Exercice 1 (6 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(4^x-3\times2^x-4=0\) ; b) \(e^{2x}-e^x-2>0\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases}e^x\times e^y=e^5\\e^x-2e^y=0\end{cases}\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{-2x}-1}{x}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(e^{2x}-x\right)\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^3}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\).
4. Soit \(h(x)=\dfrac{e^x}{x}\) sur \(]0;+\infty[\). Calculer \(h'(x)\) et en déduire les variations de \(h\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases}e^x\times e^y=e^5\\e^x-2e^y=0\end{cases}\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{-2x}-1}{x}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(e^{2x}-x\right)\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^3}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\).
4. Soit \(h(x)=\dfrac{e^x}{x}\) sur \(]0;+\infty[\). Calculer \(h'(x)\) et en déduire les variations de \(h\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(4^x=\left(2^x\right)^2\) ; \(t=2^x>0\) : \(t^2-3t-4=(t-4)(t+1)=0\), \(t=4\) :
[] \(S=\{2\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \((t-2)(t+1)>0\iff t>2\) :
[] \(S=]\ln2;+\infty[\)
2. \(e^{x+y}=e^5\iff x+y=5\) ; \(e^x=2e^y\iff x=y+\ln2\). Donc \(2y+\ln2=5\) :
[] \(S=\left\{\left(\dfrac{5+\ln2}{2};\dfrac{5-\ln2}{2}\right)\right\}\)
3. a) \(-2\times\dfrac{e^{-2x}-1}{-2x}\to-2\) ; b) \(e^{2x}\to0\) et \(-x\to+\infty\) : \(+\infty\) ; c) \(+\infty\) (croissances comparées) ; d) \(\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\to1\) :
[] \(-2\) ; \(+\infty\) ; \(+\infty\) ; \(1\)
4. \(h'(x)=\dfrac{xe^x-e^x}{x^2}\)
\(=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}\)
[] \(h\) est décroissante sur \(]0;1]\) et croissante sur \([1;+\infty[\) ; minimum \(h(1)=e\)
[] \(S=\{2\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \((t-2)(t+1)>0\iff t>2\) :
[] \(S=]\ln2;+\infty[\)
2. \(e^{x+y}=e^5\iff x+y=5\) ; \(e^x=2e^y\iff x=y+\ln2\). Donc \(2y+\ln2=5\) :
[] \(S=\left\{\left(\dfrac{5+\ln2}{2};\dfrac{5-\ln2}{2}\right)\right\}\)
3. a) \(-2\times\dfrac{e^{-2x}-1}{-2x}\to-2\) ; b) \(e^{2x}\to0\) et \(-x\to+\infty\) : \(+\infty\) ; c) \(+\infty\) (croissances comparées) ; d) \(\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\to1\) :
[] \(-2\) ; \(+\infty\) ; \(+\infty\) ; \(1\)
4. \(h'(x)=\dfrac{xe^x-e^x}{x^2}\)
\(=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}\)
[] \(h\) est décroissante sur \(]0;1]\) et croissante sur \([1;+\infty[\) ; minimum \(h(1)=e\)
Exercice 2 (5 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-6z+18=0\).
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=3+3i\), \(b=3-3i\) et \(c=6\).
a) Écrire \(a\) sous forme exponentielle.
b) Montrer que \(\dfrac{a-c}{b-c}=-i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
3. Soit \(R\) la rotation de centre \(C\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).
a) Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=-iz+6+6i\), puis vérifier que \(R(B)=A\).
b) Montrer que \(OACB\) est un carré.
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=3+3i\), \(b=3-3i\) et \(c=6\).
a) Écrire \(a\) sous forme exponentielle.
b) Montrer que \(\dfrac{a-c}{b-c}=-i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
3. Soit \(R\) la rotation de centre \(C\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).
a) Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=-iz+6+6i\), puis vérifier que \(R(B)=A\).
b) Montrer que \(OACB\) est un carré.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\Delta=36-72=-36=(6i)^2\) :
[] \(S=\{3+3i;3-3i\}\)
[] 2. a) \(|a|=3\sqrt{2}\) : \(a=3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)
b) \(\dfrac{a-c}{b-c}=\dfrac{-3+3i}{-3-3i}=\dfrac{-1+i}{-1-i}\)
\(=\dfrac{(-1+i)^2}{2}=\dfrac{-2i}{2}=-i\)
\(CA=CB\) et \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(C\)
3. a) \(z'-c=e^{-i\frac{\pi}{2}}(z-c)\) : \(z'=-i(z-6)+6\)
\(=-iz+6+6i\)
\(-i(3-3i)+6+6i=-3i-3+6+6i=3+3i=a\) :
[] \(R(B)=A\)
b) \(\dfrac{a+b}{2}=3=\dfrac{0+c}{2}\) : les diagonales \([OC]\) et \([AB]\) ont le même milieu, et \(OC=AB=6\) ; de plus \((AB)\perp(OC)\) (\(AB\) est vertical, \(OC\) horizontal) :
[] \(OACB\) est un carré
[] \(S=\{3+3i;3-3i\}\)
[] 2. a) \(|a|=3\sqrt{2}\) : \(a=3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)
b) \(\dfrac{a-c}{b-c}=\dfrac{-3+3i}{-3-3i}=\dfrac{-1+i}{-1-i}\)
\(=\dfrac{(-1+i)^2}{2}=\dfrac{-2i}{2}=-i\)
\(CA=CB\) et \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(C\)
3. a) \(z'-c=e^{-i\frac{\pi}{2}}(z-c)\) : \(z'=-i(z-6)+6\)
\(=-iz+6+6i\)
\(-i(3-3i)+6+6i=-3i-3+6+6i=3+3i=a\) :
[] \(R(B)=A\)
b) \(\dfrac{a+b}{2}=3=\dfrac{0+c}{2}\) : les diagonales \([OC]\) et \([AB]\) ont le même milieu, et \(OC=AB=6\) ; de plus \((AB)\perp(OC)\) (\(AB\) est vertical, \(OC\) horizontal) :
[] \(OACB\) est un carré
Exercice 3 (9 pts)
Partie I. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=e^x-x-1\).
1. Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (sans les limites).
2. En déduire que \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x-1+(x+2)e^{-x}\).
1. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que la droite \((\Delta):y=x-1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=e^{-x}g(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) et que \(-2<\alpha<-1\).
1. Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (sans les limites).
2. En déduire que \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x-1+(x+2)e^{-x}\).
1. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que la droite \((\Delta):y=x-1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=e^{-x}g(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) et que \(-2<\alpha<-1\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
I. 1. \(g'(x)=e^x-1\) : \(g'(x)<0\) sur \(]-\infty;0[\), \(g'(x)>0\) sur \(]0;+\infty[\) ; \(g(0)=0\).
[] 2. \(0\) est le minimum de \(g\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\)
II. 1. a) \((x+2)e^{-x}=\dfrac{x}{e^x}+\dfrac{2}{e^x}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(f(x)-(x-1)\to0\) :
[] \((\Delta):y=x-1\) est asymptote oblique en \(+\infty\)
b) \(f(x)-(x-1)=(x+2)e^{-x}\) a le signe de \(x+2\) :
[] \((C_f)\) au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]-2;+\infty[\), au-dessous sur \(]-\infty;-2[\), et ils se coupent en \((-2;-3)\)
2. En \(-\infty\) : \(x+2\to-\infty\) et \(e^{-x}\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=1-\dfrac{1}{x}+\left(1+\dfrac{2}{x}\right)e^{-x}\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(-\infty\)
3. \(f'(x)=1+e^{-x}-(x+2)e^{-x}\)
\(=1-(x+1)e^{-x}\)
\(=e^{-x}\left(e^x-x-1\right)=e^{-x}g(x)\geq0\)
\(f'\) ne s’annule qu’en \(0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(f(0)=1\).
4. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\) : solution unique \(\alpha\) ; \(f(-2)=-3<0\) et \(f(-1)=e-2>0\) :
[] \(-2<\alpha<-1\)
[] 2. \(0\) est le minimum de \(g\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\)
II. 1. a) \((x+2)e^{-x}=\dfrac{x}{e^x}+\dfrac{2}{e^x}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(f(x)-(x-1)\to0\) :
[] \((\Delta):y=x-1\) est asymptote oblique en \(+\infty\)
b) \(f(x)-(x-1)=(x+2)e^{-x}\) a le signe de \(x+2\) :
[] \((C_f)\) au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]-2;+\infty[\), au-dessous sur \(]-\infty;-2[\), et ils se coupent en \((-2;-3)\)
2. En \(-\infty\) : \(x+2\to-\infty\) et \(e^{-x}\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=1-\dfrac{1}{x}+\left(1+\dfrac{2}{x}\right)e^{-x}\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(-\infty\)
3. \(f'(x)=1+e^{-x}-(x+2)e^{-x}\)
\(=1-(x+1)e^{-x}\)
\(=e^{-x}\left(e^x-x-1\right)=e^{-x}g(x)\geq0\)
\(f'\) ne s’annule qu’en \(0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(f(0)=1\).
4. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\) : solution unique \(\alpha\) ; \(f(-2)=-3<0\) et \(f(-1)=e-2>0\) :
[] \(-2<\alpha<-1\)