Exercice 1 (6 pts)
1. En écrivant \(\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\), calculer \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}\).
2. Montrer que pour tout réel \(x\) : \(\cos^4x-\sin^4x=\cos2x\).
3. Montrer que pour tout \(x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\) : \(\dfrac{\sin3x}{\sin x}-\dfrac{\cos3x}{\cos x}=2\).
4. a) Montrer que pour tout réel \(x\) : \(\cos x+\cos3x=2\cos2x\cos x\).
b) Résoudre dans \([0;\pi]\) l’équation \(\cos x+\cos3x=0\).
2. Montrer que pour tout réel \(x\) : \(\cos^4x-\sin^4x=\cos2x\).
3. Montrer que pour tout \(x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\) : \(\dfrac{\sin3x}{\sin x}-\dfrac{\cos3x}{\cos x}=2\).
4. a) Montrer que pour tout réel \(x\) : \(\cos x+\cos3x=2\cos2x\cos x\).
b) Résoudre dans \([0;\pi]\) l’équation \(\cos x+\cos3x=0\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : formules d’addition : \(\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b\) ; \(\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b\).
1. \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)
\(\sin\dfrac{\pi}{12}=\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
[] \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) ; \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
2. 💡 identité \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) puis \(\cos^2x+\sin^2x=1\).
\(\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)\)
\(=\cos^2x-\sin^2x\)
\(=\cos2x\)
3. 💡 on réduit au même dénominateur et on reconnaît \(\sin(a-b)\).
\(\dfrac{\sin3x}{\sin x}-\dfrac{\cos3x}{\cos x}=\dfrac{\sin3x\cos x-\cos3x\sin x}{\sin x\cos x}\)
\(=\dfrac{\sin(3x-x)}{\dfrac{1}{2}\sin2x}\)
\(=2\)
(on a \(\sin2x\neq0\) car \(x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\))
💡 Méthode : somme en produit : \(\cos p+\cos q=2\cos\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}\) ; \(\sin p+\sin q=2\sin\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}\).
4.a) \(\cos3x+\cos x=2\cos\dfrac{3x+x}{2}\cos\dfrac{3x-x}{2}\)
\(=2\cos2x\cos x\)
b) \(2\cos2x\cos x=0\iff\cos2x=0\) ou \(\cos x=0\).
- \(\cos2x=0\iff x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\) : dans \([0;\pi]\), \(x=\dfrac{\pi}{4}\) ou \(x=\dfrac{3\pi}{4}\) ;
- \(\cos x=0\iff x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) : dans \([0;\pi]\), \(x=\dfrac{\pi}{2}\).
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{4}\right\}\)
1. \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)
\(\sin\dfrac{\pi}{12}=\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
[] \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) ; \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
2. 💡 identité \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) puis \(\cos^2x+\sin^2x=1\).
\(\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)\)
\(=\cos^2x-\sin^2x\)
\(=\cos2x\)
3. 💡 on réduit au même dénominateur et on reconnaît \(\sin(a-b)\).
\(\dfrac{\sin3x}{\sin x}-\dfrac{\cos3x}{\cos x}=\dfrac{\sin3x\cos x-\cos3x\sin x}{\sin x\cos x}\)
\(=\dfrac{\sin(3x-x)}{\dfrac{1}{2}\sin2x}\)
\(=2\)
(on a \(\sin2x\neq0\) car \(x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\))
💡 Méthode : somme en produit : \(\cos p+\cos q=2\cos\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}\) ; \(\sin p+\sin q=2\sin\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}\).
4.a) \(\cos3x+\cos x=2\cos\dfrac{3x+x}{2}\cos\dfrac{3x-x}{2}\)
\(=2\cos2x\cos x\)
b) \(2\cos2x\cos x=0\iff\cos2x=0\) ou \(\cos x=0\).
- \(\cos2x=0\iff x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\) : dans \([0;\pi]\), \(x=\dfrac{\pi}{4}\) ou \(x=\dfrac{3\pi}{4}\) ;
- \(\cos x=0\iff x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) : dans \([0;\pi]\), \(x=\dfrac{\pi}{2}\).
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{4}\right\}\)
Exercice 2 (6 pts)
1. Montrer que pour tout réel \(x\) : \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=\sqrt{2}\).
3. Résoudre dans \([0;2\pi[\) l’équation \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=-1\).
4. Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) l’inéquation \(\sqrt{3}\cos x+\sin x\geq1\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=\sqrt{2}\).
3. Résoudre dans \([0;2\pi[\) l’équation \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=-1\).
4. Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) l’inéquation \(\sqrt{3}\cos x+\sin x\geq1\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 Méthode : \(a\cos x+b\sin x=r\cos(x-\varphi)\) avec \(r=\sqrt{a^2+b^2}\), \(\cos\varphi=\dfrac{a}{r}\) et \(\sin\varphi=\dfrac{b}{r}\).
1. \(r=\sqrt{3+1}=2\) ; \(\cos\varphi=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\varphi=\dfrac{1}{2}\), donc \(\varphi=\dfrac{\pi}{6}\).
[] \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)
💡 Méthode : \(\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
2. \(2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{2}\)
\(\iff\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}\)
\(\iff x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) ou \(x-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\)
[] \(S=\left\{\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi\ ;\ -\dfrac{\pi}{12}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
3. \(\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\)
\(\iff\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{2\pi}{3}\)
\(\iff x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\) ; dans \([0;2\pi[\) : \(k=0\) pour la première, \(k=1\) pour la seconde.
[] \(S=\left\{\dfrac{5\pi}{6};\dfrac{3\pi}{2}\right\}\)
💡 Méthode : on résout l’équation associée, puis on lit les solutions sur le cercle trigonométrique dans l’intervalle demandé.
4. \(\sqrt{3}\cos x+\sin x\geq1\)
\(\iff\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geq\dfrac{1}{2}\)
On pose \(X=x-\dfrac{\pi}{6}\) : \(\cos X\geq\dfrac{1}{2}\iff-\dfrac{\pi}{3}\leq X\leq\dfrac{\pi}{3}\) (à \(2\pi\) près), donc \(-\dfrac{\pi}{6}\leq x\leq\dfrac{\pi}{2}\).
[] \(S=\left[-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2}\right]\)
1. \(r=\sqrt{3+1}=2\) ; \(\cos\varphi=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\varphi=\dfrac{1}{2}\), donc \(\varphi=\dfrac{\pi}{6}\).
[] \(\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)
💡 Méthode : \(\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
2. \(2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{2}\)
\(\iff\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}\)
\(\iff x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) ou \(x-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\)
[] \(S=\left\{\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi\ ;\ -\dfrac{\pi}{12}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
3. \(\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\)
\(\iff\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{2\pi}{3}\)
\(\iff x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\) ; dans \([0;2\pi[\) : \(k=0\) pour la première, \(k=1\) pour la seconde.
[] \(S=\left\{\dfrac{5\pi}{6};\dfrac{3\pi}{2}\right\}\)
💡 Méthode : on résout l’équation associée, puis on lit les solutions sur le cercle trigonométrique dans l’intervalle demandé.
4. \(\sqrt{3}\cos x+\sin x\geq1\)
\(\iff\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geq\dfrac{1}{2}\)
On pose \(X=x-\dfrac{\pi}{6}\) : \(\cos X\geq\dfrac{1}{2}\iff-\dfrac{\pi}{3}\leq X\leq\dfrac{\pi}{3}\) (à \(2\pi\) près), donc \(-\dfrac{\pi}{6}\leq x\leq\dfrac{\pi}{2}\).
[] \(S=\left[-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2}\right]\)
Exercice 3 (8 pts)
On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2u_n+1}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\).
2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
3. On pose \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Écrire \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
4. Calculer \(S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n\) en fonction de \(n\).
5. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n\leq1\).
1. Montrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\).
2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
3. On pose \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Écrire \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
4. Calculer \(S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n\) en fonction de \(n\).
5. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n\leq1\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : raisonnement par récurrence : on vérifie la propriété au premier rang, puis on suppose qu’elle est vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\).
1. \(u_0=1>0\) ✔. Si \(u_n>0\), alors \(2u_n+1>0\), donc \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2u_n+1}>0\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\)
💡 Méthode : on étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-u_n(2u_n+1)}{2u_n+1}\)
\(=\dfrac{-2u_n^2}{2u_n+1}<0\)
[] \((u_n)\) est strictement décroissante
💡 Méthode : \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si \(v_{n+1}-v_n=r\) pour tout \(n\) ; alors \(v_n=v_p+(n-p)r\).
3.a) \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{2u_n+1}{u_n}-\dfrac{1}{u_n}\)
\(=\dfrac{2u_n}{u_n}\)
\(=2\)
[] \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r=2\) et \(v_0=\dfrac{1}{u_0}=1\)
[] b) \(v_n=1+2n\) et \(u_n=\dfrac{1}{2n+1}\)
4. 💡 somme de \(N\) termes consécutifs d’une suite arithmétique : \(S=N\times\dfrac{v_0+v_n}{2}\).
\(S_n=(n+1)\times\dfrac{1+(2n+1)}{2}\)
\(=(n+1)^2\)
[] \(S_n=(n+1)^2\)
5. \(u_n>0\) (question 1) et \((u_n)\) est décroissante, donc \(u_n\leq u_0=1\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n\leq1\)
1. \(u_0=1>0\) ✔. Si \(u_n>0\), alors \(2u_n+1>0\), donc \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2u_n+1}>0\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\)
💡 Méthode : on étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-u_n(2u_n+1)}{2u_n+1}\)
\(=\dfrac{-2u_n^2}{2u_n+1}<0\)
[] \((u_n)\) est strictement décroissante
💡 Méthode : \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si \(v_{n+1}-v_n=r\) pour tout \(n\) ; alors \(v_n=v_p+(n-p)r\).
3.a) \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{2u_n+1}{u_n}-\dfrac{1}{u_n}\)
\(=\dfrac{2u_n}{u_n}\)
\(=2\)
[] \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r=2\) et \(v_0=\dfrac{1}{u_0}=1\)
[] b) \(v_n=1+2n\) et \(u_n=\dfrac{1}{2n+1}\)
4. 💡 somme de \(N\) termes consécutifs d’une suite arithmétique : \(S=N\times\dfrac{v_0+v_n}{2}\).
\(S_n=(n+1)\times\dfrac{1+(2n+1)}{2}\)
\(=(n+1)^2\)
[] \(S_n=(n+1)^2\)
5. \(u_n>0\) (question 1) et \((u_n)\) est décroissante, donc \(u_n\leq u_0=1\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n\leq1\)