Exercice 1 (5 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3+u_n^2}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\).
2. Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
3. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}u_n\).
b) En déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n\leq2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\).
4. Déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\).
2. Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
3. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}u_n\).
b) En déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n\leq2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\).
4. Déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(u_0=2>0\) ✔ ; si \(u_n>0\), alors \(3+u_n^2>0\) et \(u_{n+1}>0\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-3u_n-u_n^3}{3+u_n^2}\)
\(=\dfrac{-u_n\left(2+u_n^2\right)}{3+u_n^2}<0\)
[] \((u_n)\) est décroissante
3. a) \(3+u_n^2\geq3\), donc \(\dfrac{1}{3+u_n^2}\leq\dfrac{1}{3}\), et comme \(u_n>0\) :
[] \(u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}u_n\)
b) Récurrence : \(u_0=2=2\left(\dfrac{1}{3}\right)^0\) ✔ ; si \(u_n\leq2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\), alors \(u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}u_n\leq2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\) ✔.
4. \(-1<\dfrac{1}{3}<1\), donc \(2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\to0\) ; par limites et ordre :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-3u_n-u_n^3}{3+u_n^2}\)
\(=\dfrac{-u_n\left(2+u_n^2\right)}{3+u_n^2}<0\)
[] \((u_n)\) est décroissante
3. a) \(3+u_n^2\geq3\), donc \(\dfrac{1}{3+u_n^2}\leq\dfrac{1}{3}\), et comme \(u_n>0\) :
[] \(u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}u_n\)
b) Récurrence : \(u_0=2=2\left(\dfrac{1}{3}\right)^0\) ✔ ; si \(u_n\leq2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\), alors \(u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}u_n\leq2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\) ✔.
4. \(-1<\dfrac{1}{3}<1\), donc \(2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\to0\) ; par limites et ordre :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0\)
Exercice 2 (6 pts)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{u};\vec{v})\), on considère les points \(\Omega\) et \(A\) d’affixes \(\omega=1\) et \(a=1+2i\), et la rotation \(R\) de centre \(\Omega\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
1. Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=iz+1-i\).
2. Soient \(B=R(A)\), \(C=R(B)\) et \(D=R(C)\). Calculer les affixes \(b\), \(c\) et \(d\).
3. a) Montrer que \(\dfrac{b-a}{d-a}=-i\).
b) Montrer que \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\), puis en déduire la nature du quadrilatère \(ABCD\).
4. Écrire \(a-\omega\) sous forme trigonométrique.
1. Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=iz+1-i\).
2. Soient \(B=R(A)\), \(C=R(B)\) et \(D=R(C)\). Calculer les affixes \(b\), \(c\) et \(d\).
3. a) Montrer que \(\dfrac{b-a}{d-a}=-i\).
b) Montrer que \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\), puis en déduire la nature du quadrilatère \(ABCD\).
4. Écrire \(a-\omega\) sous forme trigonométrique.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(z'-\omega=e^{i\frac{\pi}{2}}(z-\omega)\) avec \(e^{i\frac{\pi}{2}}=i\) : \(z'=i(z-1)+1\)
\(=iz+1-i\)
2. \(b=i(1+2i)+1-i=-1\) ; \(c=-i+1-i=1-2i\) ; \(d=i(1-2i)+1-i=3\) :
[] \(b=-1\) ; \(c=1-2i\) ; \(d=3\)
3. a) \(\dfrac{b-a}{d-a}=\dfrac{-2-2i}{2-2i}=\dfrac{-1-i}{1-i}\)
\(=\dfrac{(-1-i)(1+i)}{2}=\dfrac{-2i}{2}=-i\)
b) \(\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{2}{2}=1\) et \(\dfrac{b+d}{2}=\dfrac{2}{2}=1\) : les diagonales ont le même milieu \(\Omega\).
\(ABCD\) est un parallélogramme ; d’après 3.a) \(AB=AD\) et \(\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AB}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABCD\) est un carré
[] 4. \(a-\omega=2i=\left[2;\dfrac{\pi}{2}\right]\)
\(=iz+1-i\)
2. \(b=i(1+2i)+1-i=-1\) ; \(c=-i+1-i=1-2i\) ; \(d=i(1-2i)+1-i=3\) :
[] \(b=-1\) ; \(c=1-2i\) ; \(d=3\)
3. a) \(\dfrac{b-a}{d-a}=\dfrac{-2-2i}{2-2i}=\dfrac{-1-i}{1-i}\)
\(=\dfrac{(-1-i)(1+i)}{2}=\dfrac{-2i}{2}=-i\)
b) \(\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{2}{2}=1\) et \(\dfrac{b+d}{2}=\dfrac{2}{2}=1\) : les diagonales ont le même milieu \(\Omega\).
\(ABCD\) est un parallélogramme ; d’après 3.a) \(AB=AD\) et \(\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AB}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABCD\) est un carré
[] 4. \(a-\omega=2i=\left[2;\dfrac{\pi}{2}\right]\)
Exercice 3 (9 pts)
Partie I. Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=x-1+\ln x\).
1. Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
2. Calculer \(g(1)\) et en déduire le signe de \(g(x)\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\ln x\).
1. Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. a) Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et en déduire que \((\forall x>0)\ (x-1)\ln x\geq0\).
4. Donner une équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(e\).
1. Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
2. Calculer \(g(1)\) et en déduire le signe de \(g(x)\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\ln x\).
1. Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. a) Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et en déduire que \((\forall x>0)\ (x-1)\ln x\geq0\).
4. Donner une équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(e\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
I. 1. \(g'(x)=1+\dfrac{1}{x}>0\) :
[] \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\)
2. \(g(1)=0\) :
[] \(g(x)<0\) sur \(]0;1[\) et \(g(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\)
II. 1. En \(0^+\) : \(1-\dfrac{1}{x}\to-\infty\) et \(\ln x\to-\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) : asymptote verticale \(x=0\)
2. \(1-\dfrac{1}{x}\to1\) et \(\ln x\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{\ln x}{x}\to0\) :
[] \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses
3. a) \(f'(x)=\dfrac{1}{x^2}\ln x+\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{1}{x}\)
\(=\dfrac{\ln x+x-1}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}\)
b) \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\) ; \(f(1)=0\).
Le minimum de \(f\) est \(0\), donc \(f(x)\geq0\) ; or \(f(x)=\dfrac{(x-1)\ln x}{x}\) et \(x>0\) :
[] \((\forall x>0)\ (x-1)\ln x\geq0\)
4. \(f(e)=1-\dfrac{1}{e}\) et \(f'(e)=\dfrac{g(e)}{e^2}=\dfrac{e}{e^2}=\dfrac{1}{e}\) :
\(y=\dfrac{1}{e}(x-e)+1-\dfrac{1}{e}\)
[] \((T):y=\dfrac{1}{e}x-\dfrac{1}{e}\)
[] \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\)
2. \(g(1)=0\) :
[] \(g(x)<0\) sur \(]0;1[\) et \(g(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\)
II. 1. En \(0^+\) : \(1-\dfrac{1}{x}\to-\infty\) et \(\ln x\to-\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) : asymptote verticale \(x=0\)
2. \(1-\dfrac{1}{x}\to1\) et \(\ln x\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{\ln x}{x}\to0\) :
[] \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses
3. a) \(f'(x)=\dfrac{1}{x^2}\ln x+\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{1}{x}\)
\(=\dfrac{\ln x+x-1}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}\)
b) \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\) ; \(f(1)=0\).
Le minimum de \(f\) est \(0\), donc \(f(x)\geq0\) ; or \(f(x)=\dfrac{(x-1)\ln x}{x}\) et \(x>0\) :
[] \((\forall x>0)\ (x-1)\ln x\geq0\)
4. \(f(e)=1-\dfrac{1}{e}\) et \(f'(e)=\dfrac{g(e)}{e^2}=\dfrac{e}{e^2}=\dfrac{1}{e}\) :
\(y=\dfrac{1}{e}(x-e)+1-\dfrac{1}{e}\)
[] \((T):y=\dfrac{1}{e}x-\dfrac{1}{e}\)