Exercice 1 (1 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\sin(2x+\pi)\). Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(\sin x\) et de \(\cos x\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : \(\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta\) puis \(\sin2x=2\sin x\cos x\).
[] \(f(x)=-\sin2x=-2\sin x\cos x\)
[] \(f(x)=-\sin2x=-2\sin x\cos x\)
Exercice 2 (1.5 pts)
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=\cos x\sin2x-2\sin x\). Montrer que \(g(x)=-2\sin^3x\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 Méthode : \(\sin2a=2\sin a\cos a\) ; \(\cos2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a\).
\(g(x)=2\sin x\cos^2x-2\sin x\)
\(=2\sin x(\cos^2x-1)\)
\(=-2\sin x\sin^2x\)
\(=-2\sin^3x\)
\(g(x)=2\sin x\cos^2x-2\sin x\)
\(=2\sin x(\cos^2x-1)\)
\(=-2\sin x\sin^2x\)
\(=-2\sin^3x\)
Exercice 3 (2 pts)
On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=2\sin^2x+4\sin x+2\). Résoudre l’équation \(h(x)=0\) sur \(\mathbb{R}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : on reconnaît une identité remarquable en \(\sin x\) (ou on pose \(X=\sin x\)).
\(h(x)=2(\sin^2x+2\sin x+1)\)
\(=2(\sin x+1)^2\)
\(h(x)=0\)
\(\iff\sin x=-1\)
\(\iff x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)
[] \(S=\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
\(h(x)=2(\sin^2x+2\sin x+1)\)
\(=2(\sin x+1)^2\)
\(h(x)=0\)
\(\iff\sin x=-1\)
\(\iff x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)
[] \(S=\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
Exercice 4 (8.5 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=3\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)\).
1. Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a : \(-3\leq f(x)\leq3\).
2. Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f(x)=-3\sin2x\).
3. Déterminer la parité de la fonction \(f\).
4. Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f(x+\pi)=f(x)\). En déduire que \(f\) est périodique et préciser sa période.
5. Résoudre dans \([0;2\pi[\) l’équation \(f(x)=-\dfrac{3}{2}\).
6. Résoudre dans \([0;\pi]\) l’inéquation \(f(x)\leq0\).
1. Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a : \(-3\leq f(x)\leq3\).
2. Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f(x)=-3\sin2x\).
3. Déterminer la parité de la fonction \(f\).
4. Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f(x+\pi)=f(x)\). En déduire que \(f\) est périodique et préciser sa période.
5. Résoudre dans \([0;2\pi[\) l’équation \(f(x)=-\dfrac{3}{2}\).
6. Résoudre dans \([0;\pi]\) l’inéquation \(f(x)\leq0\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(-1\leq\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)\leq1\) ; on multiplie par \(3>0\).
[] \((\forall x\in\mathbb{R})\ -3\leq f(x)\leq3\)
2. \(\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta\) avec \(\theta=2x\) :
[] \(f(x)=-3\sin2x\)
3. 💡 \(f\) est impaire si : condition 1 \((\forall x\in D_f)\ -x\in D_f\) ; condition 2 \(f(-x)=-f(x)\).
Condition 1 : \(D_f=\mathbb{R}\) ✔.
\(f(-x)=-3\sin(-2x)\)
\(=3\sin2x\)
\(=-f(x)\)
[] \(f\) est impaire
4. \(f(x+\pi)=-3\sin(2x+2\pi)\)
\(=-3\sin2x\)
\(=f(x)\)
[] \(f\) est périodique de période \(\pi\)
💡 Méthode : \(\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
5. \(-3\sin2x=-\dfrac{3}{2}\)
\(\iff\sin2x=\sin\dfrac{\pi}{6}\)
\(\iff x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi\) ou \(x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi\) ; dans \([0;2\pi[\) : \(k=0\) ou \(k=1\).
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{12};\dfrac{5\pi}{12};\dfrac{13\pi}{12};\dfrac{17\pi}{12}\right\}\)
💡 Méthode : on résout l’équation associée, puis on lit les solutions sur le cercle trigonométrique dans l’intervalle demandé.
6. \(f(x)\leq0\iff\sin2x\geq0\). Pour \(x\in[0;\pi]\), \(2x\in[0;2\pi]\) et \(\sin2x\geq0\iff2x\in[0;\pi]\) ou \(2x=2\pi\).
[] \(S=\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\cup\{\pi\}\)
[] \((\forall x\in\mathbb{R})\ -3\leq f(x)\leq3\)
2. \(\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta\) avec \(\theta=2x\) :
[] \(f(x)=-3\sin2x\)
3. 💡 \(f\) est impaire si : condition 1 \((\forall x\in D_f)\ -x\in D_f\) ; condition 2 \(f(-x)=-f(x)\).
Condition 1 : \(D_f=\mathbb{R}\) ✔.
\(f(-x)=-3\sin(-2x)\)
\(=3\sin2x\)
\(=-f(x)\)
[] \(f\) est impaire
4. \(f(x+\pi)=-3\sin(2x+2\pi)\)
\(=-3\sin2x\)
\(=f(x)\)
[] \(f\) est périodique de période \(\pi\)
💡 Méthode : \(\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
5. \(-3\sin2x=-\dfrac{3}{2}\)
\(\iff\sin2x=\sin\dfrac{\pi}{6}\)
\(\iff x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi\) ou \(x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi\) ; dans \([0;2\pi[\) : \(k=0\) ou \(k=1\).
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{12};\dfrac{5\pi}{12};\dfrac{13\pi}{12};\dfrac{17\pi}{12}\right\}\)
💡 Méthode : on résout l’équation associée, puis on lit les solutions sur le cercle trigonométrique dans l’intervalle demandé.
6. \(f(x)\leq0\iff\sin2x\geq0\). Pour \(x\in[0;\pi]\), \(2x\in[0;2\pi]\) et \(\sin2x\geq0\iff2x\in[0;\pi]\) ou \(2x=2\pi\).
[] \(S=\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\cup\{\pi\}\)
Exercice 5 (7 pts)
On considère la suite \((U_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par \(U_0=7\) et \(U_{n+1}=\dfrac{6}{7}U_n+\dfrac{8}{7}\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_n<8\).
2. Vérifier que \(U_{n+1}-U_n=\dfrac{1}{7}(8-U_n)\) et en déduire la monotonie de la suite \((U_n)\).
3. On pose \(X_n=U_n-8\).
a) Montrer que \((X_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=\dfrac{6}{7}\).
b) Déterminer \(U_n\) en fonction de \(n\).
c) Calculer \(S_n=U_0+U_1+\cdots+U_n\) en fonction de \(n\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_n<8\).
2. Vérifier que \(U_{n+1}-U_n=\dfrac{1}{7}(8-U_n)\) et en déduire la monotonie de la suite \((U_n)\).
3. On pose \(X_n=U_n-8\).
a) Montrer que \((X_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=\dfrac{6}{7}\).
b) Déterminer \(U_n\) en fonction de \(n\).
c) Calculer \(S_n=U_0+U_1+\cdots+U_n\) en fonction de \(n\).
✅ Correction de l’exercice 5 — التصحيح
💡 Méthode : raisonnement par récurrence : on vérifie la propriété au premier rang, puis on suppose qu’elle est vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\).
1. \(U_0=7<8\) ✔. Si \(U_n<8\) :
\(U_{n+1}-8=\dfrac{6}{7}U_n+\dfrac{8}{7}-\dfrac{56}{7}\)
\(=\dfrac{6}{7}(U_n-8)<0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_n<8\)
2. \(U_{n+1}-U_n=-\dfrac{1}{7}U_n+\dfrac{8}{7}\)
\(=\dfrac{1}{7}(8-U_n)>0\)
[] \((U_n)\) est strictement croissante
💡 Méthode : \((v_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(v_{n+1}=q\,v_n\) pour tout \(n\) ; alors \(v_n=v_p\times q^{n-p}\).
3.a) \(X_{n+1}=U_{n+1}-8\)
\(=\dfrac{6}{7}(U_n-8)\)
\(=\dfrac{6}{7}X_n\)
[] \((X_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{6}{7}\) et \(X_0=-1\)
[] b) \(X_n=-\left(\dfrac{6}{7}\right)^n\) donc \(U_n=8-\left(\dfrac{6}{7}\right)^n\)
c) \(S_n=8(n+1)-\left(1+\dfrac{6}{7}+\cdots+\left(\dfrac{6}{7}\right)^n\right)\)
\(=8(n+1)-\dfrac{1-\left(\dfrac{6}{7}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{6}{7}}\)
[] \(S_n=8(n+1)-7\left(1-\left(\dfrac{6}{7}\right)^{n+1}\right)\)
1. \(U_0=7<8\) ✔. Si \(U_n<8\) :
\(U_{n+1}-8=\dfrac{6}{7}U_n+\dfrac{8}{7}-\dfrac{56}{7}\)
\(=\dfrac{6}{7}(U_n-8)<0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_n<8\)
2. \(U_{n+1}-U_n=-\dfrac{1}{7}U_n+\dfrac{8}{7}\)
\(=\dfrac{1}{7}(8-U_n)>0\)
[] \((U_n)\) est strictement croissante
💡 Méthode : \((v_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(v_{n+1}=q\,v_n\) pour tout \(n\) ; alors \(v_n=v_p\times q^{n-p}\).
3.a) \(X_{n+1}=U_{n+1}-8\)
\(=\dfrac{6}{7}(U_n-8)\)
\(=\dfrac{6}{7}X_n\)
[] \((X_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{6}{7}\) et \(X_0=-1\)
[] b) \(X_n=-\left(\dfrac{6}{7}\right)^n\) donc \(U_n=8-\left(\dfrac{6}{7}\right)^n\)
c) \(S_n=8(n+1)-\left(1+\dfrac{6}{7}+\cdots+\left(\dfrac{6}{7}\right)^n\right)\)
\(=8(n+1)-\dfrac{1-\left(\dfrac{6}{7}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{6}{7}}\)
[] \(S_n=8(n+1)-7\left(1-\left(\dfrac{6}{7}\right)^{n+1}\right)\)