Exercice 1 (10 pts)
1. En utilisant la formule de \(\tan(2a)\), montrer que \(\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\).
2. Montrer que pour tout \(x\) tel que \(\sin(2x)\neq0\) : \(\dfrac{1-\cos(2x)}{\sin(2x)}=\tan x\).
3. Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) : \(\cos(2x)=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\).
4. Résoudre dans \([0;2\pi[\) : \(\cos x\leq-\dfrac{1}{2}\).
5. a) Montrer que \(\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos x-\sin x=1\).
2. Montrer que pour tout \(x\) tel que \(\sin(2x)\neq0\) : \(\dfrac{1-\cos(2x)}{\sin(2x)}=\tan x\).
3. Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) : \(\cos(2x)=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\).
4. Résoudre dans \([0;2\pi[\) : \(\cos x\leq-\dfrac{1}{2}\).
5. a) Montrer que \(\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos x-\sin x=1\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. Avec \(t=\tan\dfrac{\pi}{8}>0\) : \(\tan\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{2t}{1-t^2}=1\iff t^2+2t-1=0\iff t=-1\pm\sqrt{2}\) ; \(t>0\) :
[] \(\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\)
2. \(\dfrac{1-\cos(2x)}{\sin(2x)}=\dfrac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}\)
\(=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)
3. \(2x=x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(2x=-x-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\), soit \(x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{7\pi}{9};-\dfrac{\pi}{9};\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{9}\right\}\)
4. Sur le cercle trigonométrique :
[] \(S=\left[\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{4\pi}{3}\right]\)
5. a) \(\sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos x\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sin x\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(=\cos x-\sin x\)
b) \(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) : \(x+\dfrac{\pi}{4}=\pm\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) :
[] \(S=\left\{2k\pi;-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
[] \(\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\)
2. \(\dfrac{1-\cos(2x)}{\sin(2x)}=\dfrac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}\)
\(=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)
3. \(2x=x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(2x=-x-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\), soit \(x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{7\pi}{9};-\dfrac{\pi}{9};\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{9}\right\}\)
4. Sur le cercle trigonométrique :
[] \(S=\left[\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{4\pi}{3}\right]\)
5. a) \(\sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos x\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sin x\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(=\cos x-\sin x\)
b) \(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) : \(x+\dfrac{\pi}{4}=\pm\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) :
[] \(S=\left\{2k\pi;-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
Exercice 2 (10 pts)
1. Trois nombres \(a\), \(b\), \(c\) sont, dans cet ordre, des termes consécutifs d’une suite géométrique. Leur somme est \(14\) et leur produit est \(64\). Déterminer ces trois nombres.
2. Soit \((u_n)_{n\geq1}\) définie par \(u_1=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}\).
a) Calculer \(u_2\) et \(u_3\).
b) Montrer par récurrence que \((\forall n\geq1)\ u_n>0\).
c) On pose \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique de raison \(1\).
d) En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\) et montrer que \((u_n)\) est décroissante.
2. Soit \((u_n)_{n\geq1}\) définie par \(u_1=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}\).
a) Calculer \(u_2\) et \(u_3\).
b) Montrer par récurrence que \((\forall n\geq1)\ u_n>0\).
c) On pose \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique de raison \(1\).
d) En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\) et montrer que \((u_n)\) est décroissante.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(b^2=ac\), donc \(abc=b^3=64\) : \(b=4\) ; \(a+c=10\) et \(ac=16\) : \(a\) et \(c\) sont les solutions de \(X^2-10X+16=0\), soit \(2\) et \(8\) :
[] \((2;4;8)\) ou \((8;4;2)\)
2. a) \(u_2=\dfrac{1}{2}\) ; \(u_3=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{3}\).
b) \(u_1=1>0\) ✔ ; si \(u_n>0\), alors \(1+u_n>0\) et \(u_{n+1}>0\) ✔.
c) \(v_{n+1}=\dfrac{1+u_n}{u_n}\)
\(=\dfrac{1}{u_n}+1=v_n+1\)
d) \(v_n=v_1+(n-1)=n\), donc \(u_n=\dfrac{1}{n}\) ; \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{-1}{n(n+1)}<0\) :
[] \(u_n=\dfrac{1}{n}\) et \((u_n)\) est décroissante
[] \((2;4;8)\) ou \((8;4;2)\)
2. a) \(u_2=\dfrac{1}{2}\) ; \(u_3=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{3}\).
b) \(u_1=1>0\) ✔ ; si \(u_n>0\), alors \(1+u_n>0\) et \(u_{n+1}>0\) ✔.
c) \(v_{n+1}=\dfrac{1+u_n}{u_n}\)
\(=\dfrac{1}{u_n}+1=v_n+1\)
d) \(v_n=v_1+(n-1)=n\), donc \(u_n=\dfrac{1}{n}\) ; \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{-1}{n(n+1)}<0\) :
[] \(u_n=\dfrac{1}{n}\) et \((u_n)\) est décroissante