Exercice 1 (5 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=\dfrac{8u_n}{4+u_n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>4\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=\dfrac{u_n}{u_n-4}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(2\).
b) En déduire que \(u_n=\dfrac{4v_n}{v_n-1}\), puis calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>4\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=\dfrac{u_n}{u_n-4}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(2\).
b) En déduire que \(u_n=\dfrac{4v_n}{v_n-1}\), puis calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(u_0=5>4\) ✔. Si \(u_n>4\) :
\(u_{n+1}-4=\dfrac{8u_n-16-4u_n}{4+u_n}\)
\(=\dfrac{4\left(u_n-4\right)}{4+u_n}>0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>4\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{8u_n-4u_n-u_n^2}{4+u_n}\)
\(=\dfrac{u_n\left(4-u_n\right)}{4+u_n}<0\)
\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(4\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. a) \(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}-4}=\dfrac{\frac{8u_n}{4+u_n}}{\frac{4\left(u_n-4\right)}{4+u_n}}\)
\(=\dfrac{2u_n}{u_n-4}=2v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(2\) et \(v_0=\dfrac{5}{1}=5\)
b) \(v_n\left(u_n-4\right)=u_n\iff u_n\left(v_n-1\right)=4v_n\iff u_n=\dfrac{4v_n}{v_n-1}\) ; \(v_n=5\times2^n\to+\infty\) :
\(u_n=\dfrac{4}{1-\frac{1}{v_n}}\to4\)
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4\)
\(u_{n+1}-4=\dfrac{8u_n-16-4u_n}{4+u_n}\)
\(=\dfrac{4\left(u_n-4\right)}{4+u_n}>0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>4\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{8u_n-4u_n-u_n^2}{4+u_n}\)
\(=\dfrac{u_n\left(4-u_n\right)}{4+u_n}<0\)
\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(4\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. a) \(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}-4}=\dfrac{\frac{8u_n}{4+u_n}}{\frac{4\left(u_n-4\right)}{4+u_n}}\)
\(=\dfrac{2u_n}{u_n-4}=2v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(2\) et \(v_0=\dfrac{5}{1}=5\)
b) \(v_n\left(u_n-4\right)=u_n\iff u_n\left(v_n-1\right)=4v_n\iff u_n=\dfrac{4v_n}{v_n-1}\) ; \(v_n=5\times2^n\to+\infty\) :
\(u_n=\dfrac{4}{1-\frac{1}{v_n}}\to4\)
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4\)
Exercice 2 (6 pts)
On considère le polynôme \(P(z)=z^3-(2+2i)z^2+(2+4i)z-4i\) pour \(z\in\mathbb{C}\).
1. Vérifier que \(P(2i)=0\).
2. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \((\forall z\in\mathbb{C})\ P(z)=(z-2i)\left(z^2+az+b\right)\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(P(z)=0\).
4. Dans le plan complexe \((O;\vec{u};\vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(\Omega\) d’affixes \(2i\), \(1+i\), \(1-i\) et \(-1\).
a) Montrer que le triangle \(OBC\) est rectangle isocèle en \(O\).
b) Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent au cercle de centre \(\Omega\) dont on déterminera le rayon.
1. Vérifier que \(P(2i)=0\).
2. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \((\forall z\in\mathbb{C})\ P(z)=(z-2i)\left(z^2+az+b\right)\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(P(z)=0\).
4. Dans le plan complexe \((O;\vec{u};\vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(\Omega\) d’affixes \(2i\), \(1+i\), \(1-i\) et \(-1\).
a) Montrer que le triangle \(OBC\) est rectangle isocèle en \(O\).
b) Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent au cercle de centre \(\Omega\) dont on déterminera le rayon.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((2i)^2=-4\) et \((2i)^3=-8i\) : \(P(2i)=-8i+4(2+2i)+2i(2+4i)-4i\)
\(=-8i+8+8i+4i-8-4i=0\)
2. \((z-2i)\left(z^2+az+b\right)=z^3+(a-2i)z^2+(b-2ai)z-2bi\)
Par identification : \(-2bi=-4i\) et \(a-2i=-2-2i\) :
[] \(a=-2\) et \(b=2\) (on vérifie \(b-2ai=2+4i\) ✔)
3. \(z^2-2z+2=0\) : \(\Delta=-4=(2i)^2\), \(z=1+i\) ou \(z=1-i\) :
[] \(S=\{2i;1+i;1-i\}\)
4. a) \(\dfrac{z_B-0}{z_C-0}=\dfrac{1+i}{1-i}\)
\(=\dfrac{(1+i)^2}{2}=i\)
[] \(OB=OC\) et \(\left(\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) : \(OBC\) est rectangle isocèle en \(O\)
b) \(\Omega A=|2i+1|=\sqrt{5}\) ; \(\Omega B=|2+i|=\sqrt{5}\) ; \(\Omega C=|2-i|=\sqrt{5}\) :
[] \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent au cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(\sqrt{5}\)
\(=-8i+8+8i+4i-8-4i=0\)
2. \((z-2i)\left(z^2+az+b\right)=z^3+(a-2i)z^2+(b-2ai)z-2bi\)
Par identification : \(-2bi=-4i\) et \(a-2i=-2-2i\) :
[] \(a=-2\) et \(b=2\) (on vérifie \(b-2ai=2+4i\) ✔)
3. \(z^2-2z+2=0\) : \(\Delta=-4=(2i)^2\), \(z=1+i\) ou \(z=1-i\) :
[] \(S=\{2i;1+i;1-i\}\)
4. a) \(\dfrac{z_B-0}{z_C-0}=\dfrac{1+i}{1-i}\)
\(=\dfrac{(1+i)^2}{2}=i\)
[] \(OB=OC\) et \(\left(\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) : \(OBC\) est rectangle isocèle en \(O\)
b) \(\Omega A=|2i+1|=\sqrt{5}\) ; \(\Omega B=|2+i|=\sqrt{5}\) ; \(\Omega C=|2-i|=\sqrt{5}\) :
[] \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent au cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(\sqrt{5}\)
Exercice 3 (9 pts)
Partie I. Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=x-2\ln x\).
1. Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (sans les limites).
2. En déduire que \((\forall x>0)\ g(x)>0\) (on donne \(\ln2<1\)).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x-(\ln x)^2\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. a) En posant \(t=\sqrt{x}\), montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}=0\).
b) En déduire \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(\left]\dfrac{1}{e};1\right[\).
1. Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (sans les limites).
2. En déduire que \((\forall x>0)\ g(x)>0\) (on donne \(\ln2<1\)).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x-(\ln x)^2\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. a) En posant \(t=\sqrt{x}\), montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}=0\).
b) En déduire \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(\left]\dfrac{1}{e};1\right[\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
I. 1. \(g'(x)=1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{x-2}{x}\) : \(g\) décroissante sur \(]0;2]\), croissante sur \([2;+\infty[\).
2. Le minimum de \(g\) est \(g(2)=2-2\ln2=2(1-\ln2)>0\) :
[] \((\forall x>0)\ g(x)>0\)
II. 1. \((\ln x)^2\to+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale
2. a) \(x=t^2\) : \(\dfrac{(\ln x)^2}{x}=\dfrac{\left(2\ln t\right)^2}{t^2}\)
\(=4\left(\dfrac{\ln t}{t}\right)^2\to0\)
b) \(f(x)=x\left(1-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right)\to+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}\to1\) et \(f(x)-x=-(\ln x)^2\to-\infty\) :
[] \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction la droite \(y=x\)
3. \(f'(x)=1-2\ln x\times\dfrac{1}{x}\)
\(=\dfrac{x-2\ln x}{x}=\dfrac{g(x)}{x}>0\)
4. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\left[\dfrac{1}{e};1\right]\) ; \(f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{1}{e}-1<0\) et \(f(1)=1>0\) :
[] d’après le TVI, l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\in\left]\dfrac{1}{e};1\right[\)
2. Le minimum de \(g\) est \(g(2)=2-2\ln2=2(1-\ln2)>0\) :
[] \((\forall x>0)\ g(x)>0\)
II. 1. \((\ln x)^2\to+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale
2. a) \(x=t^2\) : \(\dfrac{(\ln x)^2}{x}=\dfrac{\left(2\ln t\right)^2}{t^2}\)
\(=4\left(\dfrac{\ln t}{t}\right)^2\to0\)
b) \(f(x)=x\left(1-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right)\to+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}\to1\) et \(f(x)-x=-(\ln x)^2\to-\infty\) :
[] \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction la droite \(y=x\)
3. \(f'(x)=1-2\ln x\times\dfrac{1}{x}\)
\(=\dfrac{x-2\ln x}{x}=\dfrac{g(x)}{x}>0\)
4. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\left[\dfrac{1}{e};1\right]\) ; \(f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{1}{e}-1<0\) et \(f(1)=1>0\) :
[] d’après le TVI, l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\in\left]\dfrac{1}{e};1\right[\)