Exercice 1 (6 pts)
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite numérique définie par \(u_0=5\) et \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}=\dfrac{4u_n}{u_n+2}\).
1. a) Vérifier que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}=4-\dfrac{8}{u_n+2}\).
b) Démontrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>2\).
2. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n(2-u_n)}{u_n+2}\).
b) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
c) Déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2<u_n\leq5\).
3. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ \dfrac{2}{u_n+2}\leq\dfrac{1}{2}\), et prouver que \(u_{n+1}-2\leq\dfrac{1}{2}(u_n-2)\).
b) Déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n-2\leq3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\).
1. a) Vérifier que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}=4-\dfrac{8}{u_n+2}\).
b) Démontrer par récurrence que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>2\).
2. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n(2-u_n)}{u_n+2}\).
b) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
c) Déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2<u_n\leq5\).
3. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ \dfrac{2}{u_n+2}\leq\dfrac{1}{2}\), et prouver que \(u_{n+1}-2\leq\dfrac{1}{2}(u_n-2)\).
b) Déduire que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n-2\leq3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1.a) \(4-\dfrac{8}{u_n+2}=\dfrac{4u_n+8-8}{u_n+2}\)
\(=\dfrac{4u_n}{u_n+2}=u_{n+1}\)
💡 Méthode : raisonnement par récurrence : on vérifie la propriété au premier rang, puis on suppose qu’elle est vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\).
b) \(u_0=5>2\) ✔. Si \(u_n>2\) : \(u_n+2>4\) donc \(\dfrac{8}{u_n+2}<2\) et \(u_{n+1}=4-\dfrac{8}{u_n+2}>2\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>2\)
2.a) \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n-u_n^2-2u_n}{u_n+2}\)
\(=\dfrac{u_n(2-u_n)}{u_n+2}\)
b) \(u_n>2>0\) donc \(2-u_n<0\) et \(u_n+2>0\) : \(u_{n+1}-u_n<0\).
[] \((u_n)\) est strictement décroissante
[] c) \(u_n\leq u_0=5\) et \(u_n>2\) : \(2<u_n\leq5\)
3.a) \(u_n>2\Rightarrow u_n+2>4\Rightarrow\dfrac{2}{u_n+2}<\dfrac{1}{2}\).
\(u_{n+1}-2=2-\dfrac{8}{u_n+2}\)
\(=\dfrac{2(u_n-2)}{u_n+2}\)
\(=\dfrac{2}{u_n+2}(u_n-2)\leq\dfrac{1}{2}(u_n-2)\)
(car \(u_n-2>0\))
b) Par récurrence : \(u_0-2=3=3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^0\) ✔ ; si \(u_n-2\leq3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) alors \(u_{n+1}-2\leq\dfrac{1}{2}(u_n-2)\leq3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n-2\leq3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
\(=\dfrac{4u_n}{u_n+2}=u_{n+1}\)
💡 Méthode : raisonnement par récurrence : on vérifie la propriété au premier rang, puis on suppose qu’elle est vraie au rang \(n\) et on la démontre au rang \(n+1\).
b) \(u_0=5>2\) ✔. Si \(u_n>2\) : \(u_n+2>4\) donc \(\dfrac{8}{u_n+2}<2\) et \(u_{n+1}=4-\dfrac{8}{u_n+2}>2\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>2\)
2.a) \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n-u_n^2-2u_n}{u_n+2}\)
\(=\dfrac{u_n(2-u_n)}{u_n+2}\)
b) \(u_n>2>0\) donc \(2-u_n<0\) et \(u_n+2>0\) : \(u_{n+1}-u_n<0\).
[] \((u_n)\) est strictement décroissante
[] c) \(u_n\leq u_0=5\) et \(u_n>2\) : \(2<u_n\leq5\)
3.a) \(u_n>2\Rightarrow u_n+2>4\Rightarrow\dfrac{2}{u_n+2}<\dfrac{1}{2}\).
\(u_{n+1}-2=2-\dfrac{8}{u_n+2}\)
\(=\dfrac{2(u_n-2)}{u_n+2}\)
\(=\dfrac{2}{u_n+2}(u_n-2)\leq\dfrac{1}{2}(u_n-2)\)
(car \(u_n-2>0\))
b) Par récurrence : \(u_0-2=3=3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^0\) ✔ ; si \(u_n-2\leq3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) alors \(u_{n+1}-2\leq\dfrac{1}{2}(u_n-2)\leq3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\).
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n-2\leq3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
Exercice 2 (7 pts)
1. En écrivant \(\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\), calculer \(\sin\dfrac{7\pi}{12}\) et \(\cos\dfrac{7\pi}{12}\).
2. Simplifier \(A=\sin(\pi-x)+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)-\sin(\pi+x)\).
3. Montrer que pour tout \(x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\) : \(\dfrac{1-\cos2x}{\sin2x}=\tan x\).
4. En déduire que \(\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\).
2. Simplifier \(A=\sin(\pi-x)+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)-\sin(\pi+x)\).
3. Montrer que pour tout \(x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\) : \(\dfrac{1-\cos2x}{\sin2x}=\tan x\).
4. En déduire que \(\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 Méthode : formules d’addition : \(\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b\) ; \(\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b\).
1. \(\sin\dfrac{7\pi}{12}=\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
\(\cos\dfrac{7\pi}{12}=\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}-\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)
2. \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\) ; \(\sin(\pi+x)=-\sin x\).
[] \(A=\sin x+\sin x+\sin x=3\sin x\)
💡 Méthode : \(\sin2a=2\sin a\cos a\) ; \(\cos2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a\).
3. \(\dfrac{1-\cos2x}{\sin2x}=\dfrac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}\)
\(=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)
\(=\tan x\)
(on a \(\sin x\neq0\) et \(\cos x\neq0\) sur \(\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\))
4. \(\tan\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi}{4}}{\sin\dfrac{\pi}{4}}\)
\(=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(=\dfrac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}-1\)
1. \(\sin\dfrac{7\pi}{12}=\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
\(\cos\dfrac{7\pi}{12}=\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}-\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)
2. \(\sin(\pi-x)=\sin x\) ; \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\) ; \(\sin(\pi+x)=-\sin x\).
[] \(A=\sin x+\sin x+\sin x=3\sin x\)
💡 Méthode : \(\sin2a=2\sin a\cos a\) ; \(\cos2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a\).
3. \(\dfrac{1-\cos2x}{\sin2x}=\dfrac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}\)
\(=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)
\(=\tan x\)
(on a \(\sin x\neq0\) et \(\cos x\neq0\) sur \(\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\))
4. \(\tan\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi}{4}}{\sin\dfrac{\pi}{4}}\)
\(=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(=\dfrac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}-1\)
Exercice 3 (7 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(2\sin^2x-\sin x-1=0\).
2. Résoudre dans \([0;2\pi[\) l’équation \(\cos2x+\cos x=0\).
3. Résoudre dans \([0;2\pi[\) l’inéquation \(2\sin x-1<0\).
2. Résoudre dans \([0;2\pi[\) l’équation \(\cos2x+\cos x=0\).
3. Résoudre dans \([0;2\pi[\) l’inéquation \(2\sin x-1<0\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. 💡 on pose \(X=\sin x\) et on résout l’équation du second degré \(2X^2-X-1=0\).
\(2X^2-X-1=0\)
\(\iff(X-1)(2X+1)=0\)
\(\sin x=1\iff x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\) ; \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\iff x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi\).
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\ ;\ -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ ;\ \dfrac{7\pi}{6}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
💡 Méthode : \(\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
2. \(\cos2x=-\cos x\)
\(\iff\cos2x=\cos(\pi-x)\)
\(\iff2x=\pi-x+2k\pi\) ou \(2x=-\pi+x+2k\pi\iff x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}\) ou \(x=-\pi+2k\pi\).
[] Dans \([0;2\pi[\) : \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3};\pi;\dfrac{5\pi}{3}\right\}\)
💡 Méthode : on résout l’équation associée, puis on lit les solutions sur le cercle trigonométrique dans l’intervalle demandé.
3. \(\sin x<\dfrac{1}{2}\) ; sur \([0;2\pi[\), \(\sin x=\dfrac{1}{2}\) pour \(x=\dfrac{\pi}{6}\) et \(x=\dfrac{5\pi}{6}\) ; \(\sin x\geq\dfrac{1}{2}\) entre ces deux angles.
[] \(S=\left[0;\dfrac{\pi}{6}\right[\cup\left]\dfrac{5\pi}{6};2\pi\right[\)
\(2X^2-X-1=0\)
\(\iff(X-1)(2X+1)=0\)
\(\sin x=1\iff x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\) ; \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\iff x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi\).
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\ ;\ -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ ;\ \dfrac{7\pi}{6}+2k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\)
💡 Méthode : \(\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\) ; \(\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
2. \(\cos2x=-\cos x\)
\(\iff\cos2x=\cos(\pi-x)\)
\(\iff2x=\pi-x+2k\pi\) ou \(2x=-\pi+x+2k\pi\iff x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}\) ou \(x=-\pi+2k\pi\).
[] Dans \([0;2\pi[\) : \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3};\pi;\dfrac{5\pi}{3}\right\}\)
💡 Méthode : on résout l’équation associée, puis on lit les solutions sur le cercle trigonométrique dans l’intervalle demandé.
3. \(\sin x<\dfrac{1}{2}\) ; sur \([0;2\pi[\), \(\sin x=\dfrac{1}{2}\) pour \(x=\dfrac{\pi}{6}\) et \(x=\dfrac{5\pi}{6}\) ; \(\sin x\geq\dfrac{1}{2}\) entre ces deux angles.
[] \(S=\left[0;\dfrac{\pi}{6}\right[\cup\left]\dfrac{5\pi}{6};2\pi\right[\)