Exercice 1 (6 pts)
1. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ \dfrac{e^x-1}{e^x+1}=1-\dfrac{2}{e^x+1}\).
b) Simplifier le nombre \(E=\dfrac{e^{2+\ln3}}{e^{1-\ln3}}\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(e^{2x-1}=e^{x+2}\) ; b) \(e^{2x}-4e^x+3=0\) ; c) \(3^{x+1}=27\) ; d) \(2-e^x>0\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(e^x-x\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}{x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}xe^{2x}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-x^2\right)\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1+e^x\right)}{x}\).
b) Simplifier le nombre \(E=\dfrac{e^{2+\ln3}}{e^{1-\ln3}}\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(e^{2x-1}=e^{x+2}\) ; b) \(e^{2x}-4e^x+3=0\) ; c) \(3^{x+1}=27\) ; d) \(2-e^x>0\).
3. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(e^x-x\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}{x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}xe^{2x}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-x^2\right)\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1+e^x\right)}{x}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(1-\dfrac{2}{e^x+1}=\dfrac{e^x+1-2}{e^x+1}\)
\(=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\)
b) \(E=e^{(2+\ln3)-(1-\ln3)}=e^{1+2\ln3}\)
\(=e\times e^{\ln9}=9e\)
2. a) \(2x-1=x+2\iff x=3\) :
[] \(S=\{3\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \(t^2-4t+3=(t-1)(t-3)=0\), \(t=1\) ou \(t=3\) :
[] \(S=\{0;\ln3\}\)
c) \(3^{x+1}=3^3\iff e^{(x+1)\ln3}=e^{3\ln3}\iff x+1=3\) :
[] \(S=\{2\}\)
d) \(e^x<2\iff x<\ln2\) :
[] \(S=]-\infty;\ln2[\)
3. a) \(e^x\to0\) et \(-x\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
b) \(\dfrac{e^{3x}-1}{x}=3\times\dfrac{e^{3x}-1}{3x}\to3\times1\) :
[] \(3\)
c) \(xe^{2x}=\dfrac{1}{2}\left(2x\right)e^{2x}\) et \(\lim\limits_{X\to-\infty}Xe^X=0\) :
[] \(0\)
d) \(e^x-x^2=x^2\left(\dfrac{e^x}{x^2}-1\right)\) et \(\dfrac{e^x}{x^2}\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
e) \(\ln\left(1+e^x\right)=\ln\left[e^x\left(1+e^{-x}\right)\right]=x+\ln\left(1+e^{-x}\right)\), donc
\(\dfrac{\ln\left(1+e^x\right)}{x}=1+\dfrac{\ln\left(1+e^{-x}\right)}{x}\to1\)
\(=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\)
b) \(E=e^{(2+\ln3)-(1-\ln3)}=e^{1+2\ln3}\)
\(=e\times e^{\ln9}=9e\)
2. a) \(2x-1=x+2\iff x=3\) :
[] \(S=\{3\}\)
b) \(t=e^x>0\) : \(t^2-4t+3=(t-1)(t-3)=0\), \(t=1\) ou \(t=3\) :
[] \(S=\{0;\ln3\}\)
c) \(3^{x+1}=3^3\iff e^{(x+1)\ln3}=e^{3\ln3}\iff x+1=3\) :
[] \(S=\{2\}\)
d) \(e^x<2\iff x<\ln2\) :
[] \(S=]-\infty;\ln2[\)
3. a) \(e^x\to0\) et \(-x\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
b) \(\dfrac{e^{3x}-1}{x}=3\times\dfrac{e^{3x}-1}{3x}\to3\times1\) :
[] \(3\)
c) \(xe^{2x}=\dfrac{1}{2}\left(2x\right)e^{2x}\) et \(\lim\limits_{X\to-\infty}Xe^X=0\) :
[] \(0\)
d) \(e^x-x^2=x^2\left(\dfrac{e^x}{x^2}-1\right)\) et \(\dfrac{e^x}{x^2}\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
e) \(\ln\left(1+e^x\right)=\ln\left[e^x\left(1+e^{-x}\right)\right]=x+\ln\left(1+e^{-x}\right)\), donc
\(\dfrac{\ln\left(1+e^x\right)}{x}=1+\dfrac{\ln\left(1+e^{-x}\right)}{x}\to1\)
Exercice 2 (5 pts)
On considère les nombres complexes \(a=1+i\sqrt{3}\), \(b=1-i\) et \(u=\dfrac{a}{b}\).
1. Écrire \(a\), \(b\) puis \(u\) sous forme exponentielle.
2. Écrire \(u\) sous forme algébrique.
3. En déduire \(\cos\dfrac{7\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{7\pi}{12}\).
4. Calculer \(u^{12}\).
1. Écrire \(a\), \(b\) puis \(u\) sous forme exponentielle.
2. Écrire \(u\) sous forme algébrique.
3. En déduire \(\cos\dfrac{7\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{7\pi}{12}\).
4. Calculer \(u^{12}\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(a=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2e^{i\frac{\pi}{3}}\) ; \(b=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\) :
\(u=\dfrac{2}{\sqrt{2}}e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(=\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{12}}\)
2. \(u=\dfrac{\left(1+i\sqrt{3}\right)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\)
\(=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\)
3. Par identification avec \(\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{7\pi}{12}+i\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)\) :
[] \(\cos\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\) et \(\sin\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)
4. \(u^{12}=\left(\sqrt{2}\right)^{12}e^{i7\pi}\)
\(=64e^{i\pi}=-64\)
\(u=\dfrac{2}{\sqrt{2}}e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(=\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{12}}\)
2. \(u=\dfrac{\left(1+i\sqrt{3}\right)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\)
\(=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\)
3. Par identification avec \(\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{7\pi}{12}+i\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)\) :
[] \(\cos\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\) et \(\sin\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)
4. \(u^{12}=\left(\sqrt{2}\right)^{12}e^{i7\pi}\)
\(=64e^{i\pi}=-64\)
Exercice 3 (9 pts)
Partie I. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=1+(x-1)e^x\).
1. Montrer que \(g'(x)=xe^x\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (sans les limites).
2. En déduire que \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+1+(x-2)e^x\).
1. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et montrer que \((D):y=x+1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((D)\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=g(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) et que \(1<\alpha<2\).
1. Montrer que \(g'(x)=xe^x\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (sans les limites).
2. En déduire que \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+1+(x-2)e^x\).
1. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et montrer que \((D):y=x+1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((D)\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=g(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) et que \(1<\alpha<2\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
I. 1. \(g'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x\) : \(g\) décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\) ; \(g(0)=0\).
[] 2. \(g(0)=0\) est le minimum : \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\)
II. 1. a) \((x-2)e^x=xe^x-2e^x\to0\) en \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(f(x)-(x+1)\to0\) :
[] \((D):y=x+1\) est asymptote oblique en \(-\infty\)
b) \(f(x)-(x+1)=(x-2)e^x\) a le signe de \(x-2\) :
[] \((C_f)\) au-dessous de \((D)\) sur \(]-\infty;2[\), au-dessus sur \(]2;+\infty[\) ; ils se coupent en \((2;3)\)
2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac{1}{x}+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)e^x\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
3. \(f'(x)=1+e^x+(x-2)e^x\)
\(=1+(x-1)e^x=g(x)\geq0\)
\(f'\) ne s’annule qu’en \(0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(f(0)=-1\).
4. \(f\) continue, strictement croissante, \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\) : solution unique \(\alpha\) ; \(f(1)=2-e<0\) et \(f(2)=3>0\) :
[] \(1<\alpha<2\)
[] 2. \(g(0)=0\) est le minimum : \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\)
II. 1. a) \((x-2)e^x=xe^x-2e^x\to0\) en \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(f(x)-(x+1)\to0\) :
[] \((D):y=x+1\) est asymptote oblique en \(-\infty\)
b) \(f(x)-(x+1)=(x-2)e^x\) a le signe de \(x-2\) :
[] \((C_f)\) au-dessous de \((D)\) sur \(]-\infty;2[\), au-dessus sur \(]2;+\infty[\) ; ils se coupent en \((2;3)\)
2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac{1}{x}+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)e^x\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
3. \(f'(x)=1+e^x+(x-2)e^x\)
\(=1+(x-1)e^x=g(x)\geq0\)
\(f'\) ne s’annule qu’en \(0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(f(0)=-1\).
4. \(f\) continue, strictement croissante, \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\) : solution unique \(\alpha\) ; \(f(1)=2-e<0\) et \(f(2)=3>0\) :
[] \(1<\alpha<2\)