Exercice 1 (5 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\sqrt{4+\dfrac{u_n^2}{2}}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. a) Calculer \(u_1\), puis montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0\leq u_n<2\sqrt{2}\).
b) Montrer que \((u_n)\) est croissante et en déduire qu’elle est convergente.
2. On pose \(v_n=8-u_n^2\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=\dfrac{1}{2}\).
b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\), et déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. a) Calculer \(u_1\), puis montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0\leq u_n<2\sqrt{2}\).
b) Montrer que \((u_n)\) est croissante et en déduire qu’elle est convergente.
2. On pose \(v_n=8-u_n^2\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=\dfrac{1}{2}\).
b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\), et déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(u_1=\sqrt{4}=2\). Récurrence : \(0\leq u_0=0<2\sqrt{2}\) ✔ ; si \(0\leq u_n<2\sqrt{2}\), alors \(u_n^2<8\) et :
\(0\leq u_{n+1}<\sqrt{4+\dfrac{8}{2}}=2\sqrt{2}\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0\leq u_n<2\sqrt{2}\)
b) \(u_{n+1}^2-u_n^2=4-\dfrac{u_n^2}{2}\)
\(=\dfrac{8-u_n^2}{2}>0\)
Les termes sont positifs, donc \(u_{n+1}>u_n\) : \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\sqrt{2}\) :
[] \((u_n)\) est convergente
2. a) \(v_{n+1}=8-u_{n+1}^2=8-4-\dfrac{u_n^2}{2}\)
\(=\dfrac{8-u_n^2}{2}=\dfrac{1}{2}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), de premier terme \(v_0=8\)
b) \(v_n=8\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) et \(u_n=\sqrt{8-v_n}\) (\(u_n\geq0\)) :
[] \(u_n=\sqrt{8-8\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
\(0\leq u_{n+1}<\sqrt{4+\dfrac{8}{2}}=2\sqrt{2}\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0\leq u_n<2\sqrt{2}\)
b) \(u_{n+1}^2-u_n^2=4-\dfrac{u_n^2}{2}\)
\(=\dfrac{8-u_n^2}{2}>0\)
Les termes sont positifs, donc \(u_{n+1}>u_n\) : \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\sqrt{2}\) :
[] \((u_n)\) est convergente
2. a) \(v_{n+1}=8-u_{n+1}^2=8-4-\dfrac{u_n^2}{2}\)
\(=\dfrac{8-u_n^2}{2}=\dfrac{1}{2}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), de premier terme \(v_0=8\)
b) \(v_n=8\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) et \(u_n=\sqrt{8-v_n}\) (\(u_n\geq0\)) :
[] \(u_n=\sqrt{8-8\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
Exercice 2 (6 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-2z+5=0\).
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{u};\vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(a=1+2i\), \(b=1-2i\) et \(c=5+2i\).
a) Montrer que \(\dfrac{c-a}{b-a}=i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
b) Écrire le nombre \(\dfrac{c-a}{b-a}\) sous forme trigonométrique.
3. a) Déterminer l’affixe \(d\) du point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un parallélogramme.
b) En déduire que \(ABDC\) est un carré.
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{u};\vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(a=1+2i\), \(b=1-2i\) et \(c=5+2i\).
a) Montrer que \(\dfrac{c-a}{b-a}=i\) et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
b) Écrire le nombre \(\dfrac{c-a}{b-a}\) sous forme trigonométrique.
3. a) Déterminer l’affixe \(d\) du point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un parallélogramme.
b) En déduire que \(ABDC\) est un carré.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\Delta=4-20=-16=(4i)^2\) : \(z_1=\dfrac{2+4i}{2}=1+2i\) et \(z_2=\overline{z_1}=1-2i\) :
[] \(S=\{1+2i;1-2i\}\)
2. a) \(\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{4}{-4i}\)
\(=\dfrac{-1}{i}=i\)
Donc \(\dfrac{AC}{AB}=|i|=1\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\arg(i)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\)
[] b) \(i=\left[1;\dfrac{\pi}{2}\right]=\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
3. a) \(ABDC\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff d=b+c-a\) :
[] \(d=5-2i\)
b) \(ABDC\) est un parallélogramme ayant un angle droit en \(A\) et deux côtés consécutifs égaux (\(AB=AC\)) :
[] \(ABDC\) est un carré
[] \(S=\{1+2i;1-2i\}\)
2. a) \(\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{4}{-4i}\)
\(=\dfrac{-1}{i}=i\)
Donc \(\dfrac{AC}{AB}=|i|=1\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\arg(i)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) :
[] \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\)
[] b) \(i=\left[1;\dfrac{\pi}{2}\right]=\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
3. a) \(ABDC\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff d=b+c-a\) :
[] \(d=5-2i\)
b) \(ABDC\) est un parallélogramme ayant un angle droit en \(A\) et deux côtés consécutifs égaux (\(AB=AC\)) :
[] \(ABDC\) est un carré
Exercice 3 (9 pts)
Partie I. Soit \(f\) la fonction définie sur \(D=]-2;+\infty[\) par \(f(x)=4\ln(x+2)-x\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to-2^+}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Vérifier que \((\forall x>0)\ f(x)=x\left(4\dfrac{\ln x}{x}-1\right)+4\ln\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\), puis calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
3. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet exactement deux solutions \(\beta\in]-2;2[\) et \(\alpha\in]9;10[\) (on donne \(\ln11\approx2{,}40\) et \(\ln12\approx2{,}48\)), puis en déduire le signe de \(f(x)\) sur \([2;\alpha]\).
Partie II. On pose \(g(x)=4\ln(x+2)\) et on considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=g(u_n)\).
1. Vérifier que \(g(\alpha)=\alpha\) et montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2\leq u_n\leq\alpha\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante, puis qu’elle converge vers \(\alpha\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to-2^+}f(x)\) et interpréter graphiquement le résultat.
2. Vérifier que \((\forall x>0)\ f(x)=x\left(4\dfrac{\ln x}{x}-1\right)+4\ln\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\), puis calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
3. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet exactement deux solutions \(\beta\in]-2;2[\) et \(\alpha\in]9;10[\) (on donne \(\ln11\approx2{,}40\) et \(\ln12\approx2{,}48\)), puis en déduire le signe de \(f(x)\) sur \([2;\alpha]\).
Partie II. On pose \(g(x)=4\ln(x+2)\) et on considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=g(u_n)\).
1. Vérifier que \(g(\alpha)=\alpha\) et montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2\leq u_n\leq\alpha\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante, puis qu’elle converge vers \(\alpha\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
I. 1. \(x+2\to0^+\), \(\ln(x+2)\to-\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to-2^+}f(x)=-\infty\) : la droite \(x=-2\) est asymptote verticale
2. \(4\ln(x+2)=4\ln\left[x\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\right]\)
\(=4\ln x+4\ln\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\)
Donc l’égalité ; \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) et \(\ln\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\to0\) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\)
3. \(f'(x)=\dfrac{4}{x+2}-1\)
\(=\dfrac{2-x}{x+2}\)
\(f'(x)>0\) sur \(]-2;2[\), \(f'(x)<0\) sur \(]2;+\infty[\) ; \(f(2)=4\ln4-2=8\ln2-2\).
4. \(f(2)=8\ln2-2>0\). Sur \(]-2;2]\) : \(f\) continue, strictement croissante, de \(-\infty\) à \(f(2)>0\) : une seule solution \(\beta\).
Sur \([2;+\infty[\) : strictement décroissante, de \(f(2)>0\) à \(-\infty\) : une seule solution \(\alpha\) ; \(f(9)=4\ln11-9\approx0{,}6>0\) et \(f(10)=4\ln12-10\approx-0{,}08<0\) :
[] \(\alpha\in]9;10[\)
[] \(f\) décroissante sur \([2;\alpha]\) et \(f(\alpha)=0\) : \((\forall x\in[2;\alpha])\ f(x)\geq0\)
II. 1. \(f(\alpha)=0\iff4\ln(\alpha+2)=\alpha\iff g(\alpha)=\alpha\). \(g\) est croissante ; \(g(2)=4\ln4\approx5{,}5\in[2;\alpha]\).
Récurrence : \(u_0=2\in[2;\alpha]\) ✔ ; si \(2\leq u_n\leq\alpha\), alors \(2\leq g(2)\leq g(u_n)\leq g(\alpha)=\alpha\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2\leq u_n\leq\alpha\)
2. \(u_{n+1}-u_n=g(u_n)-u_n=f(u_n)\geq0\) car \(u_n\in[2;\alpha]\) : \((u_n)\) est croissante et majorée par \(\alpha\), donc convergente.
\(g\) est continue sur \([2;\alpha]\) et \(g([2;\alpha])\subset[2;\alpha]\) : sa limite \(\ell\in[2;\alpha]\) vérifie \(g(\ell)=\ell\), soit \(f(\ell)=0\) ; la seule solution dans \([2;\alpha]\) est \(\alpha\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\alpha\)
[] \(\lim\limits_{x\to-2^+}f(x)=-\infty\) : la droite \(x=-2\) est asymptote verticale
2. \(4\ln(x+2)=4\ln\left[x\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\right]\)
\(=4\ln x+4\ln\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\)
Donc l’égalité ; \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) et \(\ln\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\to0\) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\)
3. \(f'(x)=\dfrac{4}{x+2}-1\)
\(=\dfrac{2-x}{x+2}\)
\(f'(x)>0\) sur \(]-2;2[\), \(f'(x)<0\) sur \(]2;+\infty[\) ; \(f(2)=4\ln4-2=8\ln2-2\).
4. \(f(2)=8\ln2-2>0\). Sur \(]-2;2]\) : \(f\) continue, strictement croissante, de \(-\infty\) à \(f(2)>0\) : une seule solution \(\beta\).
Sur \([2;+\infty[\) : strictement décroissante, de \(f(2)>0\) à \(-\infty\) : une seule solution \(\alpha\) ; \(f(9)=4\ln11-9\approx0{,}6>0\) et \(f(10)=4\ln12-10\approx-0{,}08<0\) :
[] \(\alpha\in]9;10[\)
[] \(f\) décroissante sur \([2;\alpha]\) et \(f(\alpha)=0\) : \((\forall x\in[2;\alpha])\ f(x)\geq0\)
II. 1. \(f(\alpha)=0\iff4\ln(\alpha+2)=\alpha\iff g(\alpha)=\alpha\). \(g\) est croissante ; \(g(2)=4\ln4\approx5{,}5\in[2;\alpha]\).
Récurrence : \(u_0=2\in[2;\alpha]\) ✔ ; si \(2\leq u_n\leq\alpha\), alors \(2\leq g(2)\leq g(u_n)\leq g(\alpha)=\alpha\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2\leq u_n\leq\alpha\)
2. \(u_{n+1}-u_n=g(u_n)-u_n=f(u_n)\geq0\) car \(u_n\in[2;\alpha]\) : \((u_n)\) est croissante et majorée par \(\alpha\), donc convergente.
\(g\) est continue sur \([2;\alpha]\) et \(g([2;\alpha])\subset[2;\alpha]\) : sa limite \(\ell\in[2;\alpha]\) vérifie \(g(\ell)=\ell\), soit \(f(\ell)=0\) ; la seule solution dans \([2;\alpha]\) est \(\alpha\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\alpha\)