Exercice 1 (5 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=\dfrac{8u_n}{4+u_n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>4\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=\dfrac{u_n}{u_n-4}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(2\).
b) En déduire que \(u_n=\dfrac{4v_n}{v_n-1}\), puis calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>4\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=\dfrac{u_n}{u_n-4}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(2\).
b) En déduire que \(u_n=\dfrac{4v_n}{v_n-1}\), puis calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(u_0=5>4\) ✔. Si \(u_n>4\) :
\(u_{n+1}-4=\dfrac{8u_n-16-4u_n}{4+u_n}\)
\(=\dfrac{4\left(u_n-4\right)}{4+u_n}>0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>4\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{8u_n-4u_n-u_n^2}{4+u_n}\)
\(=\dfrac{u_n\left(4-u_n\right)}{4+u_n}<0\)
\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(4\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. a) \(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}-4}=\dfrac{\frac{8u_n}{4+u_n}}{\frac{4\left(u_n-4\right)}{4+u_n}}\)
\(=\dfrac{2u_n}{u_n-4}=2v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(2\) et \(v_0=\dfrac{5}{1}=5\)
b) \(v_n\left(u_n-4\right)=u_n\iff u_n\left(v_n-1\right)=4v_n\iff u_n=\dfrac{4v_n}{v_n-1}\) ; \(v_n=5\times2^n\to+\infty\) :
\(u_n=\dfrac{4}{1-\frac{1}{v_n}}\to4\)
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4\)
\(u_{n+1}-4=\dfrac{8u_n-16-4u_n}{4+u_n}\)
\(=\dfrac{4\left(u_n-4\right)}{4+u_n}>0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>4\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{8u_n-4u_n-u_n^2}{4+u_n}\)
\(=\dfrac{u_n\left(4-u_n\right)}{4+u_n}<0\)
\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(4\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. a) \(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}-4}=\dfrac{\frac{8u_n}{4+u_n}}{\frac{4\left(u_n-4\right)}{4+u_n}}\)
\(=\dfrac{2u_n}{u_n-4}=2v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(2\) et \(v_0=\dfrac{5}{1}=5\)
b) \(v_n\left(u_n-4\right)=u_n\iff u_n\left(v_n-1\right)=4v_n\iff u_n=\dfrac{4v_n}{v_n-1}\) ; \(v_n=5\times2^n\to+\infty\) :
\(u_n=\dfrac{4}{1-\frac{1}{v_n}}\to4\)
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4\)
Exercice 2 (6 pts)
On considère les nombres complexes \(z_1=1+i\sqrt{3}\) et \(z_2=1-i\).
1. Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique.
2. En déduire que \(z_1z_2=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{12}\right]\).
3. Écrire \(z_1z_2\) sous forme algébrique, puis en déduire que \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
4. Montrer que \(z_1^6\) est un nombre réel et le calculer.
1. Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique.
2. En déduire que \(z_1z_2=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{12}\right]\).
3. Écrire \(z_1z_2\) sous forme algébrique, puis en déduire que \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
4. Montrer que \(z_1^6\) est un nombre réel et le calculer.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(|z_1|=\sqrt{1+3}=2\) et \(z_1=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) :
[] \(z_1=\left[2;\dfrac{\pi}{3}\right]\)
\(|z_2|=\sqrt{2}\) et \(z_2=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) :
[] \(z_2=\left[\sqrt{2};-\dfrac{\pi}{4}\right]\)
2. \([r;\alpha]\times[r';\alpha']=[rr';\alpha+\alpha']\) : \(z_1z_2=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right]\)
\(=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{12}\right]\)
3. \(z_1z_2=\left(1+i\sqrt{3}\right)(1-i)\)
\(=1-i+i\sqrt{3}+\sqrt{3}\)
\(=\left(1+\sqrt{3}\right)+i\left(\sqrt{3}-1\right)\)
Par identification avec \(2\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)\) : \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\).
[] En multipliant numérateur et dénominateur par \(\sqrt{2}\) : \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
4. Formule de Moivre : \(z_1^6=\left[2^6;6\times\dfrac{\pi}{3}\right]\)
\(=\left[64;2\pi\right]=64\)
[] \(z_1^6=64\in\mathbb{R}\)
[] \(z_1=\left[2;\dfrac{\pi}{3}\right]\)
\(|z_2|=\sqrt{2}\) et \(z_2=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) :
[] \(z_2=\left[\sqrt{2};-\dfrac{\pi}{4}\right]\)
2. \([r;\alpha]\times[r';\alpha']=[rr';\alpha+\alpha']\) : \(z_1z_2=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right]\)
\(=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{12}\right]\)
3. \(z_1z_2=\left(1+i\sqrt{3}\right)(1-i)\)
\(=1-i+i\sqrt{3}+\sqrt{3}\)
\(=\left(1+\sqrt{3}\right)+i\left(\sqrt{3}-1\right)\)
Par identification avec \(2\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)\) : \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\).
[] En multipliant numérateur et dénominateur par \(\sqrt{2}\) : \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
4. Formule de Moivre : \(z_1^6=\left[2^6;6\times\dfrac{\pi}{3}\right]\)
\(=\left[64;2\pi\right]=64\)
[] \(z_1^6=64\in\mathbb{R}\)
Exercice 3 (9 pts)
Partie I. Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=x-1+\ln x\).
1. Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
2. Calculer \(g(1)\) et en déduire le signe de \(g(x)\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\ln x\).
1. Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. a) Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et en déduire que \((\forall x>0)\ (x-1)\ln x\geq0\).
4. Donner une équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(e\).
1. Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
2. Calculer \(g(1)\) et en déduire le signe de \(g(x)\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\ln x\).
1. Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. a) Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et en déduire que \((\forall x>0)\ (x-1)\ln x\geq0\).
4. Donner une équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(e\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
I. 1. \(g'(x)=1+\dfrac{1}{x}>0\) :
[] \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\)
2. \(g(1)=0\) :
[] \(g(x)<0\) sur \(]0;1[\) et \(g(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\)
II. 1. En \(0^+\) : \(1-\dfrac{1}{x}\to-\infty\) et \(\ln x\to-\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) : asymptote verticale \(x=0\)
2. \(1-\dfrac{1}{x}\to1\) et \(\ln x\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{\ln x}{x}\to0\) :
[] \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses
3. a) \(f'(x)=\dfrac{1}{x^2}\ln x+\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{1}{x}\)
\(=\dfrac{\ln x+x-1}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}\)
b) \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\) ; \(f(1)=0\).
Le minimum de \(f\) est \(0\), donc \(f(x)\geq0\) ; or \(f(x)=\dfrac{(x-1)\ln x}{x}\) et \(x>0\) :
[] \((\forall x>0)\ (x-1)\ln x\geq0\)
4. \(f(e)=1-\dfrac{1}{e}\) et \(f'(e)=\dfrac{g(e)}{e^2}=\dfrac{e}{e^2}=\dfrac{1}{e}\) :
\(y=\dfrac{1}{e}(x-e)+1-\dfrac{1}{e}\)
[] \((T):y=\dfrac{1}{e}x-\dfrac{1}{e}\)
[] \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\)
2. \(g(1)=0\) :
[] \(g(x)<0\) sur \(]0;1[\) et \(g(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\)
II. 1. En \(0^+\) : \(1-\dfrac{1}{x}\to-\infty\) et \(\ln x\to-\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) : asymptote verticale \(x=0\)
2. \(1-\dfrac{1}{x}\to1\) et \(\ln x\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{\ln x}{x}\to0\) :
[] \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses
3. a) \(f'(x)=\dfrac{1}{x^2}\ln x+\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{1}{x}\)
\(=\dfrac{\ln x+x-1}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}\)
b) \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\) ; \(f(1)=0\).
Le minimum de \(f\) est \(0\), donc \(f(x)\geq0\) ; or \(f(x)=\dfrac{(x-1)\ln x}{x}\) et \(x>0\) :
[] \((\forall x>0)\ (x-1)\ln x\geq0\)
4. \(f(e)=1-\dfrac{1}{e}\) et \(f'(e)=\dfrac{g(e)}{e^2}=\dfrac{e}{e^2}=\dfrac{1}{e}\) :
\(y=\dfrac{1}{e}(x-e)+1-\dfrac{1}{e}\)
[] \((T):y=\dfrac{1}{e}x-\dfrac{1}{e}\)