Exercice 1 (5 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{9}{6-u_n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. a) Vérifier que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}-3=\dfrac{3\left(u_n-3\right)}{6-u_n}\).
b) Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3. On pose \(w_n=\dfrac{1}{3-u_n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((w_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r=\dfrac{1}{3}\).
b) Calculer \(u_n\) en fonction de \(n\) et déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. a) Vérifier que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}-3=\dfrac{3\left(u_n-3\right)}{6-u_n}\).
b) Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante.
3. On pose \(w_n=\dfrac{1}{3-u_n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((w_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r=\dfrac{1}{3}\).
b) Calculer \(u_n\) en fonction de \(n\) et déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(u_{n+1}-3=\dfrac{9-18+3u_n}{6-u_n}\)
\(=\dfrac{3\left(u_n-3\right)}{6-u_n}\)
b) \(u_0=1<3\) ✔ ; si \(u_n<3\) : \(u_n-3<0\) et \(6-u_n>3>0\), donc \(u_{n+1}-3<0\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{9-6u_n+u_n^2}{6-u_n}\)
\(=\dfrac{\left(u_n-3\right)^2}{6-u_n}>0\)
[] \((u_n)\) est croissante
3. a) D’après 1.a) : \(3-u_{n+1}=\dfrac{3\left(3-u_n\right)}{6-u_n}\), donc :
\(w_{n+1}=\dfrac{6-u_n}{3\left(3-u_n\right)}=\dfrac{3+\left(3-u_n\right)}{3\left(3-u_n\right)}\)
\(=\dfrac{1}{3-u_n}+\dfrac{1}{3}=w_n+\dfrac{1}{3}\)
[] \((w_n)\) est arithmétique de raison \(\dfrac{1}{3}\), \(w_0=\dfrac{1}{2}\)
b) \(w_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{3}=\dfrac{3+2n}{6}\) et \(u_n=3-\dfrac{1}{w_n}\) :
[] \(u_n=3-\dfrac{6}{2n+3}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3\)
\(=\dfrac{3\left(u_n-3\right)}{6-u_n}\)
b) \(u_0=1<3\) ✔ ; si \(u_n<3\) : \(u_n-3<0\) et \(6-u_n>3>0\), donc \(u_{n+1}-3<0\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{9-6u_n+u_n^2}{6-u_n}\)
\(=\dfrac{\left(u_n-3\right)^2}{6-u_n}>0\)
[] \((u_n)\) est croissante
3. a) D’après 1.a) : \(3-u_{n+1}=\dfrac{3\left(3-u_n\right)}{6-u_n}\), donc :
\(w_{n+1}=\dfrac{6-u_n}{3\left(3-u_n\right)}=\dfrac{3+\left(3-u_n\right)}{3\left(3-u_n\right)}\)
\(=\dfrac{1}{3-u_n}+\dfrac{1}{3}=w_n+\dfrac{1}{3}\)
[] \((w_n)\) est arithmétique de raison \(\dfrac{1}{3}\), \(w_0=\dfrac{1}{2}\)
b) \(w_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{3}=\dfrac{3+2n}{6}\) et \(u_n=3-\dfrac{1}{w_n}\) :
[] \(u_n=3-\dfrac{6}{2n+3}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3\)
Exercice 2 (6 pts)
On considère les nombres complexes \(z_1=1+i\sqrt{3}\) et \(z_2=1-i\).
1. Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique.
2. En déduire que \(z_1z_2=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{12}\right]\).
3. Écrire \(z_1z_2\) sous forme algébrique, puis en déduire que \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
4. Montrer que \(z_1^6\) est un nombre réel et le calculer.
1. Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique.
2. En déduire que \(z_1z_2=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{12}\right]\).
3. Écrire \(z_1z_2\) sous forme algébrique, puis en déduire que \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
4. Montrer que \(z_1^6\) est un nombre réel et le calculer.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(|z_1|=\sqrt{1+3}=2\) et \(z_1=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) :
[] \(z_1=\left[2;\dfrac{\pi}{3}\right]\)
\(|z_2|=\sqrt{2}\) et \(z_2=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) :
[] \(z_2=\left[\sqrt{2};-\dfrac{\pi}{4}\right]\)
2. \([r;\alpha]\times[r';\alpha']=[rr';\alpha+\alpha']\) : \(z_1z_2=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right]\)
\(=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{12}\right]\)
3. \(z_1z_2=\left(1+i\sqrt{3}\right)(1-i)\)
\(=1-i+i\sqrt{3}+\sqrt{3}\)
\(=\left(1+\sqrt{3}\right)+i\left(\sqrt{3}-1\right)\)
Par identification avec \(2\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)\) : \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\).
[] En multipliant numérateur et dénominateur par \(\sqrt{2}\) : \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
4. Formule de Moivre : \(z_1^6=\left[2^6;6\times\dfrac{\pi}{3}\right]\)
\(=\left[64;2\pi\right]=64\)
[] \(z_1^6=64\in\mathbb{R}\)
[] \(z_1=\left[2;\dfrac{\pi}{3}\right]\)
\(|z_2|=\sqrt{2}\) et \(z_2=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) :
[] \(z_2=\left[\sqrt{2};-\dfrac{\pi}{4}\right]\)
2. \([r;\alpha]\times[r';\alpha']=[rr';\alpha+\alpha']\) : \(z_1z_2=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right]\)
\(=\left[2\sqrt{2};\dfrac{\pi}{12}\right]\)
3. \(z_1z_2=\left(1+i\sqrt{3}\right)(1-i)\)
\(=1-i+i\sqrt{3}+\sqrt{3}\)
\(=\left(1+\sqrt{3}\right)+i\left(\sqrt{3}-1\right)\)
Par identification avec \(2\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)\) : \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\).
[] En multipliant numérateur et dénominateur par \(\sqrt{2}\) : \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
4. Formule de Moivre : \(z_1^6=\left[2^6;6\times\dfrac{\pi}{3}\right]\)
\(=\left[64;2\pi\right]=64\)
[] \(z_1^6=64\in\mathbb{R}\)
Exercice 3 (9 pts)
Partie I. Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=x^2-1+\ln x\).
1. Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
2. Calculer \(g(1)\), puis en déduire le signe de \(g(x)\) sur \(]0;+\infty[\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x-1-\dfrac{\ln x}{x}\), et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que la droite \((\Delta):y=x-1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).
4. a) Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et en déduire que \((\forall x>0)\ f(x)\geq0\).
5. Tracer \((\Delta)\) et \((C_f)\).
1. Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
2. Calculer \(g(1)\), puis en déduire le signe de \(g(x)\) sur \(]0;+\infty[\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x-1-\dfrac{\ln x}{x}\), et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que la droite \((\Delta):y=x-1\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).
4. a) Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et en déduire que \((\forall x>0)\ f(x)\geq0\).
5. Tracer \((\Delta)\) et \((C_f)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
I. 1. \(g'(x)=2x+\dfrac{1}{x}>0\) sur \(]0;+\infty[\) :
[] \(g\) est strictement croissante
2. \(g(1)=1-1+0=0\) et \(g\) strictement croissante :
[] \(g(x)<0\) sur \(]0;1[\) et \(g(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\)
II. 1. \(\ln x\to-\infty\) et \(\dfrac{1}{x}\to+\infty\), donc \(-\dfrac{\ln x}{x}\to+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale
2. \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(f(x)-(x-1)=-\dfrac{\ln x}{x}\to0\) :
[] \((\Delta):y=x-1\) est asymptote oblique en \(+\infty\)
3. \(f(x)-(x-1)\) a le signe de \(-\ln x\) :
[] \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]0;1[\), au-dessous sur \(]1;+\infty[\) ; ils se coupent en \((1;0)\)
4. a) \(f'(x)=1-\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}\)
\(=\dfrac{x^2-1+\ln x}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}\)
b) \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\) ; \(f(1)=0\).
[] \(0\) est la valeur minimale de \(f\) : \((\forall x>0)\ f(x)\geq0\)
[] \(g\) est strictement croissante
2. \(g(1)=1-1+0=0\) et \(g\) strictement croissante :
[] \(g(x)<0\) sur \(]0;1[\) et \(g(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\)
II. 1. \(\ln x\to-\infty\) et \(\dfrac{1}{x}\to+\infty\), donc \(-\dfrac{\ln x}{x}\to+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale
2. \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(f(x)-(x-1)=-\dfrac{\ln x}{x}\to0\) :
[] \((\Delta):y=x-1\) est asymptote oblique en \(+\infty\)
3. \(f(x)-(x-1)\) a le signe de \(-\ln x\) :
[] \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]0;1[\), au-dessous sur \(]1;+\infty[\) ; ils se coupent en \((1;0)\)
4. a) \(f'(x)=1-\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}\)
\(=\dfrac{x^2-1+\ln x}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}\)
b) \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\) ; \(f(1)=0\).
[] \(0\) est la valeur minimale de \(f\) : \((\forall x>0)\ f(x)\geq0\)