الفرض 3 — الدورة الأولى — الأولى باك علوم تجريبية (Évaluation n°3 — النموذج 3)

1. 💡 \(\cos^2a=1-\sin^2a\) ; le signe dépend de l’intervalle.
\(\cos^2a=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\) et \(a\in\left]\dfrac{\pi}{2};\pi\right[\) donc \(\cos a<0\).
[] \(\cos a=-\dfrac{4}{5}\)
💡 Méthode : \(\sin2a=2\sin a\cos a\) ; \(\cos2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a\).
2. \(\sin2a=2\times\dfrac{3}{5}\times\left(-\dfrac{4}{5}\right)\)
\(=-\dfrac{24}{25}\)
\(\cos2a=1-2\times\dfrac{9}{25}\)
\(=\dfrac{7}{25}\)
3. \(\tan a=\dfrac{\sin a}{\cos a}=-\dfrac{3}{4}\) et \(\tan2a=\dfrac{\sin2a}{\cos2a}=-\dfrac{24}{7}\).
Vérification : \(\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}=\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{\dfrac{7}{16}}=-\dfrac{24}{7}\) ✔.
💡 Méthode : formules d’addition : \(\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b\) ; \(\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b\).
4. \(\cos\left(a+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos a\cos\dfrac{\pi}{3}-\sin a\sin\dfrac{\pi}{3}\)
\(=-\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{5}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=-\dfrac{4+3\sqrt{3}}{10}\)
5. 💡 \(\sin^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{1-\cos a}{2}\) et \(\dfrac{a}{2}\in\left]\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right[\) donc \(\sin\dfrac{a}{2}>0\).
\(\sin^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{1+\dfrac{4}{5}}{2}\)
\(=\dfrac{9}{10}\)
[] \(\sin\dfrac{a}{2}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)

💡 Méthode : raisonnement par récurrence : on vérifie la propriété au premier rang, puis on suppose qu’elle est vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\).
1.a) \(U_0=3>2\) ✔. Si \(U_n>2\) :
\(U_{n+1}-2=\dfrac{6U_n-4-2U_n-4}{U_n+2}\)
\(=\dfrac{4(U_n-2)}{U_n+2}>0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ U_n>2\)
b) \(U_{n+1}-U_n=\dfrac{6U_n-4-U_n^2-2U_n}{U_n+2}\)
\(=\dfrac{-(U_n^2-4U_n+4)}{U_n+2}\)
\(=\dfrac{-(U_n-2)^2}{U_n+2}\)
c) \(U_n+2>0\) et \(-(U_n-2)^2\leq0\) : \(U_{n+1}-U_n\leq0\).
[] \((U_n)\) est décroissante
[] d) \((U_n)\) décroissante donc \(U_n\leq U_0=3\) ; avec 1.a) : \(2<U_n\leq3\)
💡 Méthode : \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si \(v_{n+1}-v_n=r\) pour tout \(n\) ; alors \(v_n=v_p+(n-p)r\).
2.a) \(V_{n+1}=\dfrac{2}{U_{n+1}-2}=\dfrac{2(U_n+2)}{4(U_n-2)}\)
\(=\dfrac{(U_n-2)+4}{2(U_n-2)}\)
\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{U_n-2}\)
[] \(V_{n+1}-V_n=\dfrac{1}{2}\) : \((V_n)\) est arithmétique de raison \(\dfrac{1}{2}\)
[] b) \(V_0=\dfrac{2}{3-2}=2\) et \(V_n=2+\dfrac{n}{2}\)
c) \(U_n=2+\dfrac{2}{V_n}\)
\(=2+\dfrac{2}{\dfrac{n+4}{2}}\)
\(=2+\dfrac{4}{n+4}\)
d) \(S_n=(n+1)\times\dfrac{V_0+V_n}{2}\)
\(=(n+1)\times\dfrac{4+\dfrac{n}{2}}{2}\)
\(=\dfrac{(n+1)(n+8)}{4}\)
[] \(S_n=\dfrac{(n+1)(n+8)}{4}\)

💡 Méthode : \(a\cos x+b\sin x=r\cos(x-\varphi)\) avec \(r=\sqrt{a^2+b^2}\), \(\cos\varphi=\dfrac{a}{r}\) et \(\sin\varphi=\dfrac{b}{r}\).
1. \(r=\sqrt{1+3}=2\) ; \(\cos\varphi=\dfrac{1}{2}\) et \(\sin\varphi=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\varphi=-\dfrac{\pi}{3}\).
[] \(f(x)=2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)
2. \(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\)
\(\iff x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
\(\iff x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\)
[] Dans \(]-\pi;\pi]\) : \(S=\left\{-\dfrac{5\pi}{6};\dfrac{\pi}{6}\right\}\)
💡 Méthode : \(\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
3. \(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\)
\(\iff\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}\)
\(\iff x=2k\pi\) ou \(x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\).
[] Dans \([0;2\pi[\) : \(S=\left\{0;\dfrac{4\pi}{3}\right\}\)
💡 Méthode : on résout l’équation associée, puis on lit les solutions sur le cercle trigonométrique dans l’intervalle demandé.
4. \(\cos X>0\iff-\dfrac{\pi}{2}<X<\dfrac{\pi}{2}\) (à \(2\pi\) près) avec \(X=x+\dfrac{\pi}{3}\) :
\(-\dfrac{\pi}{2}<x+\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}\)
\(\iff-\dfrac{5\pi}{6}<x<\dfrac{\pi}{6}\)
[] \(S=\left]-\dfrac{5\pi}{6};\dfrac{\pi}{6}\right[\)