}=i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
4. Écrire \(c\) sous forme exponentielle.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(z'-\omega=e^{i\frac{\pi}{2}}(z-\omega)\) : \(z'=i(z-1-i)+1+i\)
\(=iz-i+1+1+i=iz+2\)
2. \(b=i(3+i)+2=1+3i\) ; \(c=i(1+3i)+2=-1+i\) :
[] \(b=1+3i\) et \(c=-1+i\)
3. a) \(\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{2+2i}{2}=1+i=\omega\) :
[] \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\)
b) \(\dfrac{a-b}{c-b}=\dfrac{2-2i}{-2-2i}=\dfrac{1-i}{-1-i}\)
\(=\dfrac{(1-i)(-1+i)}{2}=\dfrac{2i}{2}=i\)
[] \(BA=BC\) et \(\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) : \(ABC\) est rectangle isocèle en \(B\)
[] 4. \(|c|=\sqrt{2}\) et \(c=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}\)
\(=iz-i+1+1+i=iz+2\)
2. \(b=i(3+i)+2=1+3i\) ; \(c=i(1+3i)+2=-1+i\) :
[] \(b=1+3i\) et \(c=-1+i\)
3. a) \(\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{2+2i}{2}=1+i=\omega\) :
[] \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\)
b) \(\dfrac{a-b}{c-b}=\dfrac{2-2i}{-2-2i}=\dfrac{1-i}{-1-i}\)
\(=\dfrac{(1-i)(-1+i)}{2}=\dfrac{2i}{2}=i\)
[] \(BA=BC\) et \(\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) : \(ABC\) est rectangle isocèle en \(B\)
[] 4. \(|c|=\sqrt{2}\) et \(c=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}\)
Exercice 3 (9 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x-2+\dfrac{4}{e^x+1}\), et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. Montrer que \(f\) est impaire et interpréter graphiquement le résultat.
2. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que \((D_1):y=x-2\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
b) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et montrer que \((D_2):y=x+2\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
c) Étudier la position de \((C_f)\) par rapport à \((D_1)\) et à \((D_2)\).
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)^2\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) en \(O\).
4. Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
1. Montrer que \(f\) est impaire et interpréter graphiquement le résultat.
2. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que \((D_1):y=x-2\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
b) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et montrer que \((D_2):y=x+2\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
c) Étudier la position de \((C_f)\) par rapport à \((D_1)\) et à \((D_2)\).
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)^2\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) en \(O\).
4. Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(f(-x)=-x-2+\dfrac{4}{e^{-x}+1}=-x-2+\dfrac{4e^x}{1+e^x}\)
\(=-x-2+4-\dfrac{4}{1+e^x}=-f(x)\)
[] \(f\) est impaire : \(O\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
2. a) \(\dfrac{4}{e^x+1}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(f(x)-(x-2)\to0\) :
[] \((D_1)\) asymptote oblique en \(+\infty\)
b) \(\dfrac{4}{e^x+1}\to4\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(f(x)-(x+2)=\dfrac{4}{e^x+1}-4=\dfrac{-4e^x}{e^x+1}\to0\) :
[] \((D_2)\) asymptote oblique en \(-\infty\)
c) \(f(x)-(x-2)=\dfrac{4}{e^x+1}>0\) et \(f(x)-(x+2)=\dfrac{-4e^x}{e^x+1}<0\) :
[] \((C_f)\) est au-dessus de \((D_1)\) et au-dessous de \((D_2)\)
3. a) \(f'(x)=1-\dfrac{4e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{e^{2x}+2e^x+1-4e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\)
\(=\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)^2\)
b) \(f'(x)\geq0\) et ne s’annule qu’en \(0\) : \(f\) strictement croissante ; \(f(0)=0\), \(f'(0)=0\) : tangente horizontale \(y=0\) en \(O\).
[] 4. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(f(\mathbb{R})=]-\infty;+\infty[=\mathbb{R}\) : \(f\) admet une réciproque définie sur \(\mathbb{R}\)
\(=-x-2+4-\dfrac{4}{1+e^x}=-f(x)\)
[] \(f\) est impaire : \(O\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
2. a) \(\dfrac{4}{e^x+1}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(f(x)-(x-2)\to0\) :
[] \((D_1)\) asymptote oblique en \(+\infty\)
b) \(\dfrac{4}{e^x+1}\to4\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(f(x)-(x+2)=\dfrac{4}{e^x+1}-4=\dfrac{-4e^x}{e^x+1}\to0\) :
[] \((D_2)\) asymptote oblique en \(-\infty\)
c) \(f(x)-(x-2)=\dfrac{4}{e^x+1}>0\) et \(f(x)-(x+2)=\dfrac{-4e^x}{e^x+1}<0\) :
[] \((C_f)\) est au-dessus de \((D_1)\) et au-dessous de \((D_2)\)
3. a) \(f'(x)=1-\dfrac{4e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{e^{2x}+2e^x+1-4e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\)
\(=\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)^2\)
b) \(f'(x)\geq0\) et ne s’annule qu’en \(0\) : \(f\) strictement croissante ; \(f(0)=0\), \(f'(0)=0\) : tangente horizontale \(y=0\) en \(O\).
[] 4. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(f(\mathbb{R})=]-\infty;+\infty[=\mathbb{R}\) : \(f\) admet une réciproque définie sur \(\mathbb{R}\)