Exercice 1 (6 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(e^x+2e^{-x}-3=0\) ; b) \(e^{2x}-3e^x\leq0\) ; c) \(2^x=5\).
2. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(xe^{-x}+1\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^{2x}-e^x+1\right)\) ; d) \(\lim\limits_{x\to-\infty}(x+1)e^x\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^2+1}\).
3. Calculer la dérivée de : a) \(f(x)=(x-1)e^{2x}\) ; b) \(g(x)=e^{x^2-x}\).
2. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(xe^{-x}+1\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^{2x}-e^x+1\right)\) ; d) \(\lim\limits_{x\to-\infty}(x+1)e^x\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^2+1}\).
3. Calculer la dérivée de : a) \(f(x)=(x-1)e^{2x}\) ; b) \(g(x)=e^{x^2-x}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) On multiplie par \(e^x>0\) : \(e^{2x}-3e^x+2=0\) ; \(t=e^x\) : \((t-1)(t-2)=0\) :
[] \(S=\{0;\ln2\}\)
b) \(e^x\left(e^x-3\right)\leq0\iff e^x\leq3\) (car \(e^x>0\)) :
[] \(S=]-\infty;\ln3]\)
c) \(e^{x\ln2}=5\iff x\ln2=\ln5\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\ln5}{\ln2}\right\}\)
2. a) \(xe^{-x}=\dfrac{x}{e^x}\to0\) :
[] \(1\)
b) \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{e^x-1}{x}\to\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\dfrac{1}{2}\)
c) \(e^{2x}\left(1-e^{-x}+e^{-2x}\right)\) :
[] \(+\infty\)
d) \((x+1)e^x=xe^x+e^x\to0+0\) :
[] \(0\)
e) \(\dfrac{e^x}{x^2+1}=\dfrac{e^x}{x^2}\times\dfrac{x^2}{x^2+1}\to+\infty\times1\) :
[] \(+\infty\)
3. a) \(f'(x)=e^{2x}+2(x-1)e^{2x}\) :
[] \(f'(x)=(2x-1)e^{2x}\)
b) \(\left(e^u\right)'=u'e^u\) :
[] \(g'(x)=(2x-1)e^{x^2-x}\)
[] \(S=\{0;\ln2\}\)
b) \(e^x\left(e^x-3\right)\leq0\iff e^x\leq3\) (car \(e^x>0\)) :
[] \(S=]-\infty;\ln3]\)
c) \(e^{x\ln2}=5\iff x\ln2=\ln5\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\ln5}{\ln2}\right\}\)
2. a) \(xe^{-x}=\dfrac{x}{e^x}\to0\) :
[] \(1\)
b) \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{e^x-1}{x}\to\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\dfrac{1}{2}\)
c) \(e^{2x}\left(1-e^{-x}+e^{-2x}\right)\) :
[] \(+\infty\)
d) \((x+1)e^x=xe^x+e^x\to0+0\) :
[] \(0\)
e) \(\dfrac{e^x}{x^2+1}=\dfrac{e^x}{x^2}\times\dfrac{x^2}{x^2+1}\to+\infty\times1\) :
[] \(+\infty\)
3. a) \(f'(x)=e^{2x}+2(x-1)e^{2x}\) :
[] \(f'(x)=(2x-1)e^{2x}\)
b) \(\left(e^u\right)'=u'e^u\) :
[] \(g'(x)=(2x-1)e^{x^2-x}\)
Exercice 2 (5 pts)
On considère les points \(\Omega\), \(A\) d’affixes \(\omega=1+i\), \(a=3+i\), et la rotation \(R\) de centre \(\Omega\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
1. Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=iz+2\).
2. Soient \(B=R(A)\) et \(C=R(B)\). Calculer \(b\) et \(c\).
3. a) Montrer que \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\).
b) Montrer que \(\dfrac{a-b}{c-b}=i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
4. Écrire \(c\) sous forme exponentielle.
1. Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=iz+2\).
2. Soient \(B=R(A)\) et \(C=R(B)\). Calculer \(b\) et \(c\).
3. a) Montrer que \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\).
b) Montrer que \(\dfrac{a-b}{c-b}=i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
4. Écrire \(c\) sous forme exponentielle.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(z'-\omega=e^{i\frac{\pi}{2}}(z-\omega)\) : \(z'=i(z-1-i)+1+i\)
\(=iz-i+1+1+i=iz+2\)
2. \(b=i(3+i)+2=1+3i\) ; \(c=i(1+3i)+2=-1+i\) :
[] \(b=1+3i\) et \(c=-1+i\)
3. a) \(\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{2+2i}{2}=1+i=\omega\) :
[] \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\)
b) \(\dfrac{a-b}{c-b}=\dfrac{2-2i}{-2-2i}=\dfrac{1-i}{-1-i}\)
\(=\dfrac{(1-i)(-1+i)}{2}=\dfrac{2i}{2}=i\)
[] \(BA=BC\) et \(\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) : \(ABC\) est rectangle isocèle en \(B\)
[] 4. \(|c|=\sqrt{2}\) et \(c=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}\)
\(=iz-i+1+1+i=iz+2\)
2. \(b=i(3+i)+2=1+3i\) ; \(c=i(1+3i)+2=-1+i\) :
[] \(b=1+3i\) et \(c=-1+i\)
3. a) \(\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{2+2i}{2}=1+i=\omega\) :
[] \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\)
b) \(\dfrac{a-b}{c-b}=\dfrac{2-2i}{-2-2i}=\dfrac{1-i}{-1-i}\)
\(=\dfrac{(1-i)(-1+i)}{2}=\dfrac{2i}{2}=i\)
[] \(BA=BC\) et \(\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) : \(ABC\) est rectangle isocèle en \(B\)
[] 4. \(|c|=\sqrt{2}\) et \(c=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}\)
Exercice 3 (9 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^{2x}-3e^x+2\), et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=e^x\left(2e^x-3\right)\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. a) Résoudre l’équation \(f(x)=0\) et en déduire le signe de \(f(x)\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et de la droite \((D):y=2\).
5. Donner une équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).
6. Soit \(h\) la restriction de \(f\) à \(I=\left[\ln\dfrac{3}{2};+\infty\right[\). Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=e^x\left(2e^x-3\right)\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. a) Résoudre l’équation \(f(x)=0\) et en déduire le signe de \(f(x)\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et de la droite \((D):y=2\).
5. Donner une équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).
6. Soit \(h\) la restriction de \(f\) à \(I=\left[\ln\dfrac{3}{2};+\infty\right[\). Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(e^{2x}\to0\) et \(e^x\to0\) :
[] \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale en \(-\infty\)
2. \(f(x)=e^{2x}\left(1-3e^{-x}+2e^{-2x}\right)\to+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{e^{2x}}{x}\left(1-3e^{-x}+2e^{-2x}\right)\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
3. a) \(f'(x)=2e^{2x}-3e^x=e^x\left(2e^x-3\right)\).
b) \(f'(x)\) a le signe de \(2e^x-3\) : nul en \(x=\ln\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(\ln\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{2}+2=-\dfrac{1}{4}\).
4. a) \(t=e^x\) : \(t^2-3t+2=(t-1)(t-2)\), donc \(f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^x-2\right)=0\iff x=0\) ou \(x=\ln2\).
[] \(f(x)>0\) sur \(]-\infty;0[\cup]\ln2;+\infty[\) et \(f(x)<0\) sur \(]0;\ln2[\)
b) \(f(x)-2=e^x\left(e^x-3\right)\) a le signe de \(e^x-3\) :
[] \((C_f)\) au-dessous de \((D)\) sur \(]-\infty;\ln3[\), au-dessus sur \(]\ln3;+\infty[\)
5. \(f(0)=0\) et \(f'(0)=1\times(2-3)=-1\) :
[] \((T):y=-x\)
6. \(h\) est continue et strictement croissante sur \(I\) :
[] \(J=h(I)=\left[-\dfrac{1}{4};+\infty\right[\)
[] \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale en \(-\infty\)
2. \(f(x)=e^{2x}\left(1-3e^{-x}+2e^{-2x}\right)\to+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{e^{2x}}{x}\left(1-3e^{-x}+2e^{-2x}\right)\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
3. a) \(f'(x)=2e^{2x}-3e^x=e^x\left(2e^x-3\right)\).
b) \(f'(x)\) a le signe de \(2e^x-3\) : nul en \(x=\ln\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(\ln\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{2}+2=-\dfrac{1}{4}\).
4. a) \(t=e^x\) : \(t^2-3t+2=(t-1)(t-2)\), donc \(f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^x-2\right)=0\iff x=0\) ou \(x=\ln2\).
[] \(f(x)>0\) sur \(]-\infty;0[\cup]\ln2;+\infty[\) et \(f(x)<0\) sur \(]0;\ln2[\)
b) \(f(x)-2=e^x\left(e^x-3\right)\) a le signe de \(e^x-3\) :
[] \((C_f)\) au-dessous de \((D)\) sur \(]-\infty;\ln3[\), au-dessus sur \(]\ln3;+\infty[\)
5. \(f(0)=0\) et \(f'(0)=1\times(2-3)=-1\) :
[] \((T):y=-x\)
6. \(h\) est continue et strictement croissante sur \(I\) :
[] \(J=h(I)=\left[-\dfrac{1}{4};+\infty\right[\)