Exercice 1 (5 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=\dfrac{8u_n}{4+u_n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>4\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=\dfrac{u_n}{u_n-4}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(2\).
b) En déduire que \(u_n=\dfrac{4v_n}{v_n-1}\), puis calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>4\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=\dfrac{u_n}{u_n-4}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(2\).
b) En déduire que \(u_n=\dfrac{4v_n}{v_n-1}\), puis calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(u_0=5>4\) ✔. Si \(u_n>4\) :
\(u_{n+1}-4=\dfrac{8u_n-16-4u_n}{4+u_n}\)
\(=\dfrac{4\left(u_n-4\right)}{4+u_n}>0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>4\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{8u_n-4u_n-u_n^2}{4+u_n}\)
\(=\dfrac{u_n\left(4-u_n\right)}{4+u_n}<0\)
\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(4\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. a) \(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}-4}=\dfrac{\frac{8u_n}{4+u_n}}{\frac{4\left(u_n-4\right)}{4+u_n}}\)
\(=\dfrac{2u_n}{u_n-4}=2v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(2\) et \(v_0=\dfrac{5}{1}=5\)
b) \(v_n\left(u_n-4\right)=u_n\iff u_n\left(v_n-1\right)=4v_n\iff u_n=\dfrac{4v_n}{v_n-1}\) ; \(v_n=5\times2^n\to+\infty\) :
\(u_n=\dfrac{4}{1-\frac{1}{v_n}}\to4\)
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4\)
\(u_{n+1}-4=\dfrac{8u_n-16-4u_n}{4+u_n}\)
\(=\dfrac{4\left(u_n-4\right)}{4+u_n}>0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>4\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{8u_n-4u_n-u_n^2}{4+u_n}\)
\(=\dfrac{u_n\left(4-u_n\right)}{4+u_n}<0\)
\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(4\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. a) \(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}-4}=\dfrac{\frac{8u_n}{4+u_n}}{\frac{4\left(u_n-4\right)}{4+u_n}}\)
\(=\dfrac{2u_n}{u_n-4}=2v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(2\) et \(v_0=\dfrac{5}{1}=5\)
b) \(v_n\left(u_n-4\right)=u_n\iff u_n\left(v_n-1\right)=4v_n\iff u_n=\dfrac{4v_n}{v_n-1}\) ; \(v_n=5\times2^n\to+\infty\) :
\(u_n=\dfrac{4}{1-\frac{1}{v_n}}\to4\)
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4\)
Exercice 2 (6 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-2z+5=0\).
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{u};\vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(a=1+2i\), \(b=1-2i\) et \(c=5+2i\).
a) Montrer que \(\dfrac{c-a}{b-a}=i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
b) Écrire le nombre \(\dfrac{c-a}{b-a}\) sous forme trigonométrique.
3. a) Déterminer l’affixe \(d\) du point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un parallélogramme.
b) En déduire que \(ABDC\) est un carré.
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{u};\vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(a=1+2i\), \(b=1-2i\) et \(c=5+2i\).
a) Montrer que \(\dfrac{c-a}{b-a}=i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
b) Écrire le nombre \(\dfrac{c-a}{b-a}\) sous forme trigonométrique.
3. a) Déterminer l’affixe \(d\) du point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un parallélogramme.
b) En déduire que \(ABDC\) est un carré.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\Delta=4-20=-16=(4i)^2\) : \(z_1=\dfrac{2+4i}{2}=1+2i\) et \(z_2=\overline{z_1}=1-2i\) :
[] \(S=\{1+2i;1-2i\}\)
2. a) \(\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{4}{-4i}\)
\(=\dfrac{-1}{i}=i\)
Donc \(\dfrac{AC}{AB}=|i|=1\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\arg(i)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\)
[] b) \(i=\left[1;\dfrac{\pi}{2}\right]=\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
3. a) \(ABDC\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff d=b+c-a\) :
[] \(d=5-2i\)
b) \(ABDC\) est un parallélogramme ayant un angle droit en \(A\) et deux côtés consécutifs égaux (\(AB=AC\)) :
[] \(ABDC\) est un carré
[] \(S=\{1+2i;1-2i\}\)
2. a) \(\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{4}{-4i}\)
\(=\dfrac{-1}{i}=i\)
Donc \(\dfrac{AC}{AB}=|i|=1\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\arg(i)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\)
[] b) \(i=\left[1;\dfrac{\pi}{2}\right]=\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
3. a) \(ABDC\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff d=b+c-a\) :
[] \(d=5-2i\)
b) \(ABDC\) est un parallélogramme ayant un angle droit en \(A\) et deux côtés consécutifs égaux (\(AB=AC\)) :
[] \(ABDC\) est un carré
Exercice 3 (9 pts)
Partie I. Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=x^2-1+\ln x\).
1. Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
2. Calculer \(g(1)\), puis en déduire le signe de \(g(x)\) sur \(]0;+\infty[\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x-1-\dfrac{\ln x}{x}\), et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que la droite \((\Delta):y=x-1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).
4. a) Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et en déduire que \((\forall x>0)\ f(x)\geq0\).
5. Tracer \((\Delta)\) et \((C_f)\).
1. Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
2. Calculer \(g(1)\), puis en déduire le signe de \(g(x)\) sur \(]0;+\infty[\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x-1-\dfrac{\ln x}{x}\), et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que la droite \((\Delta):y=x-1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).
4. a) Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et en déduire que \((\forall x>0)\ f(x)\geq0\).
5. Tracer \((\Delta)\) et \((C_f)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
I. 1. \(g'(x)=2x+\dfrac{1}{x}>0\) sur \(]0;+\infty[\) :
[] \(g\) est strictement croissante
2. \(g(1)=1-1+0=0\) et \(g\) strictement croissante :
[] \(g(x)<0\) sur \(]0;1[\) et \(g(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\)
II. 1. \(\ln x\to-\infty\) et \(\dfrac{1}{x}\to+\infty\), donc \(-\dfrac{\ln x}{x}\to+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale
2. \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(f(x)-(x-1)=-\dfrac{\ln x}{x}\to0\) :
[] \((\Delta):y=x-1\) est asymptote oblique en \(+\infty\)
3. \(f(x)-(x-1)\) a le signe de \(-\ln x\) :
[] \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]0;1[\), au-dessous sur \(]1;+\infty[\) ; ils se coupent en \((1;0)\)
4. a) \(f'(x)=1-\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}\)
\(=\dfrac{x^2-1+\ln x}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}\)
b) \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\) ; \(f(1)=0\).
[] \(0\) est la valeur minimale de \(f\) : \((\forall x>0)\ f(x)\geq0\)
[] \(g\) est strictement croissante
2. \(g(1)=1-1+0=0\) et \(g\) strictement croissante :
[] \(g(x)<0\) sur \(]0;1[\) et \(g(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\)
II. 1. \(\ln x\to-\infty\) et \(\dfrac{1}{x}\to+\infty\), donc \(-\dfrac{\ln x}{x}\to+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale
2. \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(f(x)-(x-1)=-\dfrac{\ln x}{x}\to0\) :
[] \((\Delta):y=x-1\) est asymptote oblique en \(+\infty\)
3. \(f(x)-(x-1)\) a le signe de \(-\ln x\) :
[] \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]0;1[\), au-dessous sur \(]1;+\infty[\) ; ils se coupent en \((1;0)\)
4. a) \(f'(x)=1-\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}\)
\(=\dfrac{x^2-1+\ln x}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}\)
b) \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\) ; \(f(1)=0\).
[] \(0\) est la valeur minimale de \(f\) : \((\forall x>0)\ f(x)\geq0\)