Exercice 1 (6 pts)
1. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ \dfrac{e^x-1}{e^x+1}=1-\dfrac{2}{e^x+1}\).
b) Simplifier le nombre \(E=\dfrac{e^{2+\ln3}}{e^{1-\ln3}}\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(e^{2x-1}=e^{x+2}\) ; b) \(e^{2x}-4e^x+3=0\) ; c) \(3^{x+1}=27\) ; d) \(2-e^x>0\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(e^x-x\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}{x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}xe^{2x}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-x^2\right)\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1+e^x\right)}{x}\).
b) Simplifier le nombre \(E=\dfrac{e^{2+\ln3}}{e^{1-\ln3}}\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(e^{2x-1}=e^{x+2}\) ; b) \(e^{2x}-4e^x+3=0\) ; c) \(3^{x+1}=27\) ; d) \(2-e^x>0\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(e^x-x\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}{x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}xe^{2x}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-x^2\right)\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1+e^x\right)}{x}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(1-\dfrac{2}{e^x+1}=\dfrac{e^x+1-2}{e^x+1}\)
\(=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\)
b) \(E=e^{(2+\ln3)-(1-\ln3)}=e^{1+2\ln3}\)
\(=e\times e^{\ln9}=9e\)
2. a) \(2x-1=x+2\iff x=3\) :
[] \(S=\{3\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \(t^2-4t+3=(t-1)(t-3)=0\), \(t=1\) ou \(t=3\) :
[] \(S=\{0;\ln3\}\)
c) \(3^{x+1}=3^3\iff e^{(x+1)\ln3}=e^{3\ln3}\iff x+1=3\) :
[] \(S=\{2\}\)
d) \(e^x<2\iff x<\ln2\) :
[] \(S=]-\infty;\ln2[\)
3. a) \(e^x\to0\) et \(-x\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
b) \(\dfrac{e^{3x}-1}{x}=3\times\dfrac{e^{3x}-1}{3x}\to3\times1\) :
[] \(3\)
c) \(xe^{2x}=\dfrac{1}{2}\left(2x\right)e^{2x}\) et \(\lim\limits_{X\to-\infty}Xe^X=0\) :
[] \(0\)
d) \(e^x-x^2=x^2\left(\dfrac{e^x}{x^2}-1\right)\) et \(\dfrac{e^x}{x^2}\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
e) \(\ln\left(1+e^x\right)=\ln\left[e^x\left(1+e^{-x}\right)\right]=x+\ln\left(1+e^{-x}\right)\), donc
\(\dfrac{\ln\left(1+e^x\right)}{x}=1+\dfrac{\ln\left(1+e^{-x}\right)}{x}\to1\)
\(=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\)
b) \(E=e^{(2+\ln3)-(1-\ln3)}=e^{1+2\ln3}\)
\(=e\times e^{\ln9}=9e\)
2. a) \(2x-1=x+2\iff x=3\) :
[] \(S=\{3\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \(t^2-4t+3=(t-1)(t-3)=0\), \(t=1\) ou \(t=3\) :
[] \(S=\{0;\ln3\}\)
c) \(3^{x+1}=3^3\iff e^{(x+1)\ln3}=e^{3\ln3}\iff x+1=3\) :
[] \(S=\{2\}\)
d) \(e^x<2\iff x<\ln2\) :
[] \(S=]-\infty;\ln2[\)
3. a) \(e^x\to0\) et \(-x\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
b) \(\dfrac{e^{3x}-1}{x}=3\times\dfrac{e^{3x}-1}{3x}\to3\times1\) :
[] \(3\)
c) \(xe^{2x}=\dfrac{1}{2}\left(2x\right)e^{2x}\) et \(\lim\limits_{X\to-\infty}Xe^X=0\) :
[] \(0\)
d) \(e^x-x^2=x^2\left(\dfrac{e^x}{x^2}-1\right)\) et \(\dfrac{e^x}{x^2}\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
e) \(\ln\left(1+e^x\right)=\ln\left[e^x\left(1+e^{-x}\right)\right]=x+\ln\left(1+e^{-x}\right)\), donc
\(\dfrac{\ln\left(1+e^x\right)}{x}=1+\dfrac{\ln\left(1+e^{-x}\right)}{x}\to1\)
Exercice 2 (5 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-2\sqrt{3}z+4=0\).
2. On considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes \(a=\sqrt{3}+i\) et \(b=\sqrt{3}-i\). Écrire \(a\) et \(b\) sous forme exponentielle.
3. Montrer que \(\dfrac{a}{b}=e^{i\frac{\pi}{3}}\) et en déduire la nature du triangle \(OAB\).
4. Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\). Donner l’écriture complexe de \(R\) et vérifier que \(R(B)=A\).
5. Calculer \(a^6\).
2. On considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes \(a=\sqrt{3}+i\) et \(b=\sqrt{3}-i\). Écrire \(a\) et \(b\) sous forme exponentielle.
3. Montrer que \(\dfrac{a}{b}=e^{i\frac{\pi}{3}}\) et en déduire la nature du triangle \(OAB\).
4. Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\). Donner l’écriture complexe de \(R\) et vérifier que \(R(B)=A\).
5. Calculer \(a^6\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\Delta=12-16=-4=(2i)^2\) : \(z=\dfrac{2\sqrt{3}\pm2i}{2}\) :
[] \(S=\left\{\sqrt{3}+i;\sqrt{3}-i\right\}\)
2. \(|a|=2\) et \(a=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\) :
[] \(a=2e^{i\frac{\pi}{6}}\) et \(b=\overline{a}=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\)
3. \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{\pi}{6}}}\)
\(=e^{i\frac{\pi}{3}}\)
Donc \(OA=OB\) et \(\left(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OA}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]\) :
[] \(OAB\) est équilatéral
4. \(R\) : \(z'=e^{i\frac{\pi}{3}}z\) ; \(e^{i\frac{\pi}{3}}b=2e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)}=2e^{i\frac{\pi}{6}}=a\) :
[] \(R(B)=A\)
5. \(a^6=2^6e^{i\frac{6\pi}{6}}\)
\(=64e^{i\pi}=-64\)
[] \(S=\left\{\sqrt{3}+i;\sqrt{3}-i\right\}\)
2. \(|a|=2\) et \(a=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\) :
[] \(a=2e^{i\frac{\pi}{6}}\) et \(b=\overline{a}=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\)
3. \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{\pi}{6}}}\)
\(=e^{i\frac{\pi}{3}}\)
Donc \(OA=OB\) et \(\left(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OA}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]\) :
[] \(OAB\) est équilatéral
4. \(R\) : \(z'=e^{i\frac{\pi}{3}}z\) ; \(e^{i\frac{\pi}{3}}b=2e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)}=2e^{i\frac{\pi}{6}}=a\) :
[] \(R(B)=A\)
5. \(a^6=2^6e^{i\frac{6\pi}{6}}\)
\(=64e^{i\pi}=-64\)
Exercice 3 (9 pts)
Partie I. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=e^x-x-1\).
1. Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (sans les limites).
2. En déduire que \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x-1+(x+2)e^{-x}\).
1. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que la droite \((\Delta):y=x-1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=e^{-x}g(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) et que \(-2<\alpha<-1\).
1. Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (sans les limites).
2. En déduire que \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x-1+(x+2)e^{-x}\).
1. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que la droite \((\Delta):y=x-1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=e^{-x}g(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) et que \(-2<\alpha<-1\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
I. 1. \(g'(x)=e^x-1\) : \(g'(x)<0\) sur \(]-\infty;0[\), \(g'(x)>0\) sur \(]0;+\infty[\) ; \(g(0)=0\).
[] 2. \(0\) est le minimum de \(g\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\)
II. 1. a) \((x+2)e^{-x}=\dfrac{x}{e^x}+\dfrac{2}{e^x}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(f(x)-(x-1)\to0\) :
[] \((\Delta):y=x-1\) est asymptote oblique en \(+\infty\)
b) \(f(x)-(x-1)=(x+2)e^{-x}\) a le signe de \(x+2\) :
[] \((C_f)\) au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]-2;+\infty[\), au-dessous sur \(]-\infty;-2[\), et ils se coupent en \((-2;-3)\)
2. En \(-\infty\) : \(x+2\to-\infty\) et \(e^{-x}\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=1-\dfrac{1}{x}+\left(1+\dfrac{2}{x}\right)e^{-x}\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(-\infty\)
3. \(f'(x)=1+e^{-x}-(x+2)e^{-x}\)
\(=1-(x+1)e^{-x}\)
\(=e^{-x}\left(e^x-x-1\right)=e^{-x}g(x)\geq0\)
\(f'\) ne s’annule qu’en \(0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(f(0)=1\).
4. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\) : solution unique \(\alpha\) ; \(f(-2)=-3<0\) et \(f(-1)=e-2>0\) :
[] \(-2<\alpha<-1\)
[] 2. \(0\) est le minimum de \(g\) : \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\)
II. 1. a) \((x+2)e^{-x}=\dfrac{x}{e^x}+\dfrac{2}{e^x}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(f(x)-(x-1)\to0\) :
[] \((\Delta):y=x-1\) est asymptote oblique en \(+\infty\)
b) \(f(x)-(x-1)=(x+2)e^{-x}\) a le signe de \(x+2\) :
[] \((C_f)\) au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]-2;+\infty[\), au-dessous sur \(]-\infty;-2[\), et ils se coupent en \((-2;-3)\)
2. En \(-\infty\) : \(x+2\to-\infty\) et \(e^{-x}\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=1-\dfrac{1}{x}+\left(1+\dfrac{2}{x}\right)e^{-x}\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(-\infty\)
3. \(f'(x)=1+e^{-x}-(x+2)e^{-x}\)
\(=1-(x+1)e^{-x}\)
\(=e^{-x}\left(e^x-x-1\right)=e^{-x}g(x)\geq0\)
\(f'\) ne s’annule qu’en \(0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(f(0)=1\).
4. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\) : solution unique \(\alpha\) ; \(f(-2)=-3<0\) et \(f(-1)=e-2>0\) :
[] \(-2<\alpha<-1\)