Exercice 1 (10 pts)
1. En remarquant que \(\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\), calculer \(\sin\dfrac{\pi}{12}\).
2. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ \cos^4x-\sin^4x=\cos(2x)\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(2\cos x-\sqrt{3}=0\).
4. Résoudre dans \([0;2\pi[\) : \(\sin(2x)=\sin x\).
5. Résoudre dans \([0;\pi]\) : \(2\sin x-1\geq0\).
6. a) Montrer que \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=\sqrt{2}\).
2. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ \cos^4x-\sin^4x=\cos(2x)\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(2\cos x-\sqrt{3}=0\).
4. Résoudre dans \([0;2\pi[\) : \(\sin(2x)=\sin x\).
5. Résoudre dans \([0;\pi]\) : \(2\sin x-1\geq0\).
6. a) Montrer que \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=\sqrt{2}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
2. \(\cos^4x-\sin^4x=\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x+\sin^2x\right)\)
\(=\cos(2x)\times1\)
3. \(\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\dfrac{\pi}{6}\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+2k\pi;-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
4. \(2x=x+2k\pi\) ou \(2x=\pi-x+2k\pi\), soit \(x=2k\pi\) ou \(x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}\) :
[] \(S=\left\{0;\dfrac{\pi}{3};\pi;\dfrac{5\pi}{3}\right\}\)
5. \(\sin x\geq\dfrac{1}{2}\) sur \([0;\pi]\) (cercle trigonométrique) :
[] \(S=\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right]\)
6. a) \(2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=2\left(\cos x\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin x\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)
\(=\sqrt{3}\cos x+\sin x\)
b) \(\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos\dfrac{\pi}{4}\) : \(x-\dfrac{\pi}{6}=\pm\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi;-\dfrac{\pi}{12}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
2. \(\cos^4x-\sin^4x=\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x+\sin^2x\right)\)
\(=\cos(2x)\times1\)
3. \(\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\dfrac{\pi}{6}\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+2k\pi;-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
4. \(2x=x+2k\pi\) ou \(2x=\pi-x+2k\pi\), soit \(x=2k\pi\) ou \(x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}\) :
[] \(S=\left\{0;\dfrac{\pi}{3};\pi;\dfrac{5\pi}{3}\right\}\)
5. \(\sin x\geq\dfrac{1}{2}\) sur \([0;\pi]\) (cercle trigonométrique) :
[] \(S=\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right]\)
6. a) \(2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=2\left(\cos x\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin x\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)
\(=\sqrt{3}\cos x+\sin x\)
b) \(\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos\dfrac{\pi}{4}\) : \(x-\dfrac{\pi}{6}=\pm\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi;-\dfrac{\pi}{12}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
Exercice 2 (10 pts)
1. Soit \((w_n)\) une suite arithmétique telle que \(w_3=7\) et \(w_8=22\). Déterminer sa raison, \(w_0\), puis calculer \(S=w_0+w_1+\cdots+w_{10}\).
2. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3\).
a) Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<6\).
b) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
c) On pose \(v_n=u_n-6\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
d) Calculer \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) en fonction de \(n\).
2. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3\).
a) Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<6\).
b) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
c) On pose \(v_n=u_n-6\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
d) Calculer \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) en fonction de \(n\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(w_8-w_3=5r=15\) : \(r=3\) ; \(w_0=w_3-3r=-2\) ; \(S=\dfrac{11\left(w_0+w_{10}\right)}{2}=\dfrac{11(-2+28)}{2}\) :
[] \(r=3\) ; \(w_0=-2\) ; \(S=143\)
2. a) \(u_0=2<6\) ✔ ; si \(u_n<6\) : \(u_{n+1}<\dfrac{1}{2}\times6+3=6\) ✔ :
[] \((\forall n)\ u_n<6\)
b) \(u_{n+1}-u_n=3-\dfrac{1}{2}u_n=\dfrac{6-u_n}{2}>0\) :
[] \((u_n)\) est croissante
c) \(v_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3-6=\dfrac{1}{2}\left(u_n-6\right)=\dfrac{1}{2}v_n\) : géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), \(v_0=-4\) :
[] \(u_n=6-4\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
d) \(S_n=6(n+1)-4\left(1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\)
\(=6(n+1)-8\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)\)
[] \(r=3\) ; \(w_0=-2\) ; \(S=143\)
2. a) \(u_0=2<6\) ✔ ; si \(u_n<6\) : \(u_{n+1}<\dfrac{1}{2}\times6+3=6\) ✔ :
[] \((\forall n)\ u_n<6\)
b) \(u_{n+1}-u_n=3-\dfrac{1}{2}u_n=\dfrac{6-u_n}{2}>0\) :
[] \((u_n)\) est croissante
c) \(v_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3-6=\dfrac{1}{2}\left(u_n-6\right)=\dfrac{1}{2}v_n\) : géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), \(v_0=-4\) :
[] \(u_n=6-4\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
d) \(S_n=6(n+1)-4\left(1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\)
\(=6(n+1)-8\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)\)