Exercice 1 (5 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{9}{6-u_n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. a) Vérifier que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}-3=\dfrac{3\left(u_n-3\right)}{6-u_n}\).
b) Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3. On pose \(w_n=\dfrac{1}{3-u_n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((w_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r=\dfrac{1}{3}\).
b) Calculer \(u_n\) en fonction de \(n\) et déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. a) Vérifier que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}-3=\dfrac{3\left(u_n-3\right)}{6-u_n}\).
b) Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3. On pose \(w_n=\dfrac{1}{3-u_n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((w_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r=\dfrac{1}{3}\).
b) Calculer \(u_n\) en fonction de \(n\) et déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(u_{n+1}-3=\dfrac{9-18+3u_n}{6-u_n}\)
\(=\dfrac{3\left(u_n-3\right)}{6-u_n}\)
b) \(u_0=1<3\) ✔ ; si \(u_n<3\) : \(u_n-3<0\) et \(6-u_n>3>0\), donc \(u_{n+1}-3<0\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{9-6u_n+u_n^2}{6-u_n}\)
\(=\dfrac{\left(u_n-3\right)^2}{6-u_n}>0\)
[] \((u_n)\) est croissante
3. a) D’après 1.a) : \(3-u_{n+1}=\dfrac{3\left(3-u_n\right)}{6-u_n}\), donc :
\(w_{n+1}=\dfrac{6-u_n}{3\left(3-u_n\right)}=\dfrac{3+\left(3-u_n\right)}{3\left(3-u_n\right)}\)
\(=\dfrac{1}{3-u_n}+\dfrac{1}{3}=w_n+\dfrac{1}{3}\)
[] \((w_n)\) est arithmétique de raison \(\dfrac{1}{3}\), \(w_0=\dfrac{1}{2}\)
b) \(w_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{3}=\dfrac{3+2n}{6}\) et \(u_n=3-\dfrac{1}{w_n}\) :
[] \(u_n=3-\dfrac{6}{2n+3}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3\)
\(=\dfrac{3\left(u_n-3\right)}{6-u_n}\)
b) \(u_0=1<3\) ✔ ; si \(u_n<3\) : \(u_n-3<0\) et \(6-u_n>3>0\), donc \(u_{n+1}-3<0\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{9-6u_n+u_n^2}{6-u_n}\)
\(=\dfrac{\left(u_n-3\right)^2}{6-u_n}>0\)
[] \((u_n)\) est croissante
3. a) D’après 1.a) : \(3-u_{n+1}=\dfrac{3\left(3-u_n\right)}{6-u_n}\), donc :
\(w_{n+1}=\dfrac{6-u_n}{3\left(3-u_n\right)}=\dfrac{3+\left(3-u_n\right)}{3\left(3-u_n\right)}\)
\(=\dfrac{1}{3-u_n}+\dfrac{1}{3}=w_n+\dfrac{1}{3}\)
[] \((w_n)\) est arithmétique de raison \(\dfrac{1}{3}\), \(w_0=\dfrac{1}{2}\)
b) \(w_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{3}=\dfrac{3+2n}{6}\) et \(u_n=3-\dfrac{1}{w_n}\) :
[] \(u_n=3-\dfrac{6}{2n+3}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3\)
Exercice 2 (6 pts)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{u};\vec{v})\), on considère les points \(\Omega\) et \(A\) d’affixes \(\omega=1\) et \(a=1+2i\), et la rotation \(R\) de centre \(\Omega\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
1. Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=iz+1-i\).
2. Soient \(B=R(A)\), \(C=R(B)\) et \(D=R(C)\). Calculer les affixes \(b\), \(c\) et \(d\).
3. a) Montrer que \(\dfrac{b-a}{d-a}=-i\).
b) Montrer que \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\), puis en déduire la nature du quadrilatère \(ABCD\).
4. Écrire \(a-\omega\) sous forme trigonométrique.
1. Montrer que l’écriture complexe de \(R\) est \(z'=iz+1-i\).
2. Soient \(B=R(A)\), \(C=R(B)\) et \(D=R(C)\). Calculer les affixes \(b\), \(c\) et \(d\).
3. a) Montrer que \(\dfrac{b-a}{d-a}=-i\).
b) Montrer que \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\), puis en déduire la nature du quadrilatère \(ABCD\).
4. Écrire \(a-\omega\) sous forme trigonométrique.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(z'-\omega=e^{i\frac{\pi}{2}}(z-\omega)\) avec \(e^{i\frac{\pi}{2}}=i\) : \(z'=i(z-1)+1\)
\(=iz+1-i\)
2. \(b=i(1+2i)+1-i=-1\) ; \(c=-i+1-i=1-2i\) ; \(d=i(1-2i)+1-i=3\) :
[] \(b=-1\) ; \(c=1-2i\) ; \(d=3\)
3. a) \(\dfrac{b-a}{d-a}=\dfrac{-2-2i}{2-2i}=\dfrac{-1-i}{1-i}\)
\(=\dfrac{(-1-i)(1+i)}{2}=\dfrac{-2i}{2}=-i\)
b) \(\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{2}{2}=1\) et \(\dfrac{b+d}{2}=\dfrac{2}{2}=1\) : les diagonales ont le même milieu \(\Omega\).
\(ABCD\) est un parallélogramme ; d’après 3.a) \(AB=AD\) et \(\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AB}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABCD\) est un carré
[] 4. \(a-\omega=2i=\left[2;\dfrac{\pi}{2}\right]\)
\(=iz+1-i\)
2. \(b=i(1+2i)+1-i=-1\) ; \(c=-i+1-i=1-2i\) ; \(d=i(1-2i)+1-i=3\) :
[] \(b=-1\) ; \(c=1-2i\) ; \(d=3\)
3. a) \(\dfrac{b-a}{d-a}=\dfrac{-2-2i}{2-2i}=\dfrac{-1-i}{1-i}\)
\(=\dfrac{(-1-i)(1+i)}{2}=\dfrac{-2i}{2}=-i\)
b) \(\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{2}{2}=1\) et \(\dfrac{b+d}{2}=\dfrac{2}{2}=1\) : les diagonales ont le même milieu \(\Omega\).
\(ABCD\) est un parallélogramme ; d’après 3.a) \(AB=AD\) et \(\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AB}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABCD\) est un carré
[] 4. \(a-\omega=2i=\left[2;\dfrac{\pi}{2}\right]\)
Exercice 3 (9 pts)
Partie I. Soit \(f\) la fonction définie sur \(D=]-2;+\infty[\) par \(f(x)=4\ln(x+2)-x\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to-2^+}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Vérifier que \((\forall x>0)\ f(x)=x\left(4\dfrac{\ln x}{x}-1\right)+4\ln\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\), puis calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
3. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet exactement deux solutions \(\beta\in]-2;2[\) et \(\alpha\in]9;10[\) (on donne \(\ln11\approx2{,}40\) et \(\ln12\approx2{,}48\)), puis en déduire le signe de \(f(x)\) sur \([2;\alpha]\).
Partie II. On pose \(g(x)=4\ln(x+2)\) et on considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=g(u_n)\).
1. Vérifier que \(g(\alpha)=\alpha\) et montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2\leq u_n\leq\alpha\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante, puis qu’elle converge vers \(\alpha\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to-2^+}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Vérifier que \((\forall x>0)\ f(x)=x\left(4\dfrac{\ln x}{x}-1\right)+4\ln\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\), puis calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
3. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet exactement deux solutions \(\beta\in]-2;2[\) et \(\alpha\in]9;10[\) (on donne \(\ln11\approx2{,}40\) et \(\ln12\approx2{,}48\)), puis en déduire le signe de \(f(x)\) sur \([2;\alpha]\).
Partie II. On pose \(g(x)=4\ln(x+2)\) et on considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=g(u_n)\).
1. Vérifier que \(g(\alpha)=\alpha\) et montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2\leq u_n\leq\alpha\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante, puis qu’elle converge vers \(\alpha\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
I. 1. \(x+2\to0^+\), \(\ln(x+2)\to-\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to-2^+}f(x)=-\infty\) : la droite \(x=-2\) est asymptote verticale
2. \(4\ln(x+2)=4\ln\left[x\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\right]\)
\(=4\ln x+4\ln\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\)
Donc l’égalité ; \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) et \(\ln\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\to0\) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\)
3. \(f'(x)=\dfrac{4}{x+2}-1\)
\(=\dfrac{2-x}{x+2}\)
\(f'(x)>0\) sur \(]-2;2[\), \(f'(x)<0\) sur \(]2;+\infty[\) ; \(f(2)=4\ln4-2=8\ln2-2\).
4. \(f(2)=8\ln2-2>0\). Sur \(]-2;2]\) : \(f\) continue, strictement croissante, de \(-\infty\) à \(f(2)>0\) : une seule solution \(\beta\).
Sur \([2;+\infty[\) : strictement décroissante, de \(f(2)>0\) à \(-\infty\) : une seule solution \(\alpha\) ; \(f(9)=4\ln11-9\approx0{,}6>0\) et \(f(10)=4\ln12-10\approx-0{,}08<0\) :
[] \(\alpha\in]9;10[\)
[] \(f\) décroissante sur \([2;\alpha]\) et \(f(\alpha)=0\) : \((\forall x\in[2;\alpha])\ f(x)\geq0\)
II. 1. \(f(\alpha)=0\iff4\ln(\alpha+2)=\alpha\iff g(\alpha)=\alpha\). \(g\) est croissante ; \(g(2)=4\ln4\approx5{,}5\in[2;\alpha]\).
Récurrence : \(u_0=2\in[2;\alpha]\) ✔ ; si \(2\leq u_n\leq\alpha\), alors \(2\leq g(2)\leq g(u_n)\leq g(\alpha)=\alpha\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2\leq u_n\leq\alpha\)
2. \(u_{n+1}-u_n=g(u_n)-u_n=f(u_n)\geq0\) car \(u_n\in[2;\alpha]\) : \((u_n)\) est croissante et majorée par \(\alpha\), donc convergente.
\(g\) est continue sur \([2;\alpha]\) et \(g([2;\alpha])\subset[2;\alpha]\) : sa limite \(\ell\in[2;\alpha]\) vérifie \(g(\ell)=\ell\), soit \(f(\ell)=0\) ; la seule solution dans \([2;\alpha]\) est \(\alpha\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\alpha\)
[] \(\lim\limits_{x\to-2^+}f(x)=-\infty\) : la droite \(x=-2\) est asymptote verticale
2. \(4\ln(x+2)=4\ln\left[x\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\right]\)
\(=4\ln x+4\ln\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\)
Donc l’égalité ; \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) et \(\ln\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\to0\) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\)
3. \(f'(x)=\dfrac{4}{x+2}-1\)
\(=\dfrac{2-x}{x+2}\)
\(f'(x)>0\) sur \(]-2;2[\), \(f'(x)<0\) sur \(]2;+\infty[\) ; \(f(2)=4\ln4-2=8\ln2-2\).
4. \(f(2)=8\ln2-2>0\). Sur \(]-2;2]\) : \(f\) continue, strictement croissante, de \(-\infty\) à \(f(2)>0\) : une seule solution \(\beta\).
Sur \([2;+\infty[\) : strictement décroissante, de \(f(2)>0\) à \(-\infty\) : une seule solution \(\alpha\) ; \(f(9)=4\ln11-9\approx0{,}6>0\) et \(f(10)=4\ln12-10\approx-0{,}08<0\) :
[] \(\alpha\in]9;10[\)
[] \(f\) décroissante sur \([2;\alpha]\) et \(f(\alpha)=0\) : \((\forall x\in[2;\alpha])\ f(x)\geq0\)
II. 1. \(f(\alpha)=0\iff4\ln(\alpha+2)=\alpha\iff g(\alpha)=\alpha\). \(g\) est croissante ; \(g(2)=4\ln4\approx5{,}5\in[2;\alpha]\).
Récurrence : \(u_0=2\in[2;\alpha]\) ✔ ; si \(2\leq u_n\leq\alpha\), alors \(2\leq g(2)\leq g(u_n)\leq g(\alpha)=\alpha\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2\leq u_n\leq\alpha\)
2. \(u_{n+1}-u_n=g(u_n)-u_n=f(u_n)\geq0\) car \(u_n\in[2;\alpha]\) : \((u_n)\) est croissante et majorée par \(\alpha\), donc convergente.
\(g\) est continue sur \([2;\alpha]\) et \(g([2;\alpha])\subset[2;\alpha]\) : sa limite \(\ell\in[2;\alpha]\) vérifie \(g(\ell)=\ell\), soit \(f(\ell)=0\) ; la seule solution dans \([2;\alpha]\) est \(\alpha\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\alpha\)