Exercice 1 (5 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\sqrt{4+\dfrac{u_n^2}{2}}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. a) Calculer \(u_1\), puis montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0\leq u_n<2\sqrt{2}\).
b) Montrer que \((u_n)\) est croissante et en déduire qu’elle est convergente.
2. On pose \(v_n=8-u_n^2\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=\dfrac{1}{2}\).
b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\), et déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. a) Calculer \(u_1\), puis montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0\leq u_n<2\sqrt{2}\).
b) Montrer que \((u_n)\) est croissante et en déduire qu’elle est convergente.
2. On pose \(v_n=8-u_n^2\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=\dfrac{1}{2}\).
b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\), et déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(u_1=\sqrt{4}=2\). Récurrence : \(0\leq u_0=0<2\sqrt{2}\) ✔ ; si \(0\leq u_n<2\sqrt{2}\), alors \(u_n^2<8\) et :
\(0\leq u_{n+1}<\sqrt{4+\dfrac{8}{2}}=2\sqrt{2}\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0\leq u_n<2\sqrt{2}\)
b) \(u_{n+1}^2-u_n^2=4-\dfrac{u_n^2}{2}\)
\(=\dfrac{8-u_n^2}{2}>0\)
Les termes sont positifs, donc \(u_{n+1}>u_n\) : \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\sqrt{2}\) :
[] \((u_n)\) est convergente
2. a) \(v_{n+1}=8-u_{n+1}^2=8-4-\dfrac{u_n^2}{2}\)
\(=\dfrac{8-u_n^2}{2}=\dfrac{1}{2}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), de premier terme \(v_0=8\)
b) \(v_n=8\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) et \(u_n=\sqrt{8-v_n}\) (\(u_n\geq0\)) :
[] \(u_n=\sqrt{8-8\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
\(0\leq u_{n+1}<\sqrt{4+\dfrac{8}{2}}=2\sqrt{2}\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0\leq u_n<2\sqrt{2}\)
b) \(u_{n+1}^2-u_n^2=4-\dfrac{u_n^2}{2}\)
\(=\dfrac{8-u_n^2}{2}>0\)
Les termes sont positifs, donc \(u_{n+1}>u_n\) : \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\sqrt{2}\) :
[] \((u_n)\) est convergente
2. a) \(v_{n+1}=8-u_{n+1}^2=8-4-\dfrac{u_n^2}{2}\)
\(=\dfrac{8-u_n^2}{2}=\dfrac{1}{2}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), de premier terme \(v_0=8\)
b) \(v_n=8\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) et \(u_n=\sqrt{8-v_n}\) (\(u_n\geq0\)) :
[] \(u_n=\sqrt{8-8\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
Exercice 2 (6 pts)
On considère le polynôme \(P(z)=z^3-(2+2i)z^2+(2+4i)z-4i\) pour \(z\in\mathbb{C}\).
1. Vérifier que \(P(2i)=0\).
2. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \((\forall z\in\mathbb{C})\ P(z)=(z-2i)\left(z^2+az+b\right)\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(P(z)=0\).
4. Dans le plan complexe \((O;\vec{u};\vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(\Omega\) d’affixes \(2i\), \(1+i\), \(1-i\) et \(-1\).
a) Montrer que le triangle \(OBC\) est rectangle isocèle en \(O\).
b) Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent au cercle de centre \(\Omega\) dont on déterminera le rayon.
1. Vérifier que \(P(2i)=0\).
2. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \((\forall z\in\mathbb{C})\ P(z)=(z-2i)\left(z^2+az+b\right)\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(P(z)=0\).
4. Dans le plan complexe \((O;\vec{u};\vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(\Omega\) d’affixes \(2i\), \(1+i\), \(1-i\) et \(-1\).
a) Montrer que le triangle \(OBC\) est rectangle isocèle en \(O\).
b) Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent au cercle de centre \(\Omega\) dont on déterminera le rayon.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((2i)^2=-4\) et \((2i)^3=-8i\) : \(P(2i)=-8i+4(2+2i)+2i(2+4i)-4i\)
\(=-8i+8+8i+4i-8-4i=0\)
2. \((z-2i)\left(z^2+az+b\right)=z^3+(a-2i)z^2+(b-2ai)z-2bi\)
Par identification : \(-2bi=-4i\) et \(a-2i=-2-2i\) :
[] \(a=-2\) et \(b=2\) (on vérifie \(b-2ai=2+4i\) ✔)
3. \(z^2-2z+2=0\) : \(\Delta=-4=(2i)^2\), \(z=1+i\) ou \(z=1-i\) :
[] \(S=\{2i;1+i;1-i\}\)
4. a) \(\dfrac{z_B-0}{z_C-0}=\dfrac{1+i}{1-i}\)
\(=\dfrac{(1+i)^2}{2}=i\)
[] \(OB=OC\) et \(\left(\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) : \(OBC\) est rectangle isocèle en \(O\)
b) \(\Omega A=|2i+1|=\sqrt{5}\) ; \(\Omega B=|2+i|=\sqrt{5}\) ; \(\Omega C=|2-i|=\sqrt{5}\) :
[] \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent au cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(\sqrt{5}\)
\(=-8i+8+8i+4i-8-4i=0\)
2. \((z-2i)\left(z^2+az+b\right)=z^3+(a-2i)z^2+(b-2ai)z-2bi\)
Par identification : \(-2bi=-4i\) et \(a-2i=-2-2i\) :
[] \(a=-2\) et \(b=2\) (on vérifie \(b-2ai=2+4i\) ✔)
3. \(z^2-2z+2=0\) : \(\Delta=-4=(2i)^2\), \(z=1+i\) ou \(z=1-i\) :
[] \(S=\{2i;1+i;1-i\}\)
4. a) \(\dfrac{z_B-0}{z_C-0}=\dfrac{1+i}{1-i}\)
\(=\dfrac{(1+i)^2}{2}=i\)
[] \(OB=OC\) et \(\left(\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) : \(OBC\) est rectangle isocèle en \(O\)
b) \(\Omega A=|2i+1|=\sqrt{5}\) ; \(\Omega B=|2+i|=\sqrt{5}\) ; \(\Omega C=|2-i|=\sqrt{5}\) :
[] \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent au cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(\sqrt{5}\)
Exercice 3 (9 pts)
Partie I. Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=x-1+\ln x\).
1. Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
2. Calculer \(g(1)\) et en déduire le signe de \(g(x)\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\ln x\).
1. Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. a) Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et en déduire que \((\forall x>0)\ (x-1)\ln x\geq0\).
4. Donner une équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(e\).
1. Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
2. Calculer \(g(1)\) et en déduire le signe de \(g(x)\).
Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\ln x\).
1. Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
3. a) Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et en déduire que \((\forall x>0)\ (x-1)\ln x\geq0\).
4. Donner une équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(e\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
I. 1. \(g'(x)=1+\dfrac{1}{x}>0\) :
[] \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\)
2. \(g(1)=0\) :
[] \(g(x)<0\) sur \(]0;1[\) et \(g(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\)
II. 1. En \(0^+\) : \(1-\dfrac{1}{x}\to-\infty\) et \(\ln x\to-\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) : asymptote verticale \(x=0\)
2. \(1-\dfrac{1}{x}\to1\) et \(\ln x\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{\ln x}{x}\to0\) :
[] \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses
3. a) \(f'(x)=\dfrac{1}{x^2}\ln x+\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{1}{x}\)
\(=\dfrac{\ln x+x-1}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}\)
b) \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\) ; \(f(1)=0\).
Le minimum de \(f\) est \(0\), donc \(f(x)\geq0\) ; or \(f(x)=\dfrac{(x-1)\ln x}{x}\) et \(x>0\) :
[] \((\forall x>0)\ (x-1)\ln x\geq0\)
4. \(f(e)=1-\dfrac{1}{e}\) et \(f'(e)=\dfrac{g(e)}{e^2}=\dfrac{e}{e^2}=\dfrac{1}{e}\) :
\(y=\dfrac{1}{e}(x-e)+1-\dfrac{1}{e}\)
[] \((T):y=\dfrac{1}{e}x-\dfrac{1}{e}\)
[] \(g\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\)
2. \(g(1)=0\) :
[] \(g(x)<0\) sur \(]0;1[\) et \(g(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\)
II. 1. En \(0^+\) : \(1-\dfrac{1}{x}\to-\infty\) et \(\ln x\to-\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) : asymptote verticale \(x=0\)
2. \(1-\dfrac{1}{x}\to1\) et \(\ln x\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{\ln x}{x}\to0\) :
[] \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses
3. a) \(f'(x)=\dfrac{1}{x^2}\ln x+\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{1}{x}\)
\(=\dfrac{\ln x+x-1}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}\)
b) \(f'(x)\) a le signe de \(g(x)\) ; \(f(1)=0\).
Le minimum de \(f\) est \(0\), donc \(f(x)\geq0\) ; or \(f(x)=\dfrac{(x-1)\ln x}{x}\) et \(x>0\) :
[] \((\forall x>0)\ (x-1)\ln x\geq0\)
4. \(f(e)=1-\dfrac{1}{e}\) et \(f'(e)=\dfrac{g(e)}{e^2}=\dfrac{e}{e^2}=\dfrac{1}{e}\) :
\(y=\dfrac{1}{e}(x-e)+1-\dfrac{1}{e}\)
[] \((T):y=\dfrac{1}{e}x-\dfrac{1}{e}\)