Exercice 1 (6 pts)
1. a) Simplifier \(A=e^{3\ln2}\times e^{-\ln4}\).
b) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ \left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2=4\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(e^{x^2}=e^{4x-3}\) ; b) \(e^{2x}+e^x-6=0\) ; c) \(e^{1-x}\geq e\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}(2x+1)e^{-x}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{\sin x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^2e^x\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-3x\right)\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\ln\left(1+e^x\right)\right)\).
b) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ \left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2=4\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(e^{x^2}=e^{4x-3}\) ; b) \(e^{2x}+e^x-6=0\) ; c) \(e^{1-x}\geq e\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}(2x+1)e^{-x}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{\sin x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^2e^x\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-3x\right)\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\ln\left(1+e^x\right)\right)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(A=e^{\ln8}\times\dfrac{1}{e^{\ln4}}=\dfrac{8}{4}\) :
[] \(A=2\)
b) \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a+b=2e^x\) et \(a-b=2e^{-x}\) :
\(\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2=2e^{-x}\times2e^x=4\)
2. a) \(x^2=4x-3\iff(x-1)(x-3)=0\) :
[] \(S=\{1;3\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \(t^2+t-6=(t-2)(t+3)=0\) ; \(t=-3\) est rejeté :
[] \(S=\{\ln2\}\)
c) \(\exp\) croissante : \(1-x\geq1\iff x\leq0\) :
[] \(S=]-\infty;0]\)
3. a) \((2x+1)e^{-x}=2\dfrac{x}{e^x}+e^{-x}\to0\) :
[] \(0\)
b) \(\dfrac{e^{2x}-1}{\sin x}=2\times\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\times\dfrac{x}{\sin x}\to2\) :
[] \(2\)
c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^ne^x=0\) :
[] \(0\)
d) \(e^x-3x=x\left(\dfrac{e^x}{x}-3\right)\) et \(\dfrac{e^x}{x}\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
e) \(x-\ln\left(1+e^x\right)=-\ln\left(1+e^{-x}\right)\to-\ln1\) :
[] \(0\)
[] \(A=2\)
b) \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a+b=2e^x\) et \(a-b=2e^{-x}\) :
\(\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2=2e^{-x}\times2e^x=4\)
2. a) \(x^2=4x-3\iff(x-1)(x-3)=0\) :
[] \(S=\{1;3\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \(t^2+t-6=(t-2)(t+3)=0\) ; \(t=-3\) est rejeté :
[] \(S=\{\ln2\}\)
c) \(\exp\) croissante : \(1-x\geq1\iff x\leq0\) :
[] \(S=]-\infty;0]\)
3. a) \((2x+1)e^{-x}=2\dfrac{x}{e^x}+e^{-x}\to0\) :
[] \(0\)
b) \(\dfrac{e^{2x}-1}{\sin x}=2\times\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\times\dfrac{x}{\sin x}\to2\) :
[] \(2\)
c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^ne^x=0\) :
[] \(0\)
d) \(e^x-3x=x\left(\dfrac{e^x}{x}-3\right)\) et \(\dfrac{e^x}{x}\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
e) \(x-\ln\left(1+e^x\right)=-\ln\left(1+e^{-x}\right)\to-\ln1\) :
[] \(0\)
Exercice 2 (5 pts)
On considère les nombres complexes \(a=1+i\sqrt{3}\), \(b=1-i\) et \(u=\dfrac{a}{b}\).
1. Écrire \(a\), \(b\) puis \(u\) sous forme exponentielle.
2. Écrire \(u\) sous forme algébrique.
3. En déduire \(\cos\dfrac{7\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{7\pi}{12}\).
4. Calculer \(u^{12}\).
1. Écrire \(a\), \(b\) puis \(u\) sous forme exponentielle.
2. Écrire \(u\) sous forme algébrique.
3. En déduire \(\cos\dfrac{7\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{7\pi}{12}\).
4. Calculer \(u^{12}\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(a=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2e^{i\frac{\pi}{3}}\) ; \(b=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\) :
\(u=\dfrac{2}{\sqrt{2}}e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(=\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{12}}\)
2. \(u=\dfrac{\left(1+i\sqrt{3}\right)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\)
\(=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\)
3. Par identification avec \(\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{7\pi}{12}+i\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)\) :
[] \(\cos\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\) et \(\sin\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)
4. \(u^{12}=\left(\sqrt{2}\right)^{12}e^{i7\pi}\)
\(=64e^{i\pi}=-64\)
\(u=\dfrac{2}{\sqrt{2}}e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(=\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{12}}\)
2. \(u=\dfrac{\left(1+i\sqrt{3}\right)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\)
\(=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\)
3. Par identification avec \(\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{7\pi}{12}+i\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)\) :
[] \(\cos\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\) et \(\sin\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)
4. \(u^{12}=\left(\sqrt{2}\right)^{12}e^{i7\pi}\)
\(=64e^{i\pi}=-64\)
Exercice 3 (9 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^{2x}-3e^x+2\), et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=e^x\left(2e^x-3\right)\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. a) Résoudre l’équation \(f(x)=0\) et en déduire le signe de \(f(x)\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et de la droite \((D):y=2\).
5. Donner une équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).
6. Soit \(h\) la restriction de \(f\) à \(I=\left[\ln\dfrac{3}{2};+\infty\right[\). Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=e^x\left(2e^x-3\right)\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. a) Résoudre l’équation \(f(x)=0\) et en déduire le signe de \(f(x)\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et de la droite \((D):y=2\).
5. Donner une équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).
6. Soit \(h\) la restriction de \(f\) à \(I=\left[\ln\dfrac{3}{2};+\infty\right[\). Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(e^{2x}\to0\) et \(e^x\to0\) :
[] \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale en \(-\infty\)
2. \(f(x)=e^{2x}\left(1-3e^{-x}+2e^{-2x}\right)\to+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{e^{2x}}{x}\left(1-3e^{-x}+2e^{-2x}\right)\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
3. a) \(f'(x)=2e^{2x}-3e^x=e^x\left(2e^x-3\right)\).
b) \(f'(x)\) a le signe de \(2e^x-3\) : nul en \(x=\ln\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(\ln\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{2}+2=-\dfrac{1}{4}\).
4. a) \(t=e^x\) : \(t^2-3t+2=(t-1)(t-2)\), donc \(f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^x-2\right)=0\iff x=0\) ou \(x=\ln2\).
[] \(f(x)>0\) sur \(]-\infty;0[\cup]\ln2;+\infty[\) et \(f(x)<0\) sur \(]0;\ln2[\)
b) \(f(x)-2=e^x\left(e^x-3\right)\) a le signe de \(e^x-3\) :
[] \((C_f)\) au-dessous de \((D)\) sur \(]-\infty;\ln3[\), au-dessus sur \(]\ln3;+\infty[\)
5. \(f(0)=0\) et \(f'(0)=1\times(2-3)=-1\) :
[] \((T):y=-x\)
6. \(h\) est continue et strictement croissante sur \(I\) :
[] \(J=h(I)=\left[-\dfrac{1}{4};+\infty\right[\)
[] \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale en \(-\infty\)
2. \(f(x)=e^{2x}\left(1-3e^{-x}+2e^{-2x}\right)\to+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{e^{2x}}{x}\left(1-3e^{-x}+2e^{-2x}\right)\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
3. a) \(f'(x)=2e^{2x}-3e^x=e^x\left(2e^x-3\right)\).
b) \(f'(x)\) a le signe de \(2e^x-3\) : nul en \(x=\ln\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(\ln\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{2}+2=-\dfrac{1}{4}\).
4. a) \(t=e^x\) : \(t^2-3t+2=(t-1)(t-2)\), donc \(f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^x-2\right)=0\iff x=0\) ou \(x=\ln2\).
[] \(f(x)>0\) sur \(]-\infty;0[\cup]\ln2;+\infty[\) et \(f(x)<0\) sur \(]0;\ln2[\)
b) \(f(x)-2=e^x\left(e^x-3\right)\) a le signe de \(e^x-3\) :
[] \((C_f)\) au-dessous de \((D)\) sur \(]-\infty;\ln3[\), au-dessus sur \(]\ln3;+\infty[\)
5. \(f(0)=0\) et \(f'(0)=1\times(2-3)=-1\) :
[] \((T):y=-x\)
6. \(h\) est continue et strictement croissante sur \(I\) :
[] \(J=h(I)=\left[-\dfrac{1}{4};+\infty\right[\)