Exercice 1 (5 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3+u_n^2}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\).
2. Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
3. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}u_n\).
b) En déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n\leq2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\).
4. Déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\).
2. Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
3. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}u_n\).
b) En déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n\leq2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\).
4. Déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(u_0=2>0\) ✔ ; si \(u_n>0\), alors \(3+u_n^2>0\) et \(u_{n+1}>0\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-3u_n-u_n^3}{3+u_n^2}\)
\(=\dfrac{-u_n\left(2+u_n^2\right)}{3+u_n^2}<0\)
[] \((u_n)\) est décroissante
3. a) \(3+u_n^2\geq3\), donc \(\dfrac{1}{3+u_n^2}\leq\dfrac{1}{3}\), et comme \(u_n>0\) :
[] \(u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}u_n\)
b) Récurrence : \(u_0=2=2\left(\dfrac{1}{3}\right)^0\) ✔ ; si \(u_n\leq2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\), alors \(u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}u_n\leq2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\) ✔.
4. \(-1<\dfrac{1}{3}<1\), donc \(2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\to0\) ; par limites et ordre :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-3u_n-u_n^3}{3+u_n^2}\)
\(=\dfrac{-u_n\left(2+u_n^2\right)}{3+u_n^2}<0\)
[] \((u_n)\) est décroissante
3. a) \(3+u_n^2\geq3\), donc \(\dfrac{1}{3+u_n^2}\leq\dfrac{1}{3}\), et comme \(u_n>0\) :
[] \(u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}u_n\)
b) Récurrence : \(u_0=2=2\left(\dfrac{1}{3}\right)^0\) ✔ ; si \(u_n\leq2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\), alors \(u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}u_n\leq2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\) ✔.
4. \(-1<\dfrac{1}{3}<1\), donc \(2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\to0\) ; par limites et ordre :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0\)
Exercice 2 (6 pts)
On considère les nombres complexes \(z_1=1+i\sqrt{3}\) et \(z_2=1-i\).
1. Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique.
2. En déduire que \(z_1z_2=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{12}\right]\).
3. Écrire \(z_1z_2\) sous forme algébrique, puis en déduire que \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
4. Montrer que \(z_1^6\) est un nombre réel et le calculer.
1. Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique.
2. En déduire que \(z_1z_2=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{12}\right]\).
3. Écrire \(z_1z_2\) sous forme algébrique, puis en déduire que \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
4. Montrer que \(z_1^6\) est un nombre réel et le calculer.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(|z_1|=\sqrt{1+3}=2\) et \(z_1=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) :
[] \(z_1=\left[2;\dfrac{\pi}{3}\right]\)
\(|z_2|=\sqrt{2}\) et \(z_2=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) :
[] \(z_2=\left[\sqrt{2};-\dfrac{\pi}{4}\right]\)
2. \([r;\alpha]\times[r';\alpha']=[rr';\alpha+\alpha']\) : \(z_1z_2=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right]\)
\(=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{12}\right]\)
3. \(z_1z_2=\left(1+i\sqrt{3}\right)(1-i)\)
\(=1-i+i\sqrt{3}+\sqrt{3}\)
\(=\left(1+\sqrt{3}\right)+i\left(\sqrt{3}-1\right)\)
Par identification avec \(2\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)\) : \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\).
[] En multipliant numérateur et dénominateur par \(\sqrt{2}\) : \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
4. Formule de Moivre : \(z_1^6=\left[2^6;6\times\dfrac{\pi}{3}\right]\)
\(=\left[64;2\pi\right]=64\)
[] \(z_1^6=64\in\mathbb{R}\)
[] \(z_1=\left[2;\dfrac{\pi}{3}\right]\)
\(|z_2|=\sqrt{2}\) et \(z_2=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) :
[] \(z_2=\left[\sqrt{2};-\dfrac{\pi}{4}\right]\)
2. \([r;\alpha]\times[r';\alpha']=[rr';\alpha+\alpha']\) : \(z_1z_2=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right]\)
\(=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{12}\right]\)
3. \(z_1z_2=\left(1+i\sqrt{3}\right)(1-i)\)
\(=1-i+i\sqrt{3}+\sqrt{3}\)
\(=\left(1+\sqrt{3}\right)+i\left(\sqrt{3}-1\right)\)
Par identification avec \(2\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)\) : \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\).
[] En multipliant numérateur et dénominateur par \(\sqrt{2}\) : \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
4. Formule de Moivre : \(z_1^6=\left[2^6;6\times\dfrac{\pi}{3}\right]\)
\(=\left[64;2\pi\right]=64\)
[] \(z_1^6=64\in\mathbb{R}\)
Exercice 3 (9 pts)
Partie I. Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=x-2\ln x\).
1. Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (sans les limites).
2. En déduire que \((\forall x>0)\ g(x)>0\) (on donne \(\ln2<1\)).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x-(\ln x)^2\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. a) En posant \(t=\sqrt{x}\), montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}=0\).
b) En déduire \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(\left]\dfrac{1}{e};1\right[\).
1. Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (sans les limites).
2. En déduire que \((\forall x>0)\ g(x)>0\) (on donne \(\ln2<1\)).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x-(\ln x)^2\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. a) En posant \(t=\sqrt{x}\), montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}=0\).
b) En déduire \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(\left]\dfrac{1}{e};1\right[\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
I. 1. \(g'(x)=1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{x-2}{x}\) : \(g\) décroissante sur \(]0;2]\), croissante sur \([2;+\infty[\).
2. Le minimum de \(g\) est \(g(2)=2-2\ln2=2(1-\ln2)>0\) :
[] \((\forall x>0)\ g(x)>0\)
II. 1. \((\ln x)^2\to+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale
2. a) \(x=t^2\) : \(\dfrac{(\ln x)^2}{x}=\dfrac{\left(2\ln t\right)^2}{t^2}\)
\(=4\left(\dfrac{\ln t}{t}\right)^2\to0\)
b) \(f(x)=x\left(1-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right)\to+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}\to1\) et \(f(x)-x=-(\ln x)^2\to-\infty\) :
[] \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction la droite \(y=x\)
3. \(f'(x)=1-2\ln x\times\dfrac{1}{x}\)
\(=\dfrac{x-2\ln x}{x}=\dfrac{g(x)}{x}>0\)
4. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\left[\dfrac{1}{e};1\right]\) ; \(f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{1}{e}-1<0\) et \(f(1)=1>0\) :
[] d’après le TVI, l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\in\left]\dfrac{1}{e};1\right[\)
2. Le minimum de \(g\) est \(g(2)=2-2\ln2=2(1-\ln2)>0\) :
[] \((\forall x>0)\ g(x)>0\)
II. 1. \((\ln x)^2\to+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale
2. a) \(x=t^2\) : \(\dfrac{(\ln x)^2}{x}=\dfrac{\left(2\ln t\right)^2}{t^2}\)
\(=4\left(\dfrac{\ln t}{t}\right)^2\to0\)
b) \(f(x)=x\left(1-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right)\to+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}\to1\) et \(f(x)-x=-(\ln x)^2\to-\infty\) :
[] \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction la droite \(y=x\)
3. \(f'(x)=1-2\ln x\times\dfrac{1}{x}\)
\(=\dfrac{x-2\ln x}{x}=\dfrac{g(x)}{x}>0\)
4. \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\left[\dfrac{1}{e};1\right]\) ; \(f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{1}{e}-1<0\) et \(f(1)=1>0\) :
[] d’après le TVI, l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\in\left]\dfrac{1}{e};1\right[\)