Exercice 1 (6 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(e^x+2e^{-x}-3=0\) ; b) \(e^{2x}-3e^x\leq0\) ; c) \(2^x=5\).
2. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(xe^{-x}+1\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^{2x}-e^x+1\right)\) ; d) \(\lim\limits_{x\to-\infty}(x+1)e^x\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^2+1}\).
3. Calculer la dérivée de : a) \(f(x)=(x-1)e^{2x}\) ; b) \(g(x)=e^{x^2-x}\).
2. Calculer les limites : a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(xe^{-x}+1\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^{2x}-e^x+1\right)\) ; d) \(\lim\limits_{x\to-\infty}(x+1)e^x\) ; e) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^2+1}\).
3. Calculer la dérivée de : a) \(f(x)=(x-1)e^{2x}\) ; b) \(g(x)=e^{x^2-x}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) On multiplie par \(e^x>0\) : \(e^{2x}-3e^x+2=0\) ; \(t=e^x\) : \((t-1)(t-2)=0\) :
[] \(S=\{0;\ln2\}\)
b) \(e^x\left(e^x-3\right)\leq0\iff e^x\leq3\) (car \(e^x>0\)) :
[] \(S=]-\infty;\ln3]\)
c) \(e^{x\ln2}=5\iff x\ln2=\ln5\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\ln5}{\ln2}\right\}\)
2. a) \(xe^{-x}=\dfrac{x}{e^x}\to0\) :
[] \(1\)
b) \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{e^x-1}{x}\to\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\dfrac{1}{2}\)
c) \(e^{2x}\left(1-e^{-x}+e^{-2x}\right)\) :
[] \(+\infty\)
d) \((x+1)e^x=xe^x+e^x\to0+0\) :
[] \(0\)
e) \(\dfrac{e^x}{x^2+1}=\dfrac{e^x}{x^2}\times\dfrac{x^2}{x^2+1}\to+\infty\times1\) :
[] \(+\infty\)
3. a) \(f'(x)=e^{2x}+2(x-1)e^{2x}\) :
[] \(f'(x)=(2x-1)e^{2x}\)
b) \(\left(e^u\right)'=u'e^u\) :
[] \(g'(x)=(2x-1)e^{x^2-x}\)
[] \(S=\{0;\ln2\}\)
b) \(e^x\left(e^x-3\right)\leq0\iff e^x\leq3\) (car \(e^x>0\)) :
[] \(S=]-\infty;\ln3]\)
c) \(e^{x\ln2}=5\iff x\ln2=\ln5\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\ln5}{\ln2}\right\}\)
2. a) \(xe^{-x}=\dfrac{x}{e^x}\to0\) :
[] \(1\)
b) \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{e^x-1}{x}\to\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\dfrac{1}{2}\)
c) \(e^{2x}\left(1-e^{-x}+e^{-2x}\right)\) :
[] \(+\infty\)
d) \((x+1)e^x=xe^x+e^x\to0+0\) :
[] \(0\)
e) \(\dfrac{e^x}{x^2+1}=\dfrac{e^x}{x^2}\times\dfrac{x^2}{x^2+1}\to+\infty\times1\) :
[] \(+\infty\)
3. a) \(f'(x)=e^{2x}+2(x-1)e^{2x}\) :
[] \(f'(x)=(2x-1)e^{2x}\)
b) \(\left(e^u\right)'=u'e^u\) :
[] \(g'(x)=(2x-1)e^{x^2-x}\)
Exercice 2 (5 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-6z+18=0\).
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=3+3i\), \(b=3-3i\) et \(c=6\).
a) Écrire \(a\) sous forme exponentielle.
b) Montrer que \(\dfrac{a-c}{b-c}=-i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
3. Soit \(R\) la rotation de centre \(C\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).
a) Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=-iz+6+6i\), puis vérifier que \(R(B)=A\).
b) Montrer que \(OACB\) est un carré.
2. On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes \(a=3+3i\), \(b=3-3i\) et \(c=6\).
a) Écrire \(a\) sous forme exponentielle.
b) Montrer que \(\dfrac{a-c}{b-c}=-i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
3. Soit \(R\) la rotation de centre \(C\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).
a) Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=-iz+6+6i\), puis vérifier que \(R(B)=A\).
b) Montrer que \(OACB\) est un carré.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\Delta=36-72=-36=(6i)^2\) :
[] \(S=\{3+3i;3-3i\}\)
[] 2. a) \(|a|=3\sqrt{2}\) : \(a=3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)
b) \(\dfrac{a-c}{b-c}=\dfrac{-3+3i}{-3-3i}=\dfrac{-1+i}{-1-i}\)
\(=\dfrac{(-1+i)^2}{2}=\dfrac{-2i}{2}=-i\)
\(CA=CB\) et \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(C\)
3. a) \(z'-c=e^{-i\frac{\pi}{2}}(z-c)\) : \(z'=-i(z-6)+6\)
\(=-iz+6+6i\)
\(-i(3-3i)+6+6i=-3i-3+6+6i=3+3i=a\) :
[] \(R(B)=A\)
b) \(\dfrac{a+b}{2}=3=\dfrac{0+c}{2}\) : les diagonales \([OC]\) et \([AB]\) ont le même milieu, et \(OC=AB=6\) ; de plus \((AB)\perp(OC)\) (\(AB\) est vertical, \(OC\) horizontal) :
[] \(OACB\) est un carré
[] \(S=\{3+3i;3-3i\}\)
[] 2. a) \(|a|=3\sqrt{2}\) : \(a=3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\)
b) \(\dfrac{a-c}{b-c}=\dfrac{-3+3i}{-3-3i}=\dfrac{-1+i}{-1-i}\)
\(=\dfrac{(-1+i)^2}{2}=\dfrac{-2i}{2}=-i\)
\(CA=CB\) et \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(C\)
3. a) \(z'-c=e^{-i\frac{\pi}{2}}(z-c)\) : \(z'=-i(z-6)+6\)
\(=-iz+6+6i\)
\(-i(3-3i)+6+6i=-3i-3+6+6i=3+3i=a\) :
[] \(R(B)=A\)
b) \(\dfrac{a+b}{2}=3=\dfrac{0+c}{2}\) : les diagonales \([OC]\) et \([AB]\) ont le même milieu, et \(OC=AB=6\) ; de plus \((AB)\perp(OC)\) (\(AB\) est vertical, \(OC\) horizontal) :
[] \(OACB\) est un carré
Exercice 3 (9 pts)
Partie I. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=1+(x-1)e^x\).
1. Montrer que \(g'(x)=xe^x\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (sans les limites).
2. En déduire que \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+1+(x-2)e^x\).
1. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et montrer que \((D):y=x+1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((D)\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=g(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) et que \(1<\alpha<2\).
1. Montrer que \(g'(x)=xe^x\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (sans les limites).
2. En déduire que \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+1+(x-2)e^x\).
1. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et montrer que \((D):y=x+1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((D)\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=g(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) et que \(1<\alpha<2\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
I. 1. \(g'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x\) : \(g\) décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\) ; \(g(0)=0\).
[] 2. \(g(0)=0\) est le minimum : \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\)
II. 1. a) \((x-2)e^x=xe^x-2e^x\to0\) en \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(f(x)-(x+1)\to0\) :
[] \((D):y=x+1\) est asymptote oblique en \(-\infty\)
b) \(f(x)-(x+1)=(x-2)e^x\) a le signe de \(x-2\) :
[] \((C_f)\) au-dessous de \((D)\) sur \(]-\infty;2[\), au-dessus sur \(]2;+\infty[\) ; ils se coupent en \((2;3)\)
2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac{1}{x}+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)e^x\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
3. \(f'(x)=1+e^x+(x-2)e^x\)
\(=1+(x-1)e^x=g(x)\geq0\)
\(f'\) ne s’annule qu’en \(0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(f(0)=-1\).
4. \(f\) continue, strictement croissante, \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\) : solution unique \(\alpha\) ; \(f(1)=2-e<0\) et \(f(2)=3>0\) :
[] \(1<\alpha<2\)
[] 2. \(g(0)=0\) est le minimum : \((\forall x\in\mathbb{R})\ g(x)\geq0\)
II. 1. a) \((x-2)e^x=xe^x-2e^x\to0\) en \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(f(x)-(x+1)\to0\) :
[] \((D):y=x+1\) est asymptote oblique en \(-\infty\)
b) \(f(x)-(x+1)=(x-2)e^x\) a le signe de \(x-2\) :
[] \((C_f)\) au-dessous de \((D)\) sur \(]-\infty;2[\), au-dessus sur \(]2;+\infty[\) ; ils se coupent en \((2;3)\)
2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac{1}{x}+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)e^x\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
3. \(f'(x)=1+e^x+(x-2)e^x\)
\(=1+(x-1)e^x=g(x)\geq0\)
\(f'\) ne s’annule qu’en \(0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(f(0)=-1\).
4. \(f\) continue, strictement croissante, \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\) : solution unique \(\alpha\) ; \(f(1)=2-e<0\) et \(f(2)=3>0\) :
[] \(1<\alpha<2\)